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1、平面向量高考真题精选（一）一选择题（共20 小题）1（2017?新课标 ）设非零向量，满足 |+ | =| | 则（）A B| =|C D| |2（2017?新课标 ）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点，则?（+）的最小值是（）A 2 BCD 13（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB BC，AB=BC=AD=2， CD=3，AC与 BD 交于点 O，记 I1=?，I2=?，I3=?，则（）AI1I2 I3BI1 I3 I2C I3 I1 I2DI2I1I34（2017?新课标 ）在矩形 ABCD中， AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆
2、心且与 BD 相切的圆上若= +，则 +的最大值为（）A3B2CD25（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为 2，平面 ABC内的动点 P，M 满足 | =1，=，则 | 2 的最大值是（）ABCD6（2016?新课标 ）已知向量=（1，m）， =（ 3， 2），且（+ ），则m=（）A 8 B 6 C6D87（2016?天津）已知 ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E 分别是边 AB、第 1页（共 20页）BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE=2EF，则?的值为（）ABCD8（2016?山东）已知非零向量， 满足 4| =3| | ，cos ， = 若 （ t + ）
3、，则实数 t 的值为（）A4B 4CD9 （ 2016?四川）在平面内，定点A ， B， C， D 满足=，?= ? =?=2，动点 P，M 满足=1，=，则 | 2 的最大值是（）ABCD10（2016?新课标 ）已知向量=（ ，）， =（， ），则 ABC=（）A30B45C60D12011（ 2015?新课标 ）设 D 为 ABC所在平面内一点，则（）ABCD12（ 2015?新课标 ）已知点 A（0， 1），B（3，2），向量=（ 4， 3），则向量=（）A（ 7， 4）B（7，4） C（ 1， 4）D（ 1， 4）13（ 2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实
4、数 x=（）A2B3C4D614（ 2015?山东）已知菱形ABCD的边长为 a， ABC=60，则=（）Aa2Ba2Ca2 Da215（ 2015?四川）设四边形 ABCD为平行四边形， | =6，| =4，若点 M 、N第 2页（共 20页）满足，则=（）A20 B15 C9 D616（ 2015?安徽） ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量， 满足=2 ，=2 + ，则下列结论正确的是（）A| =1B C ? =1D（ 4 + ）17（ 2015?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（ 1， 2），=（2，1）则?=（）A5 B4 C3 D218（20
5、15?重庆）若非零向量， 满足 | | =| | ，且（ ）（3+2 ），则 与 的夹角为（）ABCD19（2015?重庆）已知非零向量满足 | =4| ，且（）则的夹角为（）ABCD20（ 2015?福建）设=（ 1， 2）， =（1，1）， = +k ，若，则实数 k 的值等于（）ABCD二填空题（共8 小题）21（2017?新课标 ）已知向量， 的夹角为 60，| | =2，| =1，则|+2| =22（2017?天津）在 ABC中， A=60，AB=3，AC=2若=2，= （ R），且=4，则 的值为2+y2上，点A 的坐标为（， ），为原23（ 2017?北京）已知点 P 在圆 x
6、=120O点，则? 的最大值为24（2017?山东）已知，是互相垂直的单位向量， 若与+第 3页（共 20页）的夹角为 60，则实数 的值是26（2017?新课标 ）已知向量=（ 1，2）， =（m，1），若向量+ 与 垂直，则 m=（新课标 ）设向量（，），（ ， ），且2=|2+| 2，27 2016?= m1= 1 2|+ |则 m=28（ 2016?山东）已知向量 =（1， 1）， =（ 6， 4），若 （ t+ ），则实数 t 的值为三解答题（共2 小题）29（2017?山东）在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=3，= 6， S ABC=3，求 A 和
7、a30（2015?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，）， =（sinx，cosx）， x（ 0，）（ 1）若 ，求 tanx 的值；（ 2）若与 的夹角为，求 x 的值第 4页（共 20页）平面向量高考真题精选（一）参考答案与试题解析一选择题（共20 小题）1（2017?新课标 ）设非零向量，满足 |+ | =| | 则（）A B| =|C D| |【解答】 解：非零向量， 满足 |+ | =| ，解得=0，故选： A2（2017?新课标 ）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点，则?（+）的最小值是（）A 2 BCD 1【解答】 解：建立如图所示的坐标
8、系，以BC中点为坐标原点，则 A（0，）， B（ 1，0）， C（ 1， 0），设 P（x， y），则=（ x，y），=（ 1 x， y），=（ 1 x， y），则?（+）=2x2 2y+2y2=2 x2+（ y）2当 x=0，y=时，取得最小值2（）=，故选： B第 5页（共 20页）3（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB BC，AB=BC=AD=2， CD=3，AC与 BD 交于点 O，记 I1=?，I2=?，I3=?，则（）AI1I2 I3BI1 I3 I2C I3 I1 I2DI2I1I3【解答】 解： ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3， AC=2 ， AOB=
9、COD90，由图象知 OA OC， OB OD， 0 ? ? ， ? 0，即 I3I1I2，故选： C4（2017?新课标 ）在矩形 ABCD中， AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若= +，则 +的最大值为（）A3B2CD2【解答】 解：如图：以 A 为原点，以 AB， AD 所在的直线为 x， y 轴建立如图所示的坐标系，则 A（0，0）， B（ 1， 0），D（0，2），C（1，2），动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，第 6页（共 20页）设圆的半径为 r， BC=2， CD=1， BD= BC?CD= BD?r， r= ，圆的方程为
10、（ x1）2 +（ y 2） 2=，设点 P 的坐标为（cos+1，sin +2）， = + ，（cos+1，sin +2）=（ 1， 0） +（0，2）=（，2），cos+1=，sin +2=2，+=cos+sin +2=sin（+）+2，其中 tan =2， 1sin（ +） 1， 1+3，故 +的最大值为 3，故选： A5（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为 2，平面 ABC内的动点 P，M 满足 | =1，=，则 | 2 的最大值是（）ABCD【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系第 7页（共 20页）B（0，0），CA M 满足 | | =1，点 P 的轨迹方程为：=1，令
11、x=+cos，y=3+sin ， 0，2）又 = ，则 M， | 2=+= +3sin | 2 的最大值是故选： B6（2016?新课标 ）已知向量=（1，m）， =（ 3， 2），且（+ ），则m=（）A 8 B 6 C6D8【解答】 解：向量=（1，m），=（ 3， 2）， + =（4，m2），又（+ ）， 122（m 2）=0，解得： m=8，故选： D第 8页（共 20页）7（2016?天津）已知 ABC是边长为 1 的等边三角形，点D、E 分别是边 AB、BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE=2EF，则?的值为（）ABCD【解答】 解：如图， D、 E 分别是边 AB、B
12、C的中点，且 DE=2EF，?=故选： C8（2016?山东）已知非零向量， 满足 4| =3| ，cos ， = 若 （ t + ），则实数 t 的值为（）A4B 4 CD【解答】 解： 4| =3| | ，cos ， =， （ t + ）， ?（t+ ）=t ?+ 2 =t| | ?| ? +| | 2=（） | | 2=0，解得： t= 4，故选： B9 （ 2016?四川）在平面内，定点A ， B， C， D 满足=，第 9页（共 20页）? = ? = ?=2，动点 P，M 满足=1， = ，则 | 2 的最大值是（）ABCD【解答】 解：由=，可得 D 为 ABC的外心，又 ? =
13、 ? = ? ，可得?（）=0，?（）=0，即 ? = ? =0，即有 ， ，可得 D 为 ABC的垂心，则 D 为 ABC的中心，即 ABC为正三角形由 ?=2，即有 | | ?| | cos120=2，解得 | =2， ABC的边长为 4cos30=2 ，以 A 为坐标原点， AD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy，可得 B（3， ），C（3， ）， D（2，0），由=1，可设 P（cos，sin ），（02），由= ，可得 M 为 PC的中点，即有 M （，），则 | 2 （ ）2+（+）2=3=+=，当 sin（ ） =1，即 =时，取得最大值，且为故选： B第10页（共 20
14、页）10（2016?新课标 ）已知向量=（，），=（， ），则 ABC=（）A30B45C60D120【解答】 解：，；又 0 ABC180； ABC=30故选 A11（ 2015?新课标 ）设 D 为 ABC所在平面内一点，则（）ABCD【解答】 解：由已知得到如图由=；故选： A第11页（共 20页）12（ 2015?新课标 ）已知点 A（0， 1），B（3，2），向量=（ 4， 3），则向量=（）A（ 7， 4）B（7，4） C（ 1， 4）D（ 1， 4）【解答】解：由已知点 A（ 0，1），B（3，2），得到=（ 3，1），向量=（ 4， 3），则向量=（ 7， 4）；故答案为： A
15、13（ 2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数 x=（）A2B3C4D6【解答】 解；因为向量 =（2，4）与向量 =（x， 6）共线，所以 4x=26，解得 x=3；故选： B14（ 2015?山东）已知菱形ABCD的边长为 a， ABC=60，则=（）Aa2Ba2Ca2 Da2【解答】 解：菱形 ABCD的边长为 a， ABC=60， =a2 ，=aacos60=，则=（）?=故选： D第12页（共 20页）15（ 2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形， | =6，| =4，若点 M 、N满足，则=（）A20 B15 C9 D6【解答】 解：四边形 ABC
16、D为平行四边形，点 M、N 满足，根据图形可得：= +=，=， =，= ?（） =2，2=22，=22，| =6， | =4，=22=12 3=9故选： C16（ 2015?安徽） ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量， 满足=2 ，=2 + ，则下列结论正确的是（）A| | =1 B C ? =1 D（ 4 + ）【解答】 解：因为已知三角形 ABC的等边三角形， 满足=2 ，=2 + ，又， 的方向应该为的方向所以，第13页（共 20页）所以=2，=12cos120=1，4=412cos120 =4，=4，所以=0，即（ 4）=0，即=0，所以；故选 D17（ 2015?广东）在平面
17、直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（ 1， 2），=（2，1）则?=（）A5B4C3D2【解答】 解：由向量加法的平行四边形法则可得，=（3， 1） =32+（ 1） 1=5故选： A18（2015?重庆）若非零向量， 满足 | | =| | ，且（ ）（3+2 ），则 与 的夹角为（）ABCD【解答】 解：（ ）（ 3 +2 ），（ ）?（3 +2 ）=0，即 3 22 2 ? =0，即 ? =3 22 2= 2， cos，=，即， =，故选： A第14页（共 20页）19（2015?重庆）已知非零向量满足 | =4| ，且（）则的夹角为（）ABCD【解答】 解：由已知非
18、零向量满足 | =4| ，且（），设两个非零向量的夹角为 ，所以?（） =0，即 2=0，所以 cos= ， 0， ，所以；故选 C20（ 2015?福建）设=（ 1， 2）， =（1，1）， = +k ，若，则实数 k 的值等于（）ABCD【解答】 解：=（1，2），=（ 1， 1）， = +k =（1+k，2+k），? =0， 1+k+2+k=0，解得 k=故选： A二填空题（共8 小题）21（ 2017?新课标 ）已知向量， 的夹角为 60，| =2，| =1，则 |+2 | =2 【解答】 解：【解法一】向量， 的夹角为 60，且 | =2，| =1，=+4 ? +4=22+4 2 1
19、 cos60+412第15页（共 20页）=12， |+2 | =2【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+= +2 ；在 OAC中，由余弦定理得| =2，即 |+2 | =2故答案为： 222（2017?天津）在 ABC中， A=60，AB=3，AC=2若=2，= （ R），且=4，则 的值为【解答】 解：如图所示， ABC中， A=60， AB=3， AC=2， =2 ， = + = += + （ ）= +，又 = （R），=（+）?（ ）=（）?+第16页（共 20页）=（） 32cos60 32+ 22=4，=1，解得 = 故答案为：（北京）已知点P在圆2+y2上，点A的坐标
20、为（2， ），O为原23 2017?x=10点，则?的最大值为6 【解答】 解：设 P（ cos， sin ）.=（2，0），=（cos+2，sin ）则 ? =2（cos+2） 6，当且仅当 cos=1时取等号故答案为： 624（2017?山东）已知，是互相垂直的单位向量， 若与+的夹角为 60，则实数 的值是【解答】 解：，是互相垂直的单位向量， | =| =1，且?=0；又与+ 的夹角为 60，（）?（+ ）=| |+| cos60，即+ （ 1 ）? =，第17页（共 20页）化简得=，即 =，解得 = 故答案为：25（2017?新课标 ）已知向量=（ 2，3）， =（ 3，m），且，
21、则 m=2【解答】 解：向量=（ 2，3），=（ 3， m），且，=6+3m=0，解得 m=2故答案为： 226（2017?新课标 ）已知向量=（ 1，2）， =（m，1），若向量+ 与 垂直，则 m= 7 【解答】 解：向量=（ 1，2），=（ m，1）， =（ 1+m，3），向量 + 与 垂直，（） ? =（ 1+m）（ 1）+3 2=0，解得 m=7故答案为： 727（2016?新课标 ）设向量=（m，1）， =（1，2），且 |+ | 2=| 2+| 2，则 m= 2 【解答】 解： |+ | 2=| 2+| 2，可得? =0第18页（共 20页）向量=（ m，1），=（ 1，2），可
22、得 m+2=0，解得 m=2故答案为： 228（ 2016?山东）已知向量 =（1， 1）， =（ 6， 4），若 （ t + ），则实数 t 的值为 5 【解答】 解：向量=（1， 1），=（ 6， 4）， t + =（t+6， t 4）， （ t + ）， ?（t + ）=t +6+t+4=0，解得 t= 5，故答案为： 5三解答题（共2 小题）29（2017?山东）在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=3，= 6， S ABC=3，求 A 和 a【解答】 解：由 =6 可得 bccosA=6，由三角形的面积公式可得 SABC= bcsinA=3， tanA=1
23、， 0 A 180， A=135， c=2 ，由余弦定理可得a2=b2+c2 2bccosA=9+8+12=29 a=第19页（共 20页）30（2015?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，）， =（sinx，cosx）， x（ 0，）（ 1）若 ，求 tanx 的值；（ 2）若与 的夹角为，求 x 的值【解答】 解：（1）若 ，则 ? =（，） ?（ sinx，cosx） =sinxcosx=0，即 sinx= cosxsinx=cosx，即 tanx=1；（ 2） | =，| =1， ? =（，） ?（ sinx，cosx） =sinxcosx，若与 的夹角为，则 ? =| ?| cos=，即 sinx cosx= ，则 sin（ x ） = ， x（ 0， ） x （ ， ）则 x =即 x=+=第20页（共 20页）