《椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习).docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1( 选填题课直接用，大题需论证):在椭圆x2y21ab ）中，焦点分别为F1、F2 ，点 P 是椭圆上任意一点，a2b2（ 0F1 PF2，则 S F PFb2 tan.y212PP证明：记 | PF1 |r1 ,| PF2|r2 ，由椭圆的第一定义得r1 r22a,(r1r2 ) 24a2 .F 1OF 2x在 F1 PF2 中，由余弦定理得：r12r 222r1r2 cos(2c) 2 .配方得： (r1r2)22r1r222cos4c2 .r1r即 4 22r1r2(1cos )4c2 .ar1r22( a 2c2 )2b2.1cos1cos由任意三角
2、形的面积公式得：12 sin2sincosS F1PF2bb222b2tan .r1r2 sin2 cos221cos22S F PF2b2 tan .12同理可证，在椭圆y 2x21 （ ab ）中，公式仍然成立.a2b20典型例题22例 1若 P 是椭圆xy1 上的一点，F1 、 F2 是其焦点，且F1PF260 ，求10064 F1 PF2 的面积 .例 2已 知 P 是 椭 圆 x2y21 上 的 点 ， F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若259PF1PF21 ，则 F1 PF2的面积为（）| PF1 | PF2 | 21A.3 3B.23C.3D.33
3、例 3（ 04 湖北）已知椭圆 x 2y 21的左、 右焦点分别是F1 、 F2，点 P 在椭圆上 . 若 P、 F1、169F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）A.9B.97C.9D.9 或 9757447答案：例 1若 P 是椭圆x2y 21 上的一点，F1 、 F2 是其焦点，且F1PF260 ，求10064 F1 PF2 的面积 .x 2y26, 而60 . 记 | PF1 | r1 , | PF2 | r2 .解法一：在椭圆1001 中， a 10, b 8, c64点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：r1r22a20.在 F1 PF2222r1r2 c
4、os(2c) 2 .中，由余弦定理得：r1r 2配方，得： ( r1r2 )23r1r 2144.400 3r1r2144. 从而 r1r2256 .3S F1 PF 21 r1r2 sin1256364 3 .22323解法二：在椭圆x 2y 21 中， b 264 ，而60 .10064S F1PF2b 2 tan64 tan 3064 3 .23解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！2例 2已 知 P 是 椭 圆 x2y21 上 的 点 ， F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若259PF1PF21 ，则 F1 PF2的面积为（）| P
5、F1 | PF2 |2A.33B.23C.3D.33解：设F1 PF2，则 cosPF1PF21，60 .| PF1 | PF2 |2S F PF2b 2 tan9 tan 3033.12故选答案 A.例 3（ 04 湖北）已知椭圆 x 2y 21的左、 右焦点分别是F1 、 F2，点 P 在椭圆上 . 若 P、 F1、169F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）A.9B.97C.9D.9 或 9757447解：若 F1或 F2 是直角顶点，则点P 到 x 轴的距离为半通径的长b29 ；若 P 是直角顶点，设a4点 P 到 x 轴的距离为 h，则 S F PF2b 2
6、 tan9 tan 45 9 ，又 S F PF1 (2c) h7h,121227h9 ， h97 . 故答案选 D.7金指点睛y 2x2F1 、 F2 的连线互相垂直，则F1 PF2 的面积为1(略 ). 椭圆1 上一点 P 与椭圆两个焦点49 24（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆 x 2y 21的左右焦点为F1 、F2， P 是椭圆上一点， 当 F1 PF2的面积为1 时，PF1 PF24的值为（）A. 0B.1C. 3D. 633. 椭圆 x 2y 21的左右焦点为F1 、F2 ， P 是椭圆上一点， 当 F1 PF2 的面积最大时， PF1PF24的值为（）A.
7、 0B.2C. 4D.24已知椭圆x2y21（ a 1）的两个焦点为F1 、 F2 ， P 为椭圆上一点，且F1PF260 ，a2则 | PF1 |PF2|的值为（）A 1B1423CD 335. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1 、 F2 为焦点，点 P 在椭圆上，直线PF1 与 PF2 倾斜角的差为90 ， F1PF2 的面积是20，离心率为5 ，求椭圆的标准方程 .3PF1 PF21 ， F1 PF26已知椭圆的中心在原点， F1 、F2 为左右焦点， P 为椭圆上一点， 且| PF1 | | PF2|2的面积是3 ，准线方程为 x43 ，求椭圆的标准方程 .3答案1.解： F
8、1 PF290 , b224 ，S F PFb2 tan24 tan 4524 .122故答案选 D.2.解：设F1 PF2，2，45,90，PF0.S F PFb tantan11212222PF故答案选 A.3. 解： a2, b 1, c3 ，设F1 PF2，S F1PF2b2 tantan，22当 F1 PF2 的面积最大时，为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，120，PF1 PF2| PF1 | PF2 | cosa 2 cos1202 .故答案选 D.4 解：F1 PF260 ， b1 ， S F1PF2b 2 tantan303 ，23又S F1PF21 | PF1 | | P
9、F2 | sin3 | PF1 | PF2 |，2443 | PF1| PF 2 |3 ，从而 | PF1 | | PF 2|4 .433故答案选 C.5. 解：设F1 PF2，则90.S F PFb 2 tan2b2tan 45b 220 ，12又eca 2b 25 ，aa31b 25 ，即 1205 .a29a29解得： a 245 .所求椭圆的标准方程为 x 2y 21或 y 2x 21 .452045206解：设F1PF2，cosPF1PF21 ,120 .| PF1 | PF2 |2S F1PF2b 2 tanb2 tan 603b 23 ，b1 .2又a 24 3 ，即 c2b2c
10、 21c1 4 333 .c3ccc33c3 或 c3 .3当 c3 时， ab 2c22 ，这时椭圆的标准方程为x 2y 21；4当 c3 时， ab 2c22 3 ，这时椭圆的标准方程为x2y 21；3343但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60 ，不合题意 .故所求的椭圆的标准方程为x 2y21.45性质二： 有关角的问题已知椭圆方程为x2y21(a b 0), 左右两焦点分别为F1, F2 , 设焦点三角形PF1F2 ，a2b2若 F1 PF2 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。问题 1.椭圆 x 2y21的焦点为 Fl2，点 P 为其上一点，当F1PF 2 为直角时，点P
11、 的94、 F横坐标是 _。问题 2：椭圆 x2y 21的焦点为 Fl 2，点 P 为其上动点，当F1 PF2 为钝角时，点 P 横94、F坐标的取值范围是_。变式uuuuruuuur1. 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点， 满足 MF1MF2 0 的点 M 总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值范围是（）（ 09 江西）A (0,1)B (0, 1C (0,2 )D 2 ,1)222问题 1. 椭圆 x 2y21的焦点为 Fl2，点 P 为其上一点，当F1PF 2为直角时，点 P 的94、 F横坐标是 _。方法 1： 设，则当时，点 的轨迹方程为，由此可得的横坐标为方法 2：利用性质一 S
12、 F PFb 2 tan122方法 3：【分析】令 |F1P|=m、 |PF2|=6-m，Rt F1PF2 中，由勾股定理可得m2+(6-m) 2=206问题 2：椭圆 x2y 21的焦点为 Fl 2，点 P 为其上动点，当F1 PF2为钝角时，点 P 横94、F坐标的取值范围是 _。问题分解：方法 1： 设，则当时，点 的轨迹方程为，由此可得的横坐标为，所以 点 P 横坐标的取值范围是方法 2：利用性质一 S F PFb 2 tan212问题 2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现F1PF2 的大小与点 P 的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。变式uuuuruuuur0 的点 M 总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值1. 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点， 满足 MFMF21范围是（ C）（09 江西）A (0,1)B (0,1C (0,2 )D 2 ,1)2227