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1、(1)知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1 种有不同的方法，在第2 类中有 m2 种不同的方法 在第 n 类型有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法 ，做第 n 步有 mn 种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒： 分类计数原理与 “分类 ”有关，要注意 “类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与 “分步 ”有关，要注意“步 ”与“步”之间具有的相依性和连续性， 应用这两个原理进
2、行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 .4排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号表示 .5排列数公式：特别提醒：（1）规定 0! = 1（2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有 k素 a1， a2, .an 其中限重复数为n1、 n2 nk ，且个不同元n =n1+n2+ nk , 例如：已知数字
3、则 S 的排列个数等于3、2、2，求其排列个数.又例如： 数字5、5、 5、求其排列个数？其排列个数.6组合：从n 个不同的元素中任取m(m n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.7组合数公式：8两个公式：特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素 .区别：前者是 “排成一排 ”，后者是 “并成一组 ”，前者有顺序关系，后者无顺序关系 .(2)典型例题考点一 : 排列问题例 1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（ 1）甲不站两端；（ 2）甲、乙必须相邻；（ 3）甲、乙不相邻；（ 4）甲、乙之间间隔两人；（ 5）甲
4、、乙站在两端；（ 6）甲不站左端，乙不站右端 .考点二 : 组合问题例 2. 男运动员 6 名，女运动员4 名，其中男女队长各5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少种选派方法？1 人 .选派（ 1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（ 2）至少有 1 名女运动员；（ 3）队长中至少有 1 人参加；（ 4）既要有队长，又要有女运动员 .考点三 : 综合问题例 3.4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.（ 1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（ 2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（ 3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从 5 名男医生、4 名女医
5、生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70 种B.80 种C.100 种D.140 种2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种B.12 种C.18 种D.36 种3.从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.1624.甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学， 2 名女同
6、学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学， 则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）A.150 种B.180 种C.300 种D.345 种5.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.366.用 0到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A 324B.328C.360D.6487.从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A.85B.56C.49D.288.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一
7、名学生， 且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.309.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96参考答案：例 1 解：（ 1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5 个人中选 2个人站，有种站法，然后中间4 人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法
8、三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体 ”，看作一个人，和其余 4 人进行全排列有 种站法，再把甲、乙进行全排列，有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法 ”，第一步先让甲、乙以外的4 个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有种站法，故共有站法为也可用 “间接法 ”，6
9、个人全排列有种站法，由（ 2）知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有.（4）方法一：先将甲、乙以外的4 个人作全排列，有种，然后将甲、 乙按条件插入站队， 有种，故共有站法 .方法二： 先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、 乙之间的两个位置上，有 种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个 “大”元素与余下 2 人作全排列有 种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有站法 .（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法 .方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4 个位置，
10、由剩下的4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法 .（6）方法一： 甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有种，故共有站法 .例2解（1）第一步：选3 名男运动员，有种选法.第二步：选2 名女运动员，有种选法.共有种选法.（ 2）方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男 .由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二“至少 1 名女运动员 ”的反面为 “全是男运动员 ”可用间接法求解
11、 .从 10 人中任选 5 人有 种选法，其中全是男运动员的选法有种 .所以 “至少有 1 名女运动员 ”的选法为.（ 3）方法一：可分类求解：“只有男队长 ”的选法为 ；“只有女队长 ”的选法为 ；“男、女队长都入选”的选法为；所以共有种选法 .9 分方法二：间接法：从 10 人中任选 5 人有种选法 .其中不选队长的方法有种.所以 “至少 1 名队长 ”的选法为种 . 9 分（ 4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法 .不选女队长时，必选男队长，共有 种选法 .其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法 .所以既有队长又有女运动员的选法共有种.例 3 解 （ 1）为保
12、证 “恰有 1 个盒不放球 ”，先从 4 个盒子中任意取出去一个， 问题转化为 “4个球， 3 个盒子， 每个盒子都要放入球，共有几种放法？ ”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有（ 2）“恰有 1 个盒内有 2 个球 ”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒， 因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球 ”与“恰有 1 个盒不放球 ”是同一件事， 所以共有 144 种放法 .（3）确定 2 个空盒有种方法 .4 个球放进2 个盒子
13、可分成（ 3， 1）、（ 2， 2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法 .故共有种 .当堂检测答案1.从 5 名男医生、4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种解析：分为2 男1 女，和1 男2 女两大类，共有=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种B.1
14、2 种C.18 种D.36 种解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1 人入选，先从两人中选1 人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3 人中选2 人排列有种方法。共有 24+12=36 种选法。解题策略： 1.特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。3.排列、组合混合问题先选后排的策略。3.从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.162解析：分为两大类： （1）含有 0，分步 1，从另外两个
15、偶数中选一个，种方法， 2.从 3 个奇数中选两个，有种方法； 3.给 0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法； 4.其他的 3 个数字进行全排列， 有 种排法，根据乘法原理共种方法。（ 2）不含 0，分步，偶数必然是2，4；奇数有种不同的选法，然后把 4 个元素全排列，共种排法，不含 0的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得解题策略： 1.特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。3.排列、组合混合问题先选后排的策略。4.甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学， 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学， 则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不
16、同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种解析： 4人中恰有1 名女同学的情况分为两种，即这1 名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。5.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同， 可以让甲选两门有种选法，然后乙从剩余的两门选，有种不同的选法，全不相同的选法是种方法，所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法。解题策略：正难则反，等价转化的策略。
17、6.用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.648解析： 第一类个位是零，共种不同的排法。第二类个位不是零，共种不同的解法。解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）至少有A.85B.56C.49D.28解析：合理分类，甲乙全被选中，有个被选中，有 种不同的选法，共种 选 法，甲乙有一+=49 种不同的选法。解题策略：（ 1）特殊元素优先安排的策略，（ 2）合理分类与准确分步的策略 .8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的
18、班，每个班至少分到一名学生， 且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有 种不同的分法，然后三组进行全排列共 种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共 种不同的排法。所以总的排法为种注意 :这里有一个分组的问题， 即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。解题策略：1.正难则反、等价转化的策略2.相邻问题捆绑处理的策略3.排列、组合混合问题先选后排的策略；9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端，
19、3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从 3个女生中选两位，有种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有 种不同的排法，共有 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有种不同的方法，然后其他两个男生排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有种不同的排法。 共种不同
20、的排法，故总的排法为种不同的方法。本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：（ 1）特殊元素优先安排的策略：（ 2）合理分类与准确分步的策略；（ 3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（ 4）正难则反、等价转化的策略；（ 5）相邻问题捆绑处理的策略；（ 6）不相邻问题插空处理的策略。解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题， 判断是排列还是组合问题， 要按元素的性质分类， 按事件发生的过程进行分步。深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加， 要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。对限制条件较复杂的排列组合问题， 要周密分析， 设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。