一元二次方程能力拔高题.docx

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1、一元二次方程培优专题复习考点一、概念(1) 定义： 只含有一个未知数 ，并且 未知数的最高次数是 2 ，这样的 整式方程 就是一元二次方程。 (2) 一般表达式： ax2 bx c 0(a 0)难点： 如何理解“未知数的最高次数是2 ”：该项系数不为“0 ”；未知数指数为“2 ”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题 ：例 1 、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A 、 3 x 1 22 x1 B、112 0C 、 ax 2bx c 0D、x2xx 22x x 21变式： 当 k时，关于 x 的方程 kx 22x x 23是一元二次方程。例 2

2、 、方程 m2 x m3mx 10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为。针对练习：1 、方程 8x 27 的一次项系数是，常数项是。m 1 2 、若方程 m 2 x0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值：；写出关于x 的一元一次方程：。 3 、若方程m1 x 2m ? x1 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的取值围是。 4 、若方程nx m +x n -2x 2 =0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值；典型例题

3、 ：例 1 、已知 2 y 2y3 的值为2 ，则 4 y 22 y1 的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程a2 x 2xa 240 的一个根为0 ，则 a 的值为。例 3 、已知关于 x 的一元二次方程 ax 2bxc0 a0的系数满足 acb ，则此方程必有一根为。例 4 、已知 a, b 是方程 x24xm0 的两个根， b,c 是方程 y28 y5m0 的两个根，则 m 的值为。针对练习：1 、已知方程 x 2kx100 的一根是 2 ，则 k 为，另一根是。2 、已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个解与方程x13 的解相同。求k 的值；x1方程的另一个解。3 、已知 m 是

4、方程 x 2x 10 的一个根，则代数式 m 2m。 4 、已知 a 是x2310的根，则2a26a。x 5 、方程 ab x2bc xca0 的一个根为（）A1B1CbcDa 6 、若 2x5y30, 则 4 x ?32 y。考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法：x 2m m 0 ,xm对于 xa 2m ， axm 2bx n 2等形式均适用直接开方法典型例题 ：例 1、解方程： 1 2x 280;2 2516 x2 =0;3 1 x 29 0;例 2、解关于 x 的方程： ax2b 0例 3、若 9 x 1 216 x2 2，则 x 的

5、值为。针对练习： 下列方程无解的是（）A. x 23 2x 21B.x 2 20C. 2x 3 1 xD. x29 0类型二、因式分解法 : x x1 xx2 0xx1 , 或 xx2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0 ”，方程形式： 如 ax m 2bxn 2 ，xa xbx，22axa20a x c x典型例题 ：例 1 、 2 x x35 x3 的根为（）A x5B x 3C x15 , x23D x2225例 2、若 4xy23 4x y40 ，则 4x+y的值为。变式 1 ： a2b22a2b262b2。0, 则a变式 2 ：若 xy2xy30 ，则 x+y的值为。

6、变式 3 ：若 x 2xyy14 ， y 2xyx28 ，则 x+y 的值为。例 3、方程 x2x60 的解为（）A. x13，x2B.x1，x2C. x1，x323232D. x12，x22例 4、解方程：x 2231x2 340 得 x1_, x2_例 5、已知 2x 23xy2 y 20 ,则 xy 的值为。xy变式 ：已知 2x 23xy2y 20 ,且 x0, y0 ,则 xy 的值为。xy针对练习：1 、下列说法中： 方程 x2pxq0的二根为 x1 ，x2 ，则 x2pxq (xx1)( xx2 )x26x8( x2)( x4) . a25ab 6b2(a2)(a3)x2y 2(

7、xy)(xy)( xy ) 方 程(3x 1)270可 变 形为(3x17 )(3x17 ) 0正确的有（） A.1个B.2个C.3个D.4个2、以 17 与 17 为根的一元二次方程是（）A x22x 6 0B x22x 6 0C y 22 y 6 0D y22 y60 3 、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1 ，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1 ，且两根互为相反数： 4 、若实数 x 、y 满足 xy 3 xy 20 ，则 x+y 的值为（）A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1或25、方程： x212 的解是。x 26、已知 6 x2xy6

8、 y20 ，且 x0 ， y0 ，求2 x6y的值。3xy22类型三、配方法 ax 2bx c 0 a 0xbb4ac2a4a 2在解方程中， 多不用配方法； 但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题 ：例、已知 x、 y 为实数，求代数式x 2y 22x4 y7 的最小值。针对练习：1、已知 x2 1x140 ，则 x1.x 2xx2、若t23x212x9，则 t 的最大值为，最小值为。类型四、公式法条件：a0,且 b240公式：acxbb 24ac , a0,且 b24ac02a典型例题 ：例、选择适当方法解下列方程： 3 1x 26. x 3 x 68. x 24x 1

9、0 3x24x1 0 3 x 1 3x 1x 1 2x 5类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。3x 21 的值。典型例题 ：例 1 、已知 x 23x20 ，求代数式x 1x1例 2 、如果 x 2x1 0，那么代数式 x32x2 7的值。例 3 、已知 a 是一元二次方程 x 23x10 的一根，求 a32a 25a 1的值。a 21考点四、根的判别式 b24ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题 ：例1、若关于 x 的方程 x22k x10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值围是。例2、关于x的方程m1x2mxm0有实数根，则m的

10、取值围是()2A. m0且m 1B. m0C. m1D. m 1例3、已知关于 x 的方程 x 2k2 x2k0(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰 ABC的一边长为1 ，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例4、已知二次三项式9x 2(m6) xm 2是一个完全平方式，试求m 的值 .例5、 m 为何值时，方程组x22 y26,mxy3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k时，关于 x的二次三项式 x 2kx 9是完全平方式。2、当 k 取何值时，多项式3x24 x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程 mx2

11、mx20 有两个不相等的实数根，则m 的值是.4、 k 为何值时，方程组ykx 2,（ 1 ）有两组相等的实数解，并求此解；（ 2 ）y24x 2 y 1 0.有两组不相等的实数解； （ 3 ）没有实数解 .5、当 k 取何值时，方程x24mx 4x 3m22m4k0 的根与 m 均为有理数？(2012 中考 ,15,4,)若关于 x的方程 ax22( a2) xa0 有实数解， 那么实数 a 的取值围是_ （2012襄阳， 12 ， 3 分）如果关于x 的一元二次方程kx 2 2 k1 x 1 0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值围是Ak 1 B k 1 且 k 0C 1 k 1D 1

12、k 1 且 k 0222222考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题 ：例 1 、关于 x 的方程m1x2230 有两个实数根，则m为只有mx,一个根，则 m 为。例 2 、不解方程，判断关于x 的方程 x 22 x kk 23 根的情况。例 3 、如果关于 x 的方程 x2kx 20及方程 x 2x2k0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题 ：1 、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？

13、2 、某小组每人送他人一照片，全组共送了90 ，那么这个小组共多少人？3 、申奥成功， 促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600 万元，第二年比第一年减少1 ，第三年比第二年减少 1 ，32该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年不仅要将投入的总资金全部收回，还要1盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结3果精确到 0.1， 133.61）4 、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，针对此回答：（

14、1 ）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2 ）商店想在月销售成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？5 、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（ 1 ）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2 吗？若能， 求出两段铁丝的长度；若不能， 请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少？6 、 A、B 两地间的路程为36千米 .甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时 30分到

15、达 B 地，乙再走1小时36分到达 A 地，求两人的速度 .考点七、根与系数的关系前提： 对于 ax 2bxc0 而言，当满足 a0、0 时，才能用韦达定理。主要容： x1x2b , x1 x2c常用变形：aax12x22( x1x2 ) 22x1 x21 1x1x2 ，(x1x2 )2( x1 x2 ) 24x1x2 ，x1x2x1 x2| x1x2 |(x1x2 )24x1 x2 ，x1x22x12 x2x1x2 ( x1x2 ) ，x2x1x12x2 2(x1x2 ) 24x1x2等x1x2x1 x2x1 x2应用： 整体代入求值。典型例题 ：例 1 、已知一个直角三角形的两直角边长恰是

16、方程2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6例 2 、解方程组： (1)xy10,x2y210,xy24;( 2)y 2.x例 3 、已知关于x 的方程 k 2 x 22k1 x10 有两个不相等的实数根x1 , x2 ，（1 ）求 k的取值围；（ 2 ）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。例 4 、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1 ）时，小明因看错常数项，而得到解为8和 2 ，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和 -1 。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 5

17、 、已知 ab ， a 22a10 ， b22b10 ，求 ab变式 ：若a2210 ，b22b10，则 ab 的值为。aba例 6、已知,是方程 x2x10的两个根，那么43.针对练习 1 已知 a27a4 ， b27b4(ab) ，求ba 的值。 2 、已知 x1 , x2ab是方程 x 2x90 的两实数根，求x137x223x266的值。3.（中考题）设a22a 10, b42b21 0 ， 且 1 ab 20 ， 则ab2 b23a 15=_ 。a4. ( 中考题）如果方程 x2 px q 0 的两个根是 x 1 ，x 2 ，那么 x1 x2 p ，x1 x2 q 请根据以上结论，解

18、决下列问题：（ 1 ）已知关于 x 的方程 x2 mx n 0 (n 0) ，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数； （ 2 ）已知 a、b 满足 a 2 15a 5 0 ，b 2 15b 5 0 ，求 a bb 的值；（ 3 ）已知 a 、 b 、c 均为实数，且a b c 0 ， abc 16 ，求正数c 的最小值a1. 当 k 为何值时，关于x 的方程k 21 x 2k1 x20 有实数根2. 已知方程 2x a bxa bab0 是关于 x 的一元二次方程，求a， b 的值3 设 x3a3x 100 和 x3b 4bx 8 0 都是关于 x 的一元二次方程，a2012

19、2013求：b.ab的值。4 解下列方程：（1 ） 2 x 22 x 5 0 （2 ） 3 121x6 x2 022（3 ） 3x x55 x5（ 4 ） x 2x205 已知方程 2x 24m 1 x m22m 求证： 不论 m 为何值， 次方程均有两个不相等的实根。6 已知三个关于x 的一元二次方程ax 2bxc0bx 2cxa0cx2axb0a 2b2c 2恰有一个公共实数根，求ac的值。bcabab 2b 2120127 已知 a 22a 1 0b42b210试求的值。a8 关于 x 的方程 x2( k 1)x 20 和方程 x22x k(k 1)0 只有一个相同的实根，求 k 的值及

20、公共根。9已知a.b.c分别是三角形ABC的三边长。当m0时，关于x 的一元二次方程c x 2mb x 2m2max0 有两个不相等的实根，试判断三角形ABC 的形状。10 已知方程 x 25x60 与方程 2x 22x m 0 的公共根和方程 3x2x 24 0 与方程1x21xn0的公共根相同，求m ， n 的值。2211 m ， n 是方程 x22x10 的两个根，且7m214ma 3n26n712 求 a 的值。12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和 5 。乙把常数项看错了得两根为26 和 26 ，求原一元二次方程。13已知关于x 的方程

21、x22(m2) x3m210（ 1 ）求证无论m 为何值，方程总有两个不相等的实根（ 2 ）设方程的两根为x1, x2 ， x1x22 3 求 m 的值。14 要使关于 x 的一元二次方程 x 22( m 2) x 3m 21 0 的两根的平方和最小，求 m 的值。15已知函数y= 2 和 y=kx+1 （ x 0 ）x（ 1）若这两个函数都经过（ 1 ， a ）求 a 和 k 的值（ 2）当 k 取何值时，这两个函数图像总有公共点16某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价可以多销售2

22、 件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？1 元则每天17 为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从2010 年起，市政府开始投资， 以后逐年增长， 2011 年投资了 3 亿元人民币。 预计 2012 年底三年累计共投资 9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年投资的增长率相同，求市政府投资的年增长率？18某商家从厂家以每件21 元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价元，则可卖出（ 350-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%店计划要赚400 元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？a。商一元二次方程培

23、优训练一部分1.已知方程 3ax2 -bx-1=0 和 ax 2 +2bx-5=0,有共同的根 -1, 则 a=, b=.2 关于 x 的方程 ( m3) xm2 1x 30是一元二次方程，则m；3.设 a, b 是一个直角三角形两条直角边的长，且 (a2b 2 )(a 2b21) 12 ，则这个直角三角形的斜边长为；4.当 x _ 时，代数式 x 21 x1的值为 0225.已 知 ： m 12 ， 则 关 于 x 的 二 次 方 程 (m 1) x2( m 5) x 4 0 的 解是；6 方程 (23) x2x 的解是；7.若一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a 0) 有一个根为1,

24、 则 a+b+c=; 若有一个根为-1, 则 b 与 a 、 c 之间的关系为; 若有一个根为零 ,则 c=.8. 某食品连续两次涨价 10% 后价格是 a 元 , 那么原价是 _ _.9. 长方形铁片四角各截去一个边长为5cm的正方形 ,而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍 , 作成的盒子容积为1.5 立方分米 , 则铁片的长等于_, 宽等于_.10 、3x4 y26y90则 xy=11、写出以 4 ， -5为根且二次项的系数为 1的一元二次方程是12、在一条线段上取n 个点，这 n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2 ）个点，若以这（ n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45

25、条，则 n=13 、方程2x 23x0 的根是。14 、如果 x22 m 1 x4 是一个完全平方公式，则m。15 、已知两个数的差等于4 ，积等于45 ，则这两个数为和。16 、当 m_ 时，关于 x 的方程m21 x2m1 x2 0 为一元二次方程。17（ x 3 ） 2 =1 的根是18方程 (x +1)( x 2)=0 的解是19写出一个一元二次方程，使它的一个根为220当 x=时，代数式x24 的值与代数式 2x3的值相等 x21我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7 月份净化污水 3000吨， 9 月份增加到3630 吨，则这两个月净化污水量的平均每月增加的百分率为22一个立方体的表面积是384cm2 ，求这个立方体的棱长 .设这个立方体的棱长为xcm ，根据题意列方程得，解方程得 x=23 在一幅长80cm ，宽 50cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边（如图所示），制成一幅长方形挂图. 如果要使整个挂图的面积是5400cm2 ，设金色纸边的宽为xcm ，则由题意列方程得二部分1、关于y 的一元二次方程 2 y y 34 的一般形式是。2、 3x2x7 的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。3、方程 2x 23x 0 的根是。4 、用配方法解方程x 24x60 ，则 x 24x _6_ ，所以 1 _,x2_ 。x