《新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解8.4 因式分解十字相乘法》教案_3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解8.4 因式分解十字相乘法》教案_3.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、因式分解十字相乘法教学设计一、教学目标：1.知识与技能：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2(pq)xpq型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。3.情感态度与价值观：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。二、教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；难点：灵活运用十字相乘法分解因式.三、教学过程设计一、复习回顾1、因式分解
2、与整式乘法逆运算的关系(x+1)(x-1) =(x2-1) (x2-1)= (x+1)(x-1) 因式分解与整式乘法是逆运算 2、因式分解的方法 提取公因式法ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 公式法(a2-b2)= (a+b)(a-b) a2 2ab+b2= (a b)2 二、新课讲解p、q型因式分解和十字相乘法1、p、q型因式分解 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可用它进行因式分解（适用于二次三项式） 这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数。例1：因式分解x2+4x+3 解： 可以看出常数项3 = (1
3、)(3) 而一次项系数 4= (1) + (3) 原式=(x+1)(x+3) 例2：分解因式 (a2b)210(a2b)21 解：把（a2b）看做一个整体 可以看出常数项21 = (-3)(-7) 而一次项系数 -10 = (3) + (7) 原式= （a2b3)(a2b7) 例3：分解因式(x22x)22(x22x)3 解：把（x22x）看做一个整体 可以看出常数项-3 = (-3)(1) 而一次项系数 -2 = (3) + (1) 原式= (x22x3)(x22x1) 此时，因式分解并未有完成，式子当中仍含有p、q型二次三项式和完全平方公式，因此需要进一步分解即原式=(x3)(x1)(x1
4、)2 练习：1）a26a+5 2）a25a+6 2、十字相乘法试因式分解 2x27x+3分析：在这个式子当中，二次项系数不是1，通过提取系数公因式也不能将二次项系数化为1，因此p、q型因式分解不能直接应用。分析：整式乘法中(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2 ，则二次式2x2-7x+3因式分解结果可以写成(a1x+c1)(a2x+c2)的形式 。总结：如何去做？ 需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数即可。 例 1 把2x27x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉
5、线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：21221；分解常数项：3=13=13=(-3)(-1)=(-1)(-3).用画十字交叉线方法分别表示下列四种情况： 1 1 1 3 2 3 2 1 13+21 =5 11+23 =7 1 -3 1-1 2 -1 2 -31(-1)+2(-3)=-7 1(-3)+2(-1)=-7经过观察，第三种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.即2x27x+3=(x3)(2x1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a0)，如果二次
6、项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1a2 c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2 （1）把6 x2 + 7 x + 2 分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项2，把
7、它们分别排列，其中的一种2 13 2 2(2)+31=7 是符合要求，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.即6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)（2）把3 x2 + 11 x + 10因式分解 分析：按照例1的方法，分解二次项系数3及常数项10，把它们分别排列，其中的一种1 23 5 1(5)+32=11是符合要求，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.即3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)。指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。课
8、堂练习1、试因式分解（1）6x2+7x+2 （2）3x2-11x+10 2、将下列各式分解因式 (1)m4-3m2-10(2)(3a-b)2-10(3a-b)+21四、课堂小结1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；斜向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式.