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1、几何综合题复习几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。一、几何论证型综合题例 1、（盐城）如图，已知：O1 与 O2 是等圆，它们相交于A 、 B 两点， O2 在 O1上， AC 是 O2 的直径，直线CB 交 O1 于 D ，E 为 AB 延长线上一点，连接DE。(1)请你连结AD ，证明： AD 是 O1 的直径；(2)若 E=60，求证： DE 是 O1 的切线。分析： 解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。证明：（ 1）连接 AD
2、 ， AC 是 O2 的直径， AB DC ABD=90 , AD 是 O1的直径（ 2）证法一： AD 是 O1 的直径，O为AD中点AO1O21连接 O1O2，DCB点 O2 在 O1上， O1 与 O2 的半径相等，E O1O2=AO 1=AO 2 AO 1O2 是等边三角形， AO 1O2=60由三角形中位线定理得：O1O2DC， ADB= AO 1O2=60 AB DC， E=60 ， BDE=30 ， ADE= ADB+ BDE=60 +30=90又 AD 是直径， DE 是 O1的切线证法二：连接 O1O2，点 O2 在 O1 上， O1 与 O2 的半径相等，点 O1 在 O2
3、 O1O2=AO 1=AO 2， O1AO 2=60 AB 是公共弦， AB O1O2， O1AB=30 E=60 ADE=180 - （ 60 +30） =90由（ 1）知： AD 是的 O1 直径，DE 是 O1的切线 .说明： 本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。练习一1如图，梯形 ABCD内接于 O，AD BC，过点 C作 O的切线，交 BC的延长线于点 P，交 AD 的延长线于点 E，若 AD=5， AB=6， BC=9。求 DC的长；求证：四边形ABCE是平行四边形。2已知：如图， AB是 O的直径，点 P 在 BA 的延长线上， PD切 O于点 C，
4、BD PD，垂足为 D，连接 BC。D求证：（ 1） BC平分 PBD；（ 2） BC 2AB BDCPAOB图 51 23 PC切 O 于点 C，过圆心的割线 PAB交 O于 A、 B 两点， BE PE，垂足为 E， BE 交 O于点 D，F 是 PC上一点，且 PF AF， FA 的延长线交 O于点 G。求证：（ 1） FGD 2 PBC；（ 2） PCPO .AGAB4. 已知：如图， ABC内接于 O，直径 CDAB，垂足为 E。弦 BF 交 CD于点 M，交 AC于点 N，且 BF=AC，连结 AD、 AM，求证： (1) ACM BCM；AF(2)AD BE=DE BC；N(3)
5、BM 2=MNMF 。DEM OCB5. 已知：如图， ABC中， AC BC，以 BC为直径的 O交 AB 于点 D，过点 D 作 DEAC于点 E，交 BC的延长线于点 F求证：（ 1） ADBD；A（ 2） DF是 O的切线DEBOCF二、几何计算型综合题解这类几何综合题，应该注意以下几点：（ 1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形；（ 2）灵活运用数学思想与方法 .例 2 如图，矩形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O， E、 F 分别是（ 1）求证： ADE BCF；（ 2）若 AD = 4cm ， AB = 8cm ，求
6、CF 的长解：（ 1）四边形 ABCD为矩形， ADBC， OAOC， OBOD， ACBD， AD BC， OAOB OC， DAE OCB， OCB OBC，D DAE CBFOA、 OB的中点BFO（例2题）C又 AE 1 OA， BF 1 OB， AE BF，22 ADE BCF（ 2）解：过点 F 作 FG CD于点 G，则 DGF 90o， DCB 90o， DGF DCB，又 FDG BDC， DFG DBC， FG DF DG BC DB DCBF由（ 1）可知 DF 3FB，得 DF3 ，DDB4（例 2） FG3DG ， FG3， DG6，448 GCDC DG8 6 2G
7、C在 Rt FGC中， CFFG 2GC29413 .说明： 本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。练习二1. 已知：如图，直线 PA 交 O于 A、E 两点， PA 的垂线 DC切 O于点 C，过 A 点作 O的直径AB。（ 1）求证： AC平分 DAB；（ 2）若 DC4， DA 2，求 O的直径。2已知：如图，以 Rt ABC的斜边 AB为直径作 O，D 是 O上的点，且有 AC=CD。过点 C 作 O的切线，与BD的延长线交于点E，E连结 CD。CD(1) 试判断 BE与 CE是否互相垂直 ?请说明理由；(2) 若 CD=21，求 O的半径长。AOB5，
8、tan DCE=23如图， AB是 O的直径， BC是 O的切线， D 是 O上的一点，且AD CO。(1) 求证：ADB OBC； (2) 若 AB=2， BC= 2 ，求 AD的长。 ( 结果保留根号)CDABO4如图 ,AD 是 ABC 的角平分线 , 延长 AD 交ABC 的外接圆 O 于点 E , 过 C、D、E 三点的圆 O1交 AC 的延长线于点F ，连结 EF、DF A(1) 求证： AEF FED ；(2)若 AD 6,DE3, 求 EF 的长；CD(3)若DFBE,试判断 ABE 的形状，并说明理由B?O1E?OF5如图，已知四边形ABCD内接于 O， A 是 ?BDC 的
9、中点， AE AC于 A，与 O及 CB的延长线分别交于点F、E，且 ADC EBA； AC 2 12 BCCE；?BFAD ， EM切 O于 M。如果 AB 2，EM 3，求 cot CAD的值。能力提高1、如图矩形ABCD中，过 A， B 两点的 O切 CD于 E，交 BC于 F， AH BE于 H，连结 EF。（ 1） 求证： CEF BAH（ 2） 若 BC2CE 6，求 BF 的长。2如图， O的弦 AB=10， P 是弦 AB所对优弧上的一个动点，tan APB=2，(1) 若 APB为直角三角形，求PB的长；P(2) 若 APB为等腰三角形，求APB的面积。OAB3. 如图 l
10、，已知正方形ABCD的对角线AC、 BD 相交于点O，E 是 AC上一点，连结EB，过点 A作 AM BE，垂足为 M， AM交 BD于点 F(1) 求证： OE=OF；(2) 如图 2，若点 E 在 AC的延长线上， AM BE于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“ OE=OF”还成立吗 ?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由AADDOOFEMMBCBCE图1图 2F4如图 11，在 ABC中， ABC 90， AB 6， BC 8。以 AB 为直径的 O交 AC于 D， E 是 BC的中点，连接 ED并延长交BA的延长线于点F。（ 1）求证： DE是 O的切线
11、；（ 2）求 DB的长；（ 3）求 SFAD SFDB 的值5已知：ABCD的对角线交点为O，点 E、F 分别在边AB、CD上，分别沿A、 C 两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图） 求证：四边形ABCD是矩形；D在四边形ABCD中，求AB 的值BCDE、BF 折叠四边形ABCD,FO CABE6如图， AB 是 O的直径，点C 在 BA的延长线上，CA=AO，点 D在 O上， ABD=30求证： CD是 O的切线；若点 P 在直线 AB 上， P 与 O外切于点 B，与直线 CD相切于点 E，设 O与 P 的半径分别为 r 与 R，求r 的值REDCABOP7、知直线 L 与相
12、切于点 A，直径 AB=6，点 P 在 L 上移动，连接 OP交于点 C，连接 BC 并延长 BC交直线 L 于点 D.(1) 若 AP=4，求线段 PC的长 ; （ 4 分）(2) 若 PAO与 BAD相似，求 APO的度数和四边形 OADC的面积 . （答案要求保留根号）8、如图 7，已知 BC是 O 的直径， AH BC，垂足为D，点 A 为 ?BF 的中点， BF 交 AD于点 E，且 BEgEF=32， AD=6.(1) 求证： AE=BE； (2) 求 DE的长； (3) 求 BD的长 .9、如图 1： O的直径为AB，过半径OA的中点 G作弦 CE AB，在 CB 上取一点D，分
13、别作直线 CD、ED交直线 AB于点 F、 M。（ 1）求 COA和 FDM的度数；（ 2）求证： FDM COM；（ 3）如图 2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D 改取在 EB 上，仍作直线CD、 ED，分别交直线AB于点 F、 M，试判断：此时是否仍有FDM COM？证明你的结论。10、已知：如图 12，在直角梯形 ABCD中， AD BC，BC 5cm， CD 6cm， DCB 60， ABC 90。等边三角形 MPN（ N 为不动点）的边长为 a cm，边 MN和直角梯形 ABCD的底边 BC都在直线 l 上， NC8cm。将直角梯形 ABCD向左翻折 180，翻折一次得到图
14、形，翻折二次得图形，如此翻折下去。（ 1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a 2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（ 2）将直角梯形ABCD向左翻折三次， 如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？（ 3）将直角梯形 ABCD向左翻折三次， 如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？PDAIMNCB图 1211、如图，ABC 是等边三角形， O过点 B,C，且与 BA, CA 的延长线分别交于点D,E弦 DF AC ， EF
15、 的延长线交 BC 的延长线于点 G（ 1）求证： BEF 是等边三角形；ED（2）若 BA4 ， CG2 ，求 BF 的长AOFBCG（图 5 11）12、已知：如图， BD是 O的直径，过圆上一点A作 O的切线交 DB的延长线于 P，过 B 点作BC PA交 O于 C，连结 AB、 AC。APODB（ 1） 求证： AB=AC；（ 2） 若 PA=10， PB=5，求 O的半径和 AC的长。C13、如图， AB是 ABC的外接圆 O的直径， D 是 O上的一点， DE AB于点 E，且 DE的延长线分别交 AC、 O、 BC的延长线于 F、 M、 G.（ 1）求证： AE BE EF EG
16、；（ 2）连结 BD，若 BDBC，且 EF MF 2，求 AE和 MG的长 .答案：练习一1解： ADBC ?ABDC DC=AB=6证明： ADBC， EDC=BCD又 PC与 O相切， ECD=DBC CDE BCD DC DE BC DC DE DC2 62 4BC9 AE=AD+DE=5+4=9 AE BC四边形ABCE是平行四边形。2. 证明：（ 1）连结 OC。 PD切 O于点 C，又 BD PD， OC BD。 1 3。又 OC OB， 2 3。 1 2，即 BC平分 PBD。（ 2）连结 AC。 AB是 O的直径， ACB 90。又 BD PD， ACB CDB90又 1 2
17、， ABC CBD ABBC ， BC 2 AB gBDCBBD3.( 1）连结 OC。 PC切 O于点 C， OC PC。 BE PE， OC BE。 POC PBE。又 PBE FGD， POC FGD。 POC 2PBC， FGD 2PBC。（ 1） 连结 BG AB是的直径， AGB 90。又 OC PC， PCO90， AGB PCO。 FP FA， FPA PAF BAG。ECDFBPAOG5-1-3 图 PCO AGB。PCPOAGAB4.5. （ 1）证法一：连结 CD， BC为 O的直径 , CD AB AC BC, AD BD证法二：连结 CD， BC为 O的直径 ADC
18、BDC90 AC BC， CD CD ACD BCD, AD BD（ 2）证法一：连结 OD， ADBD， OB OC ODAC DEAC DF OD DF 是 O的切线证法二：连结 OD， OB=OD, BDO B B A, BDO= A A+ ADE 90 , BDO ADE 90 ODF=90 , DF是 O的切线练习二1（ 1）证法一：连结BC AB为 O的直径ACB 90o又 DC切 O于 C点 DCA B DC PEADEBOCF Rt ADC Rt ACB DAC CAB（ 2）解法一：在 Rt ADC中， AD 2， DC 42 2 AC ADDC 2 5由（ 1）得 Rt A
19、DC Rt ACBABAC220AC即 AB 10ACADAD2 O的直径为 10（ 1）证法二：连结 OC OA OC ACO CAO又 CD切 O于 C点 OC DC CD PA OC PA ACO DAC DAC CAO（ 2）解法二：过点 O作 OM AE 于点 M，连结 OC DC切 O于 C点 OC DC又 DCPA四边形OCDM 为矩形 OM DC 4又 DC2 DADE DE 8， AE 6， AM 3在 Rt AMO 中 ,OA OM 2 AM 2 5即 O 的直径为10。2.3. (1) 略；（ 2）由（ 1），得 ADB OBC，4.(1 ）证明：连结两圆的相交弦CE在圆
20、 O1 中，EFDDCE ，在圆O中，BAEDCE ，EFDBAE ，又因为 AE 是BAC 角平分线，得 BAE=CAE，CAEEFD ，AEFFED ， AEF FED （ 2） AEF FED ， DE EF，EFAEEF2AE?DE(AD DE)?DE27 ， EF33（ 3）证明：根据同弧上的圆周角相等，得到：ABCAEC ， CBECAE ，ABEAECCAE ，AECCAEACE =180，ABEACE=180，又FCEACE=180， FCEABE DF BE，FDEAEB ，又FCEEDF ， AEB = ABE ， ABE 为等腰三角形5四边形ABCD内接于 O， CDA
21、ABE，? BFAD ， DCA BAE， CAD AEB1?过 A 作 AHBC于 H(如图 ) A 是 BDC 中点， HCHBBC，2 CAE 900， AC 2 CHCE 1?2 BCCE A 是 BDC 中点， AB 2， ACAB 2，EM 是 O 的切线， EBEC EM 2AC 212 BCCE ，BCCE8得： EC(EB BC) 17， EC2 17EC 2 AC 2AE 2， AE 1722 13 CAD ABE ， CAD AEC ，AE13 cot CADcot AEC 2AC提高练习1.2.3. (1)证明：四边形ABCD是正方形BOE=AOF 90 OB OA又
22、AMBE，MEA+MAE 90=AFO+MAEMEAAFO Rt BOE Rt AOF OE=OF(2)OE OF成立证明：四边形ABCD是正方形，BOE=AOF 90OB OA又 AMBE，F+MBF 90=B+OBE又MBFOBE FE Rt BOE Rt AOF OE=OF4. （1）证明：略（ 2）在 Rt ABC中， AB6， BC 8 AC 10232， AD18 BCCD? AC CD55321824又 ADB BDC2 BD BD AD? CD5?55（ 3） FDA FBD F F FDA FBD SFAD SFDB ( AD ) 29BD165、（ 1）证明：连结 OE四边
23、形 ABCD是平行四边形， DO=OB，四边形 DEBF是菱形， DE=BE， EO BD DOE= 90即 DAE= 90又四边形 ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形（ 2）解：四边形DEBF是菱形D FDB= EDB又由题意知 EDB= EDA由（ 1）知四边形 ABCD是矩形A ADF=90，即 FDB+ EDB+ ADE=90E则 ADB= 60在 Rt ADB中，有 AD AB=1 3即 AB3BC6、FOCB（ 1）证明：连结 OD、 DA， AB是 O的直径， BDA=90又 ABD=30， AD=1 AB=OA又 AC=AO， ODC=90 CD切 O于点 D2（ 2）
24、方法一：连结 PE，由（ 1）知 DAB=60，又 AD=AC C=30又 DE切 P 于 E， PE CEPE=1 CP2又 PE=BP=R， CA=AO=OB= r 3r=R ，即 r1R3方法二：连结 PE，又 DE切 P 于 E， PE CE OD PE OD =CO即 r2rR， r1EP CPR3rR37、解：（ 1）l与 相切于点A，490 0OP 2OA 2AP2OPOC1AB 3,AP 42OP 23242OP5PC532，2APO（ 2）PAO BAD,且 1 2， 4= 4=90OBOC231231222APO490 01APO9003 APO900APO30 0在 Rt
25、BAD中，2APO30 0AD6 tan 30 063233方法一：过点O作 OE BC于点 E，2300 ,BO3OE3 , BE3con3003 322BC2BE3 3S四边形 OADCS BADS BOC1AB?AD1 BC ?OE221623133223263934=1534方法二：在 RtOAP中， AP=6tan600=33 ,OP=2OA=6,DP=APAD=332 33, PCOPOC633,01PC3过点 C 作 CF AP于 F， CPF=30,CF=22S 四边形 OADC=S OAP S CDP = 1 AP OA 1 DP CF = 1(33 333)2222153=
26、48. (1)连 AF，因 A 为的 ?中点，又，BFABE= AFBAFB=ACBABE=ACB . BC 为直径， BAC=90， AHBC， BAE=ACB， ABE= BAE， AE=BE .(2) 设 DE=x(x0) ，由 AD=6， BEgEF=32，AEgEH=BEgEF，有 (6-x)(6+x)=32 ，由此解得 x=2， 即 DE的长为 2 .22(3)由 (1) 、 (2) 有： BE=AE=6-2=4，在 RtBDE中， BD= 42= 2 3 AC AE ， CGEG在 Rt COG中，OG 1 OC200 OCG 30 ， COA 60又 CDE的度数 1 弧 CAE的度数2 AC 的度数 COA的度数 60000 FDM 180 CDE120（2）证明： COM 1800 COA 1200 COM FDM在 Rt CGM和 Rt EGM中GMGM Rt CGM Rt EGM GMC GMEEGCG又 DMF GME OMC DMF FDM COM（3）解：结论仍成立。0 FDM 180 CDE1 CDE的度数弧 CAE的度数 AC 的度数 COA的度数 FDM1800 COA COM AB为直径， CEAB； 在 Rt CGM和 Rt EGM中GMGMCGEG Rt CGM Rt EGM