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1、数轴穿根法一、概念简介1. “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2. 准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。 序轴上标出的两点中， 左边的点表示的数比右边的点表示的数小。3. 是高次不等式的简单解法4. 为了形象地体现正负值的变化规律， 可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点， 穿过最后一个点后就不再变方向， 这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（ 注意：一定要保证x 前的系数为正数 ）例如：将 x3-2x2-x+20 化为 (x-2)(x-1)(x+1)0 第二步：将不等
2、号换成等号解出所有根。例如： (x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为： x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如： -1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线， 然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“0的根。在数轴上标根得： -1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“ ”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x2。（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的 x 偶数幂项时，如 (x2) 或(x4) 时，
3、穿根线是不穿过 0 点的。但是对于 X 奇数幂项，就要穿过 0 点了。还有一种情况就是例如：（X-1)2. 当不等式里出现这种部分时， 线是不穿过 1 点的。但是对于如（ X-1)3 的式子，穿根线要过 1 点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过， 偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（ X-1)2 ）四、注意事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1 出现形如（ ax）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例 1解不等式 x（3x）（ x+1）（ x2）0。解 x （ 3x）（ x+1）（ x2）0，将各根 1、0、2、3 依次标在数轴上，由图 1 可得原不等式的解集为 x|x 1
4、或 0x3 。事实上，只有将因式（ ax）变为（ xa）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解 原不等式变形为 x（x3）（ x+1）（ x2）0，将各根 1、0、2、3 依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为 x| 1x0 或2x3 。2 出现重根时，机械地“穿针引线”例 2 解不等式（ x+1）（ x1）2（x4）30解 将三个根 1、1、4 标在数轴上，由图2 得，原不等式的解集为 x|x 1 或 1x4。（如图二）这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时， 所画的浪线遇到“偶次”点 （即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴， 仍在数轴的同侧折回，只
5、有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：解 将三个根 1、1、4 标在数轴上，如图3 画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1 的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到 x=4 的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集x| 1x0解 原不等式变形为x（x+1）（ x2）（ x1）（ x2+x+1）0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解 原不等式等价于x（x+1）（ x2）（ x1）（ x2+x+1）0， x2+x+10 对一切 x 恒成立，
6、x （ x1）（ x+1）（ x2）0，由图 4 可得原不等式的解集为 x|x 1 或 0x2数轴标根法 - 练习题1. 不等式 x2 6x+80的解集为_.2.2x 2x60 的解集为 _3.6x 25x60 的解集为 _4.x22 x30 的解集为 _5.2x 27 x40 的解集为 _6.( x3)( x1)(x 25x6)0 的解集为 _7.x2 (x1)( 2x)0 的解集为 _8.(x4)2 (x2)3 ( x21)0 的解集为 _x309. x的解集为 _x1010. x1的解集为 _x23x2011.x 22x3的解集为 _x312. x1的解集为 _24x13.x 2x 13
7、x 2的解集为 _14（2013?广东）不等式x2+x 20 的解集为_15（2012?湖南）不等式x25x+60的解集为_16（2008?北京）不等式的解集是_17（2011?巢湖模拟）不等式的解集为_18（2008?杨浦区二模）不等式的解为_19（2008?卢湾区二模）不等式的解集为_20不等式 x2+5x60 的解集为_21不等式 2x23x20 的解集为_22不等式 x24x+50 的解集是_10函数的定义域是_11不等式的解集为_12不等式的解集是_13已知函数 f （x）= 的定义域是一切实数，则 m的取值范围是 _ 14不等式的解集为_15若不等式的解集为x|3x 1或x2 ，则a=_16解不等式 2x25x317已知集合 A=x| x2+x+60 ，B=x|x 2+2x80 ，求 AB18解不等式：