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1、椭圆定义与几何意义习题及答案一、选择题( 每小题 4 分,共 40 分 )1. 若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ()A(0,+)B(0,2)C(1,+)D(0,1)uuuuruuuur2. 已知 F1 、F2 是椭圆的两个焦点, 满足 MF1 . MF2 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1)B(0, 1 C (0,2 )D 2 ,1)2223.已知椭圆 x 2y 21的左焦点是 F1 ,右焦点是 F2,点 P 在椭圆上,1612如果线段 PF1 的中点在 y轴上,那么PF1 : PF2 的值为A 3B 1C 5D
2、552634.已知椭圆的两个焦点为F1 ( 5,0) , F2 ( 5,0) , M 是椭圆上一点,若MFMF20, MF1MF28,则该椭圆的方程是()1(A)(C)x 2y2712x 2y2914(B)(D)x2y2217x2y24195.设椭圆 x2y21(m0, n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相m2n2同,离心率为1 ,则此椭圆的方程为()2A x2y21 x2y21C x2y21D x2y211216B124864644816椭圆 x2+ y26.22 =1( ab0)上一点 A 关于原点的对称点为B,F 为其右ab焦点,若 AFBF,设ABF=,且, ,则该椭圆离心率12
3、4的取值范围为()A2 ,1 ) B2 ,6 C 6 ,1) D 2 ,3 2233227. 设抛物线 y 22 px( p0) 的焦点 F 恰好是椭圆 x 2y 21 a b0 的a 2b2右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F ,则该椭圆的离心率为(A) 32(B) 2(C) 2 1(D) 6338.在椭圆 x2y21(a b0) 上有一点 , F , F 是椭圆的两个焦点,a2b2M12若 | MF1 | | MF 2| 2b 2 ,则椭圆离心率的范围是()2 B2C3DA (0,1),1) 2,1)222x 2y 21( m0, n0)y 29.设椭圆 m2n2的右焦点与抛物线8x 的焦
4、点相1同,离心率为 2 ,则此椭圆的方程为()A.C.x2y 211216B.x2y 214864D.x2y 216112x2y 26414810. 在椭圆 x2y 21(a b0) 上有一点, F, F 是椭圆的两个焦点,a2b2M 12若 | MF1 | | MF 2 | 2b 2 ,则椭圆离心率的范围是()2 B2C3DA (0,1) ,1) 2 2 ,1)22二、填空题( 共 4 小题,每小题4 分)11. 已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1、F2,点 P 是 C1 与 C2的一个公共点,PF1 F2 是一个以PF1 为底的等腰三角形, | PF1 | 4, C13 ,的离
5、心率为 7 则 C2 的离心率为。12. 设 F1、F2 是椭圆 x 2y21 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且 PF194PF21,则 PFF的面积等于21213.椭圆 x2y21 上的点 P 到它的两 个焦 点 F1、 F2 的距离 之比a2b2PF1 : PF22: 3, 且PF1F2(0) , 则的 最 大 值2为.1 4 .如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 , 已 知 椭 圆x2y21(ab0) 的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若a2b2BAOBFO900 ,则椭圆的离心率是.三、解答题( 共 44 分,写出必要的步骤 )15. (本小题满分 10 分)已
6、知点 P(4,4),圆 C:( x m)2y25 ( m 3)x2y21( a b0)与椭圆 E: a2b 2有一个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1与圆 C相切()求 m的值与椭圆 E 的方程;uuuruuur()设 Q为椭圆 E 上的一个动点,求APAQ 的取值范围C : x2y21(a b 0)16. (本小题满分 10 分)已知椭圆 a2b2经过点 M(-2 ,2-1 ),离心率为2 。过点 M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于 M的另外两点 P、Q。( I )求椭圆 C 的方程;( II ) PMQ 能否为直角?证明你的结论;( III )
7、证明:直线 PQ的斜率为定值,并求这个定值。C :x2y21(a b 0)17. (本小题满分a2b212 分)已知椭圆经过点 M(-2 ,2-1 ),离心率为 2。过点 M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于 M的另外两点 P、Q。( I )求椭圆 C 的方程;( II )试判断直线 PQ的斜率是否为定值,证明你的结论。18. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:x324y2 304()求 C1、 C2 的标准方程;222()请问是否存在直线l 满足条件:
8、过 C2 的焦点 F ;与 C1 交uuuuruuur不同两点 M 、 N , 且满足 OM ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由答案一、选择题1. D2. C3. D4. C5. B6. B7. C8. B9. B10. B二、填空题11. 3 12. 413.14.5123三、解答题15. 解:()点 A 代入圆 C方程,yPAF1OCF2xQ得 (3m)215 因为 m3, m1 2 分圆 C: ( x 1)2 y2 5 设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1: yk( x4)4 ,即 kx y4k40因为直线 PF1 与圆 C相切,所以 | k04 k4|5 k
9、21解得 k11 , 或 k 1 2 2当 k 11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 36 ,不合题意,舍211去当 k1时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为4,21所以 c4F ( 4,0),F (4, 0)122aAF1AF2 5 226 2 , a3 2 ,a218,b2 2椭圆 E 的方程为: x2y21182uuur(1,3) ,设 Q(x,y),uuur( x 3, y 1) ,() APAQuuuruuur( x3)3( y1)x3y6 APAQ因为 x2y21 ,即 x2(3 y) 218 ,182而 x2(3 y)2 2 | x | | 3 y | , 186
10、xy18则 (x3 y) 2x2(3 y) 26xy186 xy 的取值范围是 0 ,36 x 3 y 的取值范围是 6,6 uuuruuur所以 APAQx3 y6 的取值范围是 12,0 4 116. ()由题设,得 a2b21,a2b22且a 2 ,由、解得 a26,b23,x2y2椭圆 C的方程为 6 3 1()记 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) 设直线 MP的方程为 y1k(x 2) ,与椭圆 C的方程联立,得(1 2k2)x2 (8k2 4k)x 8k28k40,2,x1 是该方程的两根,则 2x18k28k4,x14k24k212k212k2设直线 MQ的方程为 y1 k(
11、x 2) , 4k2 4k2同理得 x212k2因 y11k(x1 2) ,y21 k(x2 2) ,8k2)k(x22)k(x14)12k2y1 y2 k(x1x2故 kPQx1x2x1x2x1x28k1,12k2因此直线 PQ的斜率为定值4 117. ()由题设,得 a2b21,a2b22且a 2 ,由、解得 a26,b23,椭圆C的方程x2y2为6313 分()设直线 MP的斜率为 k,则直线 MQ的斜率为 k,假设 PMQ为直角,则 k( k) 1,k 1若 k1,则直线 MQ方程 y1 (x 2) ,与椭圆 C方程联立,得 x24x40,该方程有两个相等的实数根2,不合题意;同理,若
12、 k 1 也不合题意故PMQ不可能为直角6 分()记 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) 设直线 MP的方程为 y1k(x 2) ,与椭圆 C的方程联立,得(1 2k2)x2 (8k2 4k)x 8k28k40,8k28k4,x14k24k22,x1 是该方程的两根,则 2x112k212k2设直线 MQ的方程为 y1 k(x 2) ,同理得x2 4k24k212k2分9因 y11k(x1 2) ,y21 k(x2 2) ,8ky2k(x12)k(x22)k(x14)12k2y1x2故 kPQx1x2x1x2x1x28k1,12k2因此直线PQ的斜率为定值12 分18. 解:()设抛物线 C
13、 2: y 22 px( p 0) ,则有 y 22 p( x 0) ,据此x验 证4 个 点 知 ( 3 ,23 )、( 4 ,4 ) 在 抛 物 线 上, 易 求C 2 : y 24x 2 分设 C1: x2y 2,把点(2,0)( 2 ,2 )代入得:C 2:a 2b2( a b 0)241a 2a2解得421b 211a22b 2 C1 方程为 x 2y 21 45 分()法一:假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F (1,0) ,设直线 l 的方程为x 1 my, 两交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,x 1 my由x2y 2消去x,得14(m
14、24) y 22my30, 7 分 y1y22m3, y1 y2m 24m24x1 x2(1my1 )(1my2 )1 m( y1y2 )m2 y1 y21m2mm 23444m 2m24m 2m 24 9 分uuuuruuur0,得 x1 x2由 OMON ,即 OMONy1 y20(*)将 代 入 ( * ) 式 , 得 4 4m230 ,解 得m 24m 24m1 11 分2所以假设成立, 即存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y2x2或y 2x 2 12 分法 二 : 容 易 验 证 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 不 满 足 题意;6 分当直线 l 斜率存在时,
15、假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1,0) ,设其方程为 yk (x1) ,与 C1 的交点坐标为 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )由x2y21消掉4k (x1)y(1 4k 2 ) x28k 2 x 4(k2 1)0 , 8 分y,得于是x1x28k2, x1x24(k 21)14k214k2y yk (x1) k( x1) k2 x x(xx )112111212即y1 y2k 2( 4( k 21)8k 21)3k 21 4k21 4k 21 4k 2 10 分uuuuruuur0 ,得 x1 x2 y1 y2 0(*)由 OMON ,即 OM ON将、代入(* )式,得11 分4(k 21)3k 2k 240,解得 k2 ;14k214k 214k 2所 以 存 在 直 线 l 满 足 条 件 , 且 l 的 方 程 为 : y2x2 或y 2x 2 12 分