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1、椭圆定义与几何意义习题及答案一、选择题( 每小题 4 分，共 40 分 )1. 若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为 （）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）uuuuruuuur2. 已知 F1 、F2 是椭圆的两个焦点， 满足 MF1 . MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A(0,1)B(0, 1 C (0,2 )D 2 ,1)2223.已知椭圆 x 2y 21的左焦点是 F1 ，右焦点是 F2，点 P 在椭圆上，1612如果线段 PF1 的中点在 y轴上，那么PF1 : PF2 的值为A 3B 1C 5D
2、552634.已知椭圆的两个焦点为F1 ( 5,0) ， F2 ( 5,0) ， M 是椭圆上一点，若MFMF20， MF1MF28，则该椭圆的方程是（）1(A)(C)x 2y2712x 2y2914(B)(D)x2y2217x2y24195.设椭圆 x2y21(m0， n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相m2n2同，离心率为1 ，则此椭圆的方程为（）2A x2y21 x2y21C x2y21D x2y211216B124864644816椭圆 x2+ y26.22 =1( ab0)上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右ab焦点，若 AFBF，设ABF=，且, ，则该椭圆离心率12
3、4的取值范围为（）A2 ,1 ) B2 ,6 C 6 ，1) D 2 ,3 2233227. 设抛物线 y 22 px( p0) 的焦点 F 恰好是椭圆 x 2y 21 a b0 的a 2b2右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为（A） 32（B） 2（C） 2 1（D） 6338.在椭圆 x2y21(a b0) 上有一点 ， F , F 是椭圆的两个焦点，a2b2M12若 | MF1 | | MF 2| 2b 2 ，则椭圆离心率的范围是（）2 B2C3DA (0,1),1) 2,1)222x 2y 21( m0, n0)y 29.设椭圆 m2n2的右焦点与抛物线8x 的焦
4、点相1同，离心率为 2 ，则此椭圆的方程为（）A.C.x2y 211216B.x2y 214864D.x2y 216112x2y 26414810. 在椭圆 x2y 21(a b0) 上有一点， F, F 是椭圆的两个焦点，a2b2M 12若 | MF1 | | MF 2 | 2b 2 ，则椭圆离心率的范围是（）2 B2C3DA (0,1) ,1) 2 2 ,1)22二、填空题( 共 4 小题，每小题4 分)11. 已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1、F2，点 P 是 C1 与 C2的一个公共点，PF1 F2 是一个以PF1 为底的等腰三角形， | PF1 | 4, C13 ,的离
5、心率为 7 则 C2 的离心率为。12. 设 F1、F2 是椭圆 x 2y21 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且 PF194PF21，则 PFF的面积等于21213.椭圆 x2y21 上的点 P 到它的两 个焦 点 F1、 F2 的距离 之比a2b2PF1 : PF22: 3， 且PF1F2(0) ， 则的 最 大 值2为.1 4 .如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 ， 已 知 椭 圆x2y21(ab0) 的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若a2b2BAOBFO900 ，则椭圆的离心率是.三、解答题( 共 44 分，写出必要的步骤 )15. （本小题满分 10 分）已
6、知点 P（4，4），圆 C：( x m)2y25 ( m 3)x2y21( a b0)与椭圆 E： a2b 2有一个公共点 A（3，1），F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1与圆 C相切（）求 m的值与椭圆 E 的方程；uuuruuur（）设 Q为椭圆 E 上的一个动点，求APAQ 的取值范围C : x2y21(a b 0)16. （本小题满分 10 分）已知椭圆 a2b2经过点 M（-2 ，2-1 ），离心率为2 。过点 M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于 M的另外两点 P、Q。（ I ）求椭圆 C 的方程；（ II ） PMQ 能否为直角？证明你的结论；（ III ）
7、证明：直线 PQ的斜率为定值，并求这个定值。C :x2y21(a b 0)17. （本小题满分a2b212 分）已知椭圆经过点 M（-2 ，2-1 ），离心率为 2。过点 M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于 M的另外两点 P、Q。（ I ）求椭圆 C 的方程；（ II ）试判断直线 PQ的斜率是否为定值，证明你的结论。18. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上， C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y2 304（）求 C1、 C2 的标准方程；222（）请问是否存在直线l 满足条件：
8、过 C2 的焦点 F ；与 C1 交uuuuruuur不同两点 M 、 N , 且满足 OM ON ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由答案一、选择题1. D2. C3. D4. C5. B6. B7. C8. B9. B10. B二、填空题11. 3 12. 413.14.5123三、解答题15. 解：（）点 A 代入圆 C方程，yPAF1OCF2xQ得 (3m)215 因为 m3， m1 2 分圆 C： ( x 1)2 y2 5 设直线 PF1 的斜率为 k，则 PF1： yk( x4)4 ，即 kx y4k40因为直线 PF1 与圆 C相切，所以 | k04 k4|5 k
9、21解得 k11 , 或 k 1 2 2当 k 11 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 36 ，不合题意，舍211去当 k1时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为4，21所以 c4F （ 4，0），F （4， 0）122aAF1AF2 5 226 2 ， a3 2 ，a218，b2 2椭圆 E 的方程为： x2y21182uuur(1,3) ，设 Q（x，y），uuur( x 3, y 1) ，（） APAQuuuruuur( x3)3( y1)x3y6 APAQ因为 x2y21 ，即 x2(3 y) 218 ，182而 x2(3 y)2 2 | x | | 3 y | ， 186
10、xy18则 (x3 y) 2x2(3 y) 26xy186 xy 的取值范围是 0 ，36 x 3 y 的取值范围是 6，6 uuuruuur所以 APAQx3 y6 的取值范围是 12，0 4 116. （）由题设，得 a2b21，a2b22且a 2 ，由、解得 a26，b23，x2y2椭圆 C的方程为 6 3 1（）记 P(x1，y1) 、Q(x2，y2) 设直线 MP的方程为 y1k(x 2) ，与椭圆 C的方程联立，得(1 2k2)x2 (8k2 4k)x 8k28k40，2，x1 是该方程的两根，则 2x18k28k4，x14k24k212k212k2设直线 MQ的方程为 y1 k(
11、x 2) ， 4k2 4k2同理得 x212k2因 y11k(x1 2) ，y21 k(x2 2) ，8k2)k(x22)k(x14)12k2y1 y2 k(x1x2故 kPQx1x2x1x2x1x28k1，12k2因此直线 PQ的斜率为定值4 117. （）由题设，得 a2b21，a2b22且a 2 ，由、解得 a26，b23，椭圆C的方程x2y2为6313 分（）设直线 MP的斜率为 k，则直线 MQ的斜率为 k，假设 PMQ为直角，则 k( k) 1，k 1若 k1，则直线 MQ方程 y1 (x 2) ，与椭圆 C方程联立，得 x24x40，该方程有两个相等的实数根2，不合题意；同理，若
12、 k 1 也不合题意故PMQ不可能为直角6 分（）记 P(x1，y1) 、Q(x2，y2) 设直线 MP的方程为 y1k(x 2) ，与椭圆 C的方程联立，得(1 2k2)x2 (8k2 4k)x 8k28k40，8k28k4，x14k24k22，x1 是该方程的两根，则 2x112k212k2设直线 MQ的方程为 y1 k(x 2) ，同理得x2 4k24k212k2分9因 y11k(x1 2) ，y21 k(x2 2) ，8ky2k(x12)k(x22)k(x14)12k2y1x2故 kPQx1x2x1x2x1x28k1，12k2因此直线PQ的斜率为定值12 分18. 解：（）设抛物线 C
13、 2: y 22 px( p 0) ，则有 y 22 p( x 0) ，据此x验 证4 个 点 知 （ 3 ，23 ）、（ 4 ，4 ） 在 抛 物 线 上， 易 求C 2 : y 24x 2 分设 C1： x2y 2，把点（2，0）（ 2 ，2 ）代入得：C 2:a 2b2( a b 0)241a 2a2解得421b 211a22b 2 C1 方程为 x 2y 21 45 分（）法一：假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F (1,0) ，设直线 l 的方程为x 1 my, 两交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，x 1 my由x2y 2消去x，得14(m
14、24) y 22my30, 7 分 y1y22m3, y1 y2m 24m24x1 x2(1my1 )(1my2 )1 m( y1y2 )m2 y1 y21m2mm 23444m 2m24m 2m 24 9 分uuuuruuur0，得 x1 x2由 OMON ，即 OMONy1 y20(*)将 代 入 （ * ） 式 ， 得 4 4m230 ，解 得m 24m 24m1 11 分2所以假设成立， 即存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为： y2x2或y 2x 2 12 分法 二 ： 容 易 验 证 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 不 满 足 题意；6 分当直线 l 斜率存在时，
15、假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1,0) ，设其方程为 yk (x1) ，与 C1 的交点坐标为 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )由x2y21消掉4k (x1)y(1 4k 2 ) x28k 2 x 4(k2 1)0 ， 8 分y，得于是x1x28k2， x1x24(k 21)14k214k2y yk (x1) k( x1) k2 x x(xx )112111212即y1 y2k 2( 4( k 21)8k 21)3k 21 4k21 4k 21 4k 2 10 分uuuuruuur0 ，得 x1 x2 y1 y2 0(*)由 OMON ，即 OM ON将、代入（* ）式，得11 分4(k 21)3k 2k 240，解得 k2 ；14k214k 214k 2所 以 存 在 直 线 l 满 足 条 件 ， 且 l 的 方 程 为 ： y2x2 或y 2x 2 12 分