线性代数第二章答案.docx

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1、第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换 :x12y12y2y3x23y1y25y3x33y12y23y3求从变量x1 x2 x3 到变量 y1y2 y3 的线性变换 .解由已知 :x22 1y11y2x231 5x332 3y2y12 2 117 4 9y1xy23 1 516 3 7 y2故x2y23 2 3x33 2 4y3y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x32. 已知两个线性变换x1 2y1 y3y13z1 z2x22y1 3y2 2y3y2 2z1 z3x3 4y1 y2 5y3y3z2 3z3求从 z1z2z到 x1xx3的线性变换 .32解由已知x12

2、0 1y12 0 13 1 0x22 3 2 y22 3 220 1x34 1 5y4 1 501 32613z112 4 9 z210 1 16 z3z1z2z3x16z1 z2 3z3所以有 x12z4z9z2123x310z1z216z31111233.设A 1 1 1 , B1 2 432TBA及 A111051求 AB3AB 2A111123111解3 1 1112 42 1 11111051111058111213223 05 62 111217 202901114292111123058AT B 1 1 1 1 2 4 0 5 61110512904. 计算下列乘积 :4317(

3、1)12 32;5701431747321 135解 12 321 7 ( 2) 2 3 16570157720 1493(2) (1 2 3) 2 ; 13解(1 2 3) 2(132231)(10)12( 1 2) ;(3)1322(1) 222 4解1 ( 1 2)1( 1) 121 233(1) 323 6131(4)21 4 0012;11 3 4131402131解214 001267811 3 41312056402a11 a12 a13x1(5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 ; a13 a23 a33 x3解a11a12a13x1( x1 x2 x3)

4、a12a22a23x2a13a23a33x3a xa xa xa x a xaxa x a x a xx1(12322333 )x21112131212213123233x3a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x35.设 A1 2,B1 0问 :1 31 2(1) AB BA吗 ?解 AB BA因为 AB34BA1 2463 8(2)(A B) 2A22AB B2 吗 ?解 ( A B) 2A22AB B2所以 ABBA因为 AB2 22 5( AB)22 22 28 142 52 514 29但A2 2AB B23 86 81 0 10 164 1

5、18 123 415 27所以 ( A B) 2A22ABB2(3)(A B)( AB)A2B2 吗 ?解 ( A B)( A B)A2B2因为 AB2 2A B0 22 50 1( AB)( AB)2 20 20 62 50 10 9而A2 B23 81 0 2 84 113 41 7故 ( A B)( A B)A2B26. 举反列说明下列命题是错误的 : （也可参考书上的答案）(1)若 A20则 A0;解 取 A0 120但 A 00 0则 A(2)若2,则A0 或A;AAE解 取 A1 12A, 但 A 0 且 A E0 0则 A(3)若AX, 且A0, 则XY.AY解取A1 0X11Y

6、1 10 01 10 1则 AX AY, 且 A 0,但 X Y .7.设 A10,23k1求 AAA解 A21 01 0101121A3 A2A10 1 01 021131Ak10k1108.设 A01k, 求 A .0 0解 首先观察A210102210101022000000233 23A3A2A033 2003A4A3A44 36 2044 3004A5A455 410 3A055 4005kkk 1k( k1)k 2k2A0kkk100k用数学归纳法证明 :当 k2 时 ,显然成立 .假设 k 时成立，则 k1 时，kk k1k(k 1)k 210Ak 1 Ak A 02kk k 1

7、0 100k00k 1 (k1)k 1(k1)kk 10k1(k2k 11)00k 1由数学归纳法原理知:kk k 1k(k 1)k 2Ak02kk k 1（也可提取公因式，变成书上的答案）00k9.设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明T 也是对称矩阵 .B AB证明因为 ATA所以(T) TT(T )TT TTBABB B AB A BB AB从而 BTAB是对称矩阵 .10.设 AB 都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性:因为ATABTB且 ABBA所以(AB) T( BA) TATBTAB即 AB是对称矩阵 .必要性 :因为 ATABTB且 ( AB)

8、 TAB所以AB( AB) TBTATBA11. 求下列矩阵的逆矩阵 :(1) 1 2 ;2 5解A1 2. |A|=1,故 A-1 存在 .因为2 5A*A11A2152,A12A2221故A 11 A*52 .| A|21(2)cossin;sincos解Acossin-1存在 .因为. |A故 Asincos|=110,A*A11A21cossin,A12A22sincos所以A 11 A*cossin.| A|sincos121(3)342 ;541121A342 . |-1存在 .解A|=210, 故A因为541A*A11A21A31420AAA1361 ,12223232 142A

9、13A23A33所以A 1 1 A*21013 31 .| A|2216 71a1 a0(4)212n( a a a 10) .0ana10解 Aa2,由对角矩阵的性质知0an110a1A1a2.01an12. 解下列矩阵方程 :(1)2 5X46;1 321解X2 51463546223132112210821111 3(2)X 210;11143211 32111解X2104321111 11 31012 323 4323 302 218 5233(3)1420311 2 X1 101 ;解X141312011 2011 1124311012 11011216 61 01 11 012 3

10、 01 240 1 01 0 0143(4)1 0 0 X 0 0 1201 .0 0 10 1 01200 1 011431 0 01解X 1 0 0 2 0 1 0 0 10 0 11200 1 00 1 01431 0 02101 0 02010 0 11340 0 11200 1 010213.利用逆矩阵解下列线性方程组:x12x23x31(1) 2x1 2x2 5x3 23x1 5x2 x3 3解方程组可表示为1 2 3x112 2 5x223 5 1x33x11 2 3111故x22 2 520x33 5 130x11从而有x20x30x1x2x32(2) 2x1 x2 3x3 1

11、3x1 2x2 5x3 0解 方程组可表示为111x12213x21325x03x1111125故x221310x332503x15故有x20x3314.设 AkO(k 为正整数 ),证明 ( EA)1E A A2Ak 1证明因为AkO所以 EAkE又因为E Ak( E A)( E A A2Ak 1)所以 (E A)( E A A2Ak 1)E由定理 2推论知 ( EA) 可逆且(E A) 1E A A2Ak 1证明一方面有 E( E A)1( EA)另一方面由AkO有E ( EA) ( A A2) A2Ak 1( Ak 1Ak)( EA A2A k 1)( E A)故(E A)1( E A)

12、2k1)( E A)( E A AA两端同时右乘 ( E A) 1就有(E A)1( E A)E A A2Ak115.设方阵A 满足 A2A 2E O,证明 A 及 A2E 都可逆 ,并求 A 1 及 ( A 2E) 1.证明由 22O得AA EA2A2E,即 A( AE)2E或 A 1 ( A E) E , 2由定理 2 推论知 A 可逆且 A 11 (A E)2由 A2 A 2E O得26E4E即(A2 )(3 )4A AE AEE或 ( A 2E) 1(3E A) E 4由定理 2推论知 (A2) 可逆且( A2E)11(3)E4EA证明由 A2A2E O得 A2A2E 两端同时取行列式

13、得|A2A|2即 |A| A E| 2,故|A|0所以 A 可逆 ,而 A2| A22故 A2E 也可逆 .2E A2E| | A | A| 0由2A2O()2AEA AEEA 1A( A E)2A 1E A 1 1 ( A E)又由 A22A 2E O ( A 2E) A 3( A 2E)4E(A2 )(A3 )4EEE所以 ( A 2E) 1( A 2E)( A 3E)4( A 2 E) 1( A2E) 11 (3EA)416.设 A为 3阶矩阵,|A|1,|(2-1-5A*|.)2求A解因为 A 11 A* , 所以| A|(2A)15A* | |1A15| |1|1A15A1|2A A

14、22=|-2-1|=(-2) 3|-1|=-8| -1 =- 82=-16.AAA17.设矩阵A可逆 ,证明其伴随阵* 也可逆 ,且 (*) -1=(-1)*.AAA证明由A11A*,得 *=|-1 ,所以当A可逆时有| A|AA A|*|=|n|-1|=| n-110,AAAA从而 A* 也可逆 .因为 A*=|A| A-1 ,所以(A*)1| A|1A又 A1( A 1)* | A|( A 1)*所以| A 1|(A*)1| A| 1A | A| 1| A|( A 1)*( A 1 )*18.设 n阶矩阵 A 的伴随矩阵为A*证明 :(1)若 | A|0,则 | A*|0;(2)|A*|

15、A| n 1证明(1)用反证法证明 .假设 |*|0则有*(*)1E由此得AA AA A A*( A*)1| A| E( A*)1O所以 *O这与 |*|0 矛盾，故当 |0 时有 |*|0AAAA(2)由于A11A*, 则*|取行列式得到AAA E| A|A|A*| A| n若 | A|0则 | A*| A| n 1若 | A|0由 (1) 知 | A*|0此时命题也成立因此 |A*| A| n103 319.设 A11 0 ,AB A2B求 B.1 2 3解 由 AB A 2E 可得 ( A 2E) B A故23313 303 32E) 1 A0B (A11 011 01 2 31211 2 311 01 0 120设 A0 2 0且 AB E A2B 求 B1 0 1解由 AB EA2B 得(A E) BA2E即(A E) B ( A E)( A E)0 0 11 0因为 | A E | 0 1 0所以 ( A E) 可逆从而1 0 02 0 1B AE0 3 01 0 221设Adiag(12 1)*28求BA BABAE解由 A* BA2BA8E得(*2 )