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1、_等差数列中等比数列子数列的探究一、【问题提出】从数列 an 中取出部分项 , 并将它们按原来的顺序组成一个数列, 称之为数列 an 的一个子数列 . 等差数列和等比数列是高中数学的重要内容, 也是高考说明中的两个C级考点 , 其难度水平不言而喻 . 通过对数列考题的梳理，发现在等差数列中探究等比子数列是常考问题之一.本文力求给出解决该类问题的一般思路和方法, 供大家参考 .二、【问题解决】例 1 等差数列 an 的通项为 a3n 2, n N*数列 an中是否存在不同的三项（按原来n,的顺序）成等比数列？数列 an 中是否存在无穷等比数列子数列？【解题分析】写出数列的一些项：1， 4，7，
2、10， 13， 16， 19，观察可以发现，其中1， 4， 16 成等比数列，即a1 , a2 , a6 成等比数列，且公比为4. 是否存在无穷等比数列子数列, 只要判断在上面的等比数列，即首项为 1, 公比为 4的等比数列中任意一项都是等差数列的项 .【解法】由 an 3n 2 得 a11, a2 4, a6 16 ，所以存在不同的三项成等比数列，且公比为 4. 下证等比数列的第4 项也是等差数列中的项，记an1 是数列的第四项，则an1a6an1a6an1a6(n1 6) 34，所以 n1 6 4(6 2) ，同理，a6a24 ，而a2a6a2( 6 2) 3a6可以算得等比数列的第五项a
3、n2 ，其中 n2n1 4 (n16) ，依次可以得到下一项，从而一定存在无穷等比数列子数列.【点评】 1.探究数列问题常常从写出数列的前几项观察开始;2.说明等差数列中存在无穷等比数列子数列是通过构造等比数列的后一项, 来说明该项一定在等差数列中 , 其中用到比例的性质 , 也可以从等比数列的通项入手, 说明等比数列中的任意一项都在等差数列中, 即由等比数列的第n 项是等差数列的第m 项列出等式， 说明用 n 表示出的 m 一定是正整数，说明过程中需要用二项式定理.3. 从构造等比数列的过程可以发现 , 只要等差数列中存在两项 , 其后项与前项的比为整数 , 则一定存在等比数列子数列 .精品
4、资料_结论 : 一个公差非零的无穷等差数列 an 中 ,如果存在两项 an1 ， an 2 ( n1n2), 使 an 2为正an1整数，则该数列中一定存在无穷等比数列子数列.例 2 等差数列 an 的通项为 a3n 2, nN *试确定等比数列子数列公比的最小值.n,【解题分析】数列 an 的每一项都是正整数，且是递增数列，所以先确定其等比数列子数列的公比一定是不小于2 的整数， 再运用子数列中项的双重性建立等量关系，确定公比的最小值 .【解法】由 an3n2,nN *知， anN *，an 1an，记其等比数列子数列 a 的公kn比为 q ，首项为 ak1，则 q2且 qN * ，否则，一
5、定存在n N * 使 ak1 qn 1Z .由 ak n是等差数列的第 kn 项，同时又是等比数列的第n 项，得ak nak1(knk1) 3 ， aa qn 1 ，k nk1所以 ak1(knk1) 3 ak1 qn 1 ， knk1ak1 ( qn 11) N *3由于 ak1 不是 3 的倍数 , 所以当 nN * 时 qn 11必是 3 的倍数 .当 n2, nN * 时， qn11(q1)( qn 2qn3q 1) ，其中qn 2qn3q 1的公约数为1，从而q1 必是 3 的倍数，所以公比 q 的最小值为4.【点评】1. 等差数列中的等比数列子数列问题，特别要关注子数列的项在不同数
6、列中的表示；2. 在解决问题的过程中， 用到了等差等比数列的基本性质， 还涉及整除、 因式分解等数论相关基础知识， 本题中等差数列的各项均为整数， 易得等比数列子数列的公比为正整数，实际上，一般等差数列若存在等比数列子数列，其公比也是正整数.结论：等差数列的公差非零，如果存在等比数列子数列，则其公比是大于1 的整数 .例 3 在等差数列 abn ( ab0) 中是否存在无穷等比数列子数列？【解法分析】 先从数列中存在等比数列子数列入手, 探究 a,b 应该满足的条件, 再考虑所得条件是否充分 , 从而确定等差数列 abn (ab0) 中存在无穷等比数列子数列条件.精品资料_【解法】设 abn
7、中存在一个等比数列子数列：abn1 ， abn2 ， abn3 ，其中n1n2n3，由前三项成等比数列可知an22n1n3，显然n22n1n3Q ，b n1n32n2n1n32n2从而有 aQ 是存在一个等比数列子数列的必要条件；b反过来，如果 aQ ，不妨设 a, bZ 且 b0，取自然数 n1 ，使 c1abn10，b设 abn2c q ，a bnc q2，由-知：b(n2n1 )c1( q1)，取q1 b，132则 qb1 ， n2n1c1 ，由 - 知： b(n3n2 )c1q(q1)c1bq ， n3n2c1q .由归纳法知 a bnkc1qk 1，其中 q b 1， nk 1nkc
8、1q k1.所以子数列 abnk 成等比数列 .【点评】探究存在性问题，一般先从存在入手，寻找结论的必要性，特别是从前三项去确定条件是一种自然的思路，但必须确定条件的充分性. 本题中，充分性的确定也是采用的构造法，实际上是从同号的项开始，确定两项，使得两项之比为整数.结论： 1.等差数列 abn (ab 0) 中存在一个无穷等比数列子数列的充要条件是aQ .b0 ) 非零等差数列 an 中 a12.公差为 d ( dQ ，则其一定不存在等比数列子数列 .d三、【真题链接】1. 已知 an 是等差数列， bn 是公比为 q 的等比数列， a1 b1 , a2 b2 a1 ，（1）若 b3ai (
9、i 是某一正整数 ) ，求证： q 是整数，且数列 bn 中每一项都是数列 an 中的项；（2）是否存在这样的正数q ，使等比数列 bn 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；2. 求证：对于给定的正整数 n ( n 4 ) ，存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，L ，bn ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列四、【练习】1. 在公差不为0 的等差数列 an 中 , a1 , a3 , a9 , am 恰好为等比数列的前四项, 则 m =_.精品资料_2.若等差数列 an 中，公差 dN * ,a56 , 求所有的公差d 的值
10、 , 使a3 , a5 , an1 , an2 , , ani , 成等比数列，其中 ni5 (iN * ) .3.设等差数列 an 的通项公式为 an2 n4 , 若从 an 中抽取一个公比为q 的等比数列33 a , 其中 k11, 且 kkkn, knN *, 求当q取最小值时 , k 的通项公kn12n式 .参考解答：1.m=27;2. 由 a3 ana52得 (62d ) 6 (n15)d 36 ，化简得183d16(n1 5)dn15, dN *d 的可能取值为1,2 .当 d1时， n18 ，an2n21Z ，另一方面， an2a5( a5 )227Z ，矛盾，故a32a5Z ）d 1 不成立 . （此时a3同理， d2 成立 .d23.akna1( kn 1) 2 ， ak na1qn 1 ，1) 23a1( kna1qn 1 ， kn3qn 123由前面的讨论可知，公比q 的最小值为2，所以 kn 3 2n 12 .精品资料