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1、。一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例 1（ 07 高考山东文18）设 an 是公比大于1 的等比数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和已知 S3 7 ，且 a13，3a2， a3 4构成等差数列（ 1）求数列 an 的等差数列（ 2）令 bln a， n 1，2， ，求数列 b 的前 n 项和Tn3 n 1n*Sn的最大值 .练习： 设 S 1+2+3+ +n， n N , 求 f (n)n(n32) Sn 1二、错位相减法例 2（ 07 高考天津理21）在数列 an中，a12， an 1ann 1(2 )2 n (n N ) ，其中0 （）求数列an的通项公式；（）求数列
2、an的前 n 项和 Sn ；例 3（ 07 高考全国文21）设 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且a1 b1 1 ， a3 b521， a5 b3 13（）求 an ， bn 的通项公式；an的前 n 项和 Sn （）求数列bn。1。三、逆序相加法例 4（ 07 豫南五市二联理 22.）设函数 f ( x)2xP1( x1, y1 ) 、P2( x2,的图象上有两点2 x2y 2) ，若 OP1 (OP1 OP2 ) ,且点 P 的横坐标为1 .22（ I ）求证： P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（ II ）若 Snf ( 1 )f ( 2 )f ( 3 )f (
3、n), n N * , 求 Sn ;nnnn四、裂项求和法例 5求数列111的前 n 项和 ., ,12 23nn 1例 6（ 06 高考湖北卷理17）已知二次函数Snyf ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f(x) 6x 2，数列 an 的前 n 项和为，点(n, S )( n N )均在函数y f (x)的图n像上。（）求数列 an 的通项公式；（）设 bn1TnmN 都成， Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求使得对所有 nan an 120立的最小正整数m；五、分组求和法例 7 数列 an 的前 n 项和 n2an1，数列 bn 满 b1 3, bn 1 an bn (n N
4、) .S（）证明数列 an 为等比数列；（）求数列 bn 的前 n 项和 Tn 。例 8 求 S12223242( 1)n 1 n2 （ nN ）六、利用数列的通项求和。2。先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例 9求 1 111111111 之和 .n个1解：由于 1111199991 (10 k1)（找k个19k个19通项及特征） 111 1111111n个11 (1011)1 (10 21)1 (1031)1 (10n1)9999（分组求和） 1 (10110 210310 n )1 (1111)9
5、9n个1110(10 n1) n91019 1 (10n 1 10 9n)81例 10已知数列 a ： an8, 求(n1)( anan 1 ) 的值 .n(n1)(n3)n 1解：(n1)( anan 1 )8(n1)11（找1)( n3)(n 2)(n 4)(n通项及特征） 8 11（设制分组）2)( n 4)(n3)(n(n4) 4(11)8 (11（裂项）2nn 3n)n44(n1)(anan 1 )4(11)8( 11 ) （分组、 裂项求n 1n 1 n 2 n 4n 1 n 3 n 4和） 4(11 )81344 133f (n)类型 1an 1an解法：把原递推公式转化为an
6、1anf (n) ，利用累加法( 逐差相加法 ) 求解。例 : 已知数列an1an1，求 an 。满足 a1， an 12n2n。3。解：由条件知：an 1an11112nn(n1)nn 1n分别令 n1,2,3, (n1) ，代入上式得( n1) 个等式累加之，即(a2 a1 ) (a3 a2 ) ( a4a3 )( anan 1 )(11) (1 1) (1 1 )( 111 )22334nn所以 ana111na11 ， an1 1 1 3 122n2n类型 2an 1f (n)an解法：把原递推公式转化为an 1f(n) ，利用累乘法 (逐商相乘法 ) 求解。an例 : 已知数列an
7、满足 a12nan ，求 an 。， an 13n1解：由条件知an1n，分别令 n1,2,3, (n1)，代入上式得( n1)个等ann1式累乘之，即a2a3a4an1 2 3n 1an1a12a1a2a3an 12 3 4na1又，n3an23n3n1 an (n例 : 已知 a13 ， an 11) ，求 an 。3n2an3( n 1) 1 3(n 2) 13 2 1 3 13( n 1) 2 3(n 2) 2a13 2 2 3 23n43n752361 。3n13n4853n类型 3an 1panq （其中 p， q 均为常数，( pq ( p1)0) ）。解法（待定系数法）：把原递
8、推公式转化为：an1tp( ant ) ，其中 tq，再1p利用换元法转化为等比数列求解。例 : 已知数列an 中， a11 ， an12an3 ，求 an .解：设递推公式 an12an3 可以转化为 an 1t2(ant ) 即 an 12antt3 .故递推公式为an132( an3) , 令 bnan3 ，则 b1a13 4 ,且bn1an13. 所以 bn是以 b14为首项，2 为公比的等比数列，则bnan23bn4 2n 12n 1 , 所以 an2n 13 .。4。变式 : 递推式： an 1pan fn 。解法：只需构造数列bn ，消去f n带来的差异类 型 4an 1panq
9、n （ 其 中p ， q均 为 常 数 ， ( pq( p1)(q1) 0) ）。（ an 1panrq n , 其中 p ， q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn 1an 1pan1引入辅助，得：qq nqq n 1数列 bn （其中 bnan），得： bnp1再待定系数法解决。qn1bnqq例 : 已知数列511 n1an中， a16 , an 13 an( 2)，求 an 。解：在 an 11 an( 1) n1 两边乘以 2n1 得： 2n 1an 12 (2nan )1323令 bn2nan ，则 bn 12 bn1, 解之得： bn32( 2) n 所以3
10、3anbn3( 1) n2( 1 )n2n23类型 5 递推公式为Sn 与 an 的关系式。 ( 或 SnS1解法：这种类型一般利用anSnSn 1anSnSn 1f (an )f ( an 1 ) 消去 Sn( nf (an ) )(n1)与(n2)2) 或与 Snf ( SnSn 1 ) ( n2) 消去an 进行求解。an 前 n 项和 Sn 4 an1例：已知数列2n 2 . （ 1）求 an 1 与 an 的关系；（ 2）求通项公式 an .解：（ 1）由 Sn4an1得： Sn4an 112n212n 1 于是n11n 1 )Sn 1Sn( anan 1 ) (21221 an1
11、.所以 an 1anan 1an 12n1n22n( pq( p1)(q 1) 0) ）（ ）应用类型（an 1panq（其中p，q均为常数，24的方法，上式两边同乘以2n 1 得：2n 1 an12n an 2 由a1 S14a11a11 . 于是数列2n an是以2 为首项， 2为公差的等差数列，212nnan2 2(n 1) 2nan所以 22n 1类型 6 an 1pa nan b ( p1、0，a 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令。5。an 1x(n 1) y p(anxn y) ， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出 x, y , 从 而 转 化 为a
12、nxny 是公比为p 的等比数列。例 : 设数列an： a14, an3an 12n1, (n2) ，求 an .解：设 bnanAnB，则 anbnAnB ，将 an , an 1 代入递推式，得bnAnB3 bn 1 A( n1)B2n13bn 1(3A2)n (3B 3 A 1)A3 A2A1B3B3A1B1取 bnann1 （）则 bn3bn 1 , 又 b16 ，故bn63n 123n 代入（）得 an2 3nn1说明：（ 1）若 f (n) 为 n 的二次式，则可设banAn2BnC ;(2)本题也可由nan3an 12n 1,an 13an 22(n 1) 1（n 3） 两 式 相 减 得anan13( an1an 2 )2 转化为bn 2pbn1qbn 求之 .。6。欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。7