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1、。7.3 正交变换和正交矩阵授课题目： 7.3 正交变换和正交矩阵教学目标：理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系授课时数： 3 学时教学重点：正交变换的性质教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质教学过程：一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。设 1 ,2 ,n 是n维 欧 氏 空 间 的 两 个 标 准 正 交 基 ，( 1, 2 , n )( 1 , 2 , n ) U （ U= （ U ij ）U 1i( 1,LU2inU ki ki, n )Mk1U niQ1,Ln是标准正交基，有i ,1ijjij0nn又 Qi , jU ki k , U kj kk1k1nn则U
2、kiU ljk,lk 1i 1nk 1U kiU kjn1ijQU kiU kj1,2,L, n)0i(i, jk 1j从而 U TUI定义 7.3.1设 U 是实数域上的n 阶矩阵 , 如果U TUUU TI ,-可编辑修改 -。则称 U 为正交矩阵 .定理 7.3.1设在 n 维欧氏空间中由标准正交基1 ,2 ,n 对基 1 , 2,L , n 的过渡矩阵是 U , 那么 1,2 ,L , n 是标准正交基的充分必要条件是U 为正交矩阵 .证明 : 必要性已证 .现 证 充 分 性 .设 U 为 正 交 矩 阵 ,则 U TUUU TI 成 立 , 从 而1, 2 ,L , n 是标准正交
3、基 .例 1 ：证明每一个n 阶可逆矩阵A 都可以唯一表成A=UT的形式，这里U 是一个正交矩阵， T 是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。证明：存在性，由于A 为 n 阶非奇异实矩阵，故A= (1 , 2 ,n ) 的列向量1 ,2 ,n 线性无关，从而为Rn 的一个基，实行单位化1t1112t121t 22 2令nt1n 1t2 n 2t nn n其中tii0, i 1,1, n, 都有（1，2， ， n） ( 1 , 2 , , n ) 1其中1 ,2 , n 为Rn的标准正交基，而t11t12t1nT10t22t 2n00t nn从而 T 也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于1 ,
4、 , n 是标准正交基，故有 U ( 1 , 2 ,n ) 是一个正交矩阵，于是知A=UT唯一性：设另有AU 1T1 其中 U 1 为正交矩阵，T1 为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则UTU 1T1或 U 1O1TT 1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT 1I-可编辑修改 -。故TT1 ,UU 1思考题设1 ,2 ,3是欧氏空间V 的一个标准正交基,试求正交变换 ,使适合(1 )1212213333(2 )2211223333练习设 V 是一个欧氏空间 ,V 是一个非零向量 ,对于V , 规定 V 的一个变换( )2,证明 :是V 的一个正交变换,且2, 是单位变换.例 2 ：设
5、 1 , 2 , ,n 和 1, 2 , n 是 n 维欧氏空间V 的两个标准正交基。（ 1）证明，存在 V 的一个正交变换，使( i )i , i1,2, n（ 2）如果 V的一个正交变换，使( i )i 那么(2 ), , (n ) 所生成的子空间与2 ,n 由所生成的子空间重合。证：（ 1）一定存在一个变换使(i )i , 又1 ,n 及 1 ,n 为标准正交基，故为正交变换( 2 ) 证 L( (2 ), (n )L(2 ,n )分两步证明L( 2 ), (n )则nn先证设i 2ai ( i )(aii )i 2又由知 可由，2， ，n 线性表出，令V1-可编辑修改 -。ni 1bi
6、,且 bi,i, i1,2,n又 是正交变换，而（1）1nn故 b1, 1(aii ), ( 1 )aii , i0i2i 2n所以biL ( 2 , 3 , n )i 2n另一放面， 若L (2 ,3 , n ) 则cii ，因为是正交变换，i2故 ( ),( 2 ),(n ) 是 V 的一个标准正交基，不妨令d1 ( 1 )d2 ( 2 ) , dn ( n ), di, ( i )由于 （1）1故Nd1,(1 )cii0I 2故d 2 (2 )dn (n )L ( (2 ), (n )因而 L(2 ,3 ,n )L( (2 ), ( 3 ), (n )L( ( 2 ),( n )L( 2
7、 , n )有 U( 1,2 , ,n ) 是一个正交矩阵，于是知 A=UT唯一性：设另有AU 1T1 其中 U 1 为正交矩阵，T1 为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则UTU 1T1或 U 1O1TT 1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT 1I故TT1 ,UU 1例 2 ：设 1 , 2 ,n 和 1,2 ,n 是 n 维欧氏空间 V 的两个标准正交基。（ 3）证明，存在V 的一个正交变换，使(i )i , i1,2, n-可编辑修改 -。（ 4）如果 V 的一个正交变换，使( i )i 那么 ( 2 ), (n ) 所生成的子空间与2 ,n 由所生成的子空间重合。证：（ 1）
8、一定存在一个变换使(i )i , 又1 ,n 及 1 ,n 为标准正交基，故为正交变换（ 5）证 L ( 2 ), ( n )L (2 ,n )分两步证明先证 L( ( 2 ),( n )L( 2 , n )L (2 ), (n )则nn设ai(i )(aii )i 2i2又由知 可由， ，n 线性表出，令V12ni 1bi,且 bi,i, i1,2,n又 是正交变换，而（1）1nn故 b1, 1(aii ), ( 1 )aii , i0i2i 2n所以biL ( 2 , 3 , n )i 2n另一放面， 若L (2 ,3 , n ) 则cii ，因为是正交变换，i2故 (), ( 2 ),(
9、n ) 是 V 的一个标准正交基，不妨令d1 ( 1 )d2 ( 2 ) , dn ( n ), di, ( i )由于 （1）1故Nd1,(1 )cii0I 2故d 2 ( 2 )dn ( n )L ( ( 2 ), ( n )因而 L( 2 , 3 , n )L( ( 2 ), ( 3 ), , ( n )二、正交阵的判断。-可编辑修改 -。定理 7.3.2 ： U 是 n 阶正交矩阵U 的行（列） 向量组成 n 维欧式空间 Rn 的一个标准正交基。证： 必要性 设 U 是正交矩阵则有U T U =I令 U= （ 1 ，2 ， n ） T1TTT11121nUUT2TTTTTT=21222
10、n( 12 n)=nTTTn1n2nn在欧氏空间 Rn 中有T=i,j=1,2,3, nij故有 UU T= =I故 =1当iji ， j1，2， ， nj0当ij因而1 ，2 ，n 是 Rn 的标准正交基充分性设1 ， 2， n 是 Rn 的一个标准正交基，以上过程可逆有 UU T =I ，从而 U 是正交矩阵。三、正交矩阵的性质 正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵；UU TI故 U 1U T 两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵；( AB)( AB )TABB T ATAATI1 ； AATI故 A AT121A1 正交矩阵的行列式为A四、正交变换1 定义 7.3.2 ：是欧氏空间 V 的一
11、个线性变换，如果V有( )则称是 V 的一个正交变换。2 正交变换的判断-可编辑修改 -。定理 7.3.3是 V 的一个线性变换，于是以下四个命题等价： 是 V 的正交变换；,V ，有 = ；若1 ,2 , n是 V 的标准正交基则( 1 ), ( 2 ), , ( n ) 也是 V 的标准正交基； 是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。证明：用的循回证法来证明，是正交变换,V 有(2=2)(2() ,() =而) = +2+2,=+2+= , =故 =1ij0ij故(1 ) ，(2 ) ，(n ) 是 V 的标准正交基。设1 ,2 ,n 是 V 的标准正交基，关于基的矩阵 U 为（ (
12、1 ),( 2 ),( n ) ) = ( 1 , 2 ,n ) U(1 ),(2 ),(n ) ,1 ,2 ,n均为标准正交基故 U 是正交基。 设 是关于标准正交基1 ,2 ,n 的矩阵 U 的正交矩阵，即( 1 ), ( 2 ), , ( n ) =1 , 2 , n U U T U I-可编辑修改 -。(1 ) ，(2 )，(n ) 也是标准正交基。Vn则有x1 1x22xn nxi ji1nn=i1j1nn=xij(i),(j )i1j1n2=xi,i1即()推论 1 ：正交变换保持向量的夹角不变。,(),()=arccos=arccos)()(注意：逆命题不一定成立。当 V 取定了
13、标准基之后，正交变换与正交矩阵是一一对应的。并且保持乘法运算，研究正交变换可归结为研究正交矩阵。推论 2：两正交变换的积仍是正交变换，正交变换的逆变换也是正交变换。证：设，均为正交变换则()( ( )( )1( )1 ( )1 ( )3 正交变换的分类若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为UU 1 时称 为第一类正交变换，并称为旋转；U 1 时称 为第二类正交变换，并称为反射。例：1,2 ,n和1 ,2 ,n是 n 维欧氏空间 V 的两个标准正交基， 则存在 V的一个正交变换。使(i )ii1,2, n-可编辑修改 -。证：定义，V ，有x11x22xn n()x1 1x22x n又y11y22ynn( )y1 1y2 2yn n则 ( kl)( kx1ly 1 )1( kx2ly 2 )2(kxnly n )n= k (x1 1x2 2xn n ) l ( y11y2 2yn n )= k( )l( )是 V 的一个线性变换，222()又x12xn是正交变换，且( i )ii1,2, n 正交变换类型二阶正交变换U 1cossinU 11sincosU 2cossinU 21sincos-可编辑修改 -。THANKS !致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书， 学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考-可编辑修改 -