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1、武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数5的共轭复数是（）i2A 2 iB 2 iC 2 iD 2 i2.已知集合 M x | x21 ， N x | ax1 ，若 NM ，则实数 a 的取值集合为（）A 1B 1,1C 1,0D 1, 1,03.执行如图所示的程序框图，如果输入的t 2,2 ，则输出的 S 属于（）A 4,2B 2,2C 2,4D 4,04. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A3B6
2、C 23D 265. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0 :9 中任选一个， 某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）A 2B 3C 1D 15105106. 若实数 a ， b 满足 ab1， mlog a (log a b) ， n(log a b)2 ， llog a b2 ，则 m ， n ， l 的大小关系为（）A m l nB l n mC n l mD l m n7. 已知直线 ykx 1与双曲线 x2y24 的右支有两个交点，则k 的取值范围为（）A (0,5 )B 1,5C (5 ,5 )D (1
3、,5 )222228. 在ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对应边分别为bcBCa ， b ， c ，条件 p ： a2，条件 q ： A，2那么条件 p 是条件 q 成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9. 在 ( x11)6 的展开式中，含x5 项的系数为（）xA 6B 6C 24D 2410. 若 x ， y 满足 x12 y12 ，则 M2x2y22x 的最小值为（）A 2B 2C 4D411911. 函数 f ( x)2sin(x)(0) 的图象在 0,1上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）39132525A 2 , 4 B 2 ,)2
4、) C 6,)D 2 ,6612. 过点 P(2,1) 作抛物线 x24 y 的两条切线， 切点分别为 A ， B ， PA ， PB 分别交 x 轴于 E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF 与 OAB 的面积之比为（）A3B3C 1D 32324二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知 sin2cos，则 sincos14.rr rrrrrrrr rr rr r已知向量 a ，b ，c 满足 ab2c0 ，且 a1 ，b3 ，c2 ，则 a b2a c2b c15.已知 x (2, ) ， yf (x)1为奇函数， f ( x)f (x) tan x 0 ，
5、则不等式f ( x)cos x 的解集2为16.在四面体 ABCD 中， ADDBAC CB 1 ，则四面体体积最大时， 它的外接球半径R三、解答题：共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分.17.已知正数数列 an 满足： a122n12 (n 2) .， an an 1an 1an（ 1）求 a2 ， a3 ；（ 2）设数列 bn满足 b (an1)2n2 ，证明：数列 bn是等差数列，并求数列 an的通项an .n18. 如图，在棱
6、长为3 的正方体 ABCDA1 B1C1D1 中， E ， F 分别在棱 AB ， CD 上，且 AECF1.（ 1）已知 M 为棱 DD1 上一点，且D1M1，求证： B1M平面 A1 EC1 .（ 2）求直线 FC1 与平面 A1 EC1 所成角的正弦值.19. 已知椭圆： x2y21，过点 P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1 ， l2 ，设 l1 与椭圆交于 A 、 B42两点， l2 与椭圆交于 C ， D 两点 .（ 1）若 P(1,1)为线段 AB 的中点，求直线AB 的方程；AB（ 2）记，求的取值范围 .CD20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成
7、绩统计如图所示.（ 1）求这4000 名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（ 2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布N (,2 ) ，其中，2 分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s2 ，那么该区4000 名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（ 3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过，求 P(3) . （精确到 0.001） 84.81分的考生人数为附： s2204.75 ， 204.7514.31； z : N ( ,2 ) ，则 P(z)0.6826 ，
8、 P(2z2 ) 0.9544 ； 0.841340.501 .21. 已知函数f ( x)xexa(ln xx) ， aR .（ 1）当 ae时，求 f ( x) 的单调区间；（ 2）若 f ( x) 有两个零点，求实数a 的取值范围 .（二）选考题：共10 分. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 作答时请写清题号 .22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos2sinx3cosR ） .) 10 ， C 的参数方程为（为参数，y2sin（ 1
9、）写出 l 和 C 的普通方程；（ 2）在 C 上求点 M ，使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值.23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知 f ( x)ax2x2 .（ 1）在 a2时，解不等式f ( x)1 ；（ 2）若关于 x 的不等式4f ( x)4 对 xR 恒成立，求实数a 的取值范围 .武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC6-10: BDABD11、 12： CC二、填空题214.1315.(0, )1513.16.526三、解答题17. （ 1）由已知 a2a1a232 ，而 a12 ， a222232( a22)，即 a
10、222a230.a1而 a20 ，则 a23 . 又由 a3a2a35a22 ， a23 ， a329 52( a33) ，即 a322a38 0 .而 a30 ，则 a34 . a23 ， a34 .（ 2）由已知条件可知：an2an212( anan1 )2n1， (an1) 2( an 11)2n2(n1)2 ，则(an 1)2n2( an 1 1)2(n 1)2(a3 1)222(a2 1)2120 ，而 bn(an1)2n2 ，bn0 ，数列 bn为等差数列. ( a1)2n2.而an0，故ann 1.n18. 解：（ 1）过 M 作 MTAA1于点 T ，连B1T ，则 AT11.
11、 易证：AA1EA1B1T ，于是AA1EA1B1T .由 A B TATB190o ，知AA EATB190o ，A1E B1T .显然MT面AA1 B1 B，而A1E1 1111面 AA1 B1 B ， MTA1E ，又 B1T I MTT ， A1E面 MTB ， A1 EMB1 . 连 B1D1 ，则 B1 D1A1C1.又D M A C B D I D M D1 ，A C面MD BAC1MBA E MB1ACMB1，11 1，1 111 11 1 ，11 . 由 1，1 1A1 E I A1C1A1 ， B1M面 A1 EC1 .（ 2）在 D1C1 上取一点 N ，使 ND11，连
12、接 EF . 易知 A1 E / /FN . VAEFCVNEFC1VENFC1111 SNFC131 (12 3) 3 3. 对于 A1EC1 ， AC13 2 ， A E10 ，而 EC22 ，332111由余弦定理可知cos EAC1110183221. A1EC1 的面积 S1 ACA E sinEAC2102202111113 210193F 到平面 A1 EC1 之距离 h 满足1hVA19 . 由等体积法可知S A EC1EFC，则220231111319 h3 ， h6，又 FC110，设 FC1 与平面 AEC1 所成角为，3219sin61963 1901019095.19
13、. 解：（ 1）设直线 AB 的斜率为 ktan，方程为 y1k ( x1) ，代入 x22y24 中， x22kx(k1)240 . (12k 2 ) x24k (k1)x2( k1)24 0 . 判别式4( k1)k24(2 k21)2( k1)248(3k22k1) . 设 A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则x1x24k(k1)2k 21(1,1)， 12k(k1)1. AB 中点为( x1x2 )1，则 k.x1x22(k1)2422k2122k21直线的 AB 方程为 y11 ( x1) ，即 x2 y10 .2（ 2）由（ 1）知 AB1k2xx( xx )
14、24x x1 k 28(3k 22k1).1212122k 21设直线的 CD 方程为 y1k(x1)(k0). 同理可得 CD1k 28(3k22k1) .2k 21AB3k 22k10) . 214k14.CD3k 22k(k3k 21112k3k2k令 t3k1，则 g (t )14， t(,23 U 23,) .g(t) 在 (,2 3 ， 23,) 分别单kt2调递减， 23g(t )1或 1g(t )23 . 故 2321或1223 . 即62 ,1) U (1,62 .2220. 解：（ 1）由题意知：中间值概率4555657585950.10.150.20.30.150.1 x
15、450.1550.15650.2750.3850.1595 0.170.5 ， 4000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 70.5分 .（ 2）依题意z服从正态分布N (,2)，其中x70.5，2D204.75，z服从14.31正态分布 N (, 2 ) N (70.5,14.312 ) ，而 P(z)P(56.19 z84.81)0.6826，P( z84.81)10.68260.1587 . 竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587 4000634.8人2634 人 .（ 3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率 1 0.15870.8413. 而:B(4,0.8413)，P(3
16、)1P(4) 1C44 0.8413410.501 0.499 .21. 解：（1）定义域为： (0,) ，当 ae时， f ( x)(1x)( xexe). f ( x) 在 (0,1)时为减函数； 在 (1,) 时为增函数 .（2）记 t ln xx ，x则 tln xx 在 (0,) 上单增，且 tR . f ( x)xexa(ln xx)etatg(t ). f ( x) 在 x0 上有两个零点等价于g(t)etat 在 tR 上有两个零点 . 在 a0 时， g (t)et 在 R 上单增，且 g(t )0 ，1故 g(t) 无零点；在 a0 时， g (t)eta 在 R 上单增，
17、又 g (0)10 ， g( 1 ) ea10 ，故 g (t ) 在aR 上只有一个零点；在 a0时，由 g (t) eta0 可知 g(t) 在 tln a 时有唯一的一个极小值 g (ln a)a(1ln a) .若 0ae， g最小a(1ln a)0， g(t) 无零点； 若 ae， g最小0 ， g(t ) 只有一个零点； 若 ae 时，ga(1ln a)0 ，而 g(0) 10 ，由于f (x)ln x 在x e时为减函数，可知：a e时， aaea2.最小xe从而 g (a)eaa20 ， g( x) 在 (0,lna) 和 (ln a,) 上各有一个零点 . 综上讨论可知： a
18、e时 f (x) 有两个零点，即所求a 的取值范围是 (e,) .22. 解：（1）由 l ：cossin100 ，及 xcos ， ysin . l 的方程为 x2 y100 .由 x3cos， y2sin，消去得 x2y21.94（ 2）在 C 上取点 M (3cos,2sin) ，则 d3cos4sin1010 ) 10 .55cos(5cos 0其中sin035 ，当0 时， d 取最小值5 . 此时 3sin3cos 090 2cos 08， 2sin，4555M (9 , 8) . 5 523. 解：（ 1）在a 2时，2x 2 x 2 1. 在时， (2 x2)( x2)1，1 x 5；x 1在 x2 时， (2 x2)( x 2)1，x3 ， x 无解；在2x 1时， (2 x2)( x2)1 ，x1，113x1. 综上可知：不等式f ( x)1 的解集为 x |5 .3x3（ 2）x2ax24 恒成立，而x2ax 2(1a) x ，或x2ax2(1 a)x4 ，故只需(1a)x4 恒成立，或 (1 a) x44恒成立， a1 或 a1 . a 的取值为 1或 1.