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1、精品文档第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义 1设Aaijm n 在 A中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的k(1kminm,n ) 阶行列式 ，称为 A 的一个 k 阶子式。1231共有 C32 C4218例如A4654334个三阶个二阶子式，有子式C 4C3101112321 而 D 3矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为D2465kk01101为 A 的一个三阶子式。显然，m n矩阵 A共有cmcn个 k 阶子式。2. 矩阵的秩定义 2设Aaijmn有 r 阶子式不为0，任何 r +1阶子式 ( 如果存在的话 ) 全为0
2、,称r为矩阵A的秩，记作( ) 或秩 ( ) 。R AA规定： 零矩阵的秩为 0 .注意 ： (1)如 R (A ) =r ，则 A 中至少有一个r 阶子式 Dr0 ,所有 r + 1阶子式为0，且更高阶子式均为0 ， r是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的.(2)有行列式的性质，R( A)R( AT ).(3)R(A) ,( ), 0 ( ) min m,n .mR AnR A(4)如果 An n ,且A则 R ( A ) =n .反之，如R ( A ) =n , 则A 0.0 ,因此，方阵A 可逆的 充分必要 条件是 R ( A ) =n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法 ( 定义
3、) 。1234例 1设B0270为阶梯形矩阵，求() 。R B0000解由于12存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R( B) = 2.002结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如2301211012521235108153A 0 101B 01C0 1 0D034E0072001000001000000000R A 3 R B 2 R C 3R D 2 R E 3一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数 ”非零行的行数。1 欢迎下载精品文档a113 , 求 a .例 2设A 1 a1如果 R A11aa11解R A 3 A 1 a 1 ( a 2)( a 1)2011aa1 或 a2
4、K111例 3A1K1111K1111KR A3则K31111AK31K111)3( K3)11K( K1111K2、用初等变换法求矩阵的秩定理 2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即 AB 则 R( A)R( B)注：1. rir j只改变子行列式的符号。2.k ri是 A 中对应子式的k 倍。3. ri kr j 是行列式运算的性质。求矩阵 A 的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩。1024例 4A2136求 R A .1112Ar22r110241024解0112011201120000R( A) = 2。2 欢迎下载精品文档11
5、12例 5设 A31 2 ,且 R（ A） 2，求 ,536111211121112A3120344034453608540510R( A)2,50,105,1三、满秩矩阵定义 3 A为 n 阶方阵时，R An,R An,可见：R An称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）A0对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理 3设 A 是满秩方阵，则存在初等方阵P1, P2 , Ps .使得 Ps Ps 1, P2 P1 A E对于满秩矩阵A，它的行最简形是n 阶单位
6、阵 E .R AnA ER AnA En例如123123100100A212034011010E312023023001RA A3为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：定理 5 R( AB)R( A),R( AB)R( B),即 R( AB)minR( A) ，R( B)设 A是 mn 矩阵， B 是nt 矩阵，性质 1R( A) R( B)nR( AB).性质 2如果 A B = 0则 R( A)R(B)n.性质 3如果 ( )如果A B= 0则 B = 0 。R A = n,性质 4设 A,B 均为mn矩阵，则 R( AB)R( A)R(B).例 8 设 A 为 n 阶矩阵，证明 R（ A+E） +R（ A-E） n证：（ A+E） +（ E-A）=2E R （ A+E） + R（ E-A ） R （ 2E） =n而 R （ E-A ） =R（ A-E ） R （ A+E） +R（A-E） n。3 欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书， 学习资料等等打造全网一站式需求。4 欢迎下载