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1、精品文档采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法 ：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程； 借助这个特征方程的根快速求解通项公式. 下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即， 其 中是 以为 公 比 的 等 比 数 列 ， 即.证明： 因为由特征方程得作换元则当时，数列是以为公比的等比数列，故当时，为 0 数列，故（证毕）定理 2如果数列满足下列条件： 已知的值且对于，都有（其中 p、q、r 、h 均为常数，且），那么，可作特征方程.（ 1）当特征方程有两
2、个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在 .（ 2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根） 时，则，其中证明 ：先证明定理的第（1）部分 .。1欢迎下载精品文档作交换则是特征方程的根，将该式代入式得将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾 . 故特征方程的根于是当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化：由是方程的两个相同的根可以求得将此式代入式得。2欢迎下载精品文档令则故数列是以为公差的等差数列 .其中当时，当存在使时，无意义 . 故此时， 无穷数列是不存在的 .再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得由第（ 1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得：。3欢迎下载精品文档特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为. 此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以( 证毕 )注 ：当时 ,会退化为常数; 当时 ,可化归为较易解的递推关系 , 在此不再赘述 .。4欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。5欢迎下载