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1、-用蒙特卡洛方法估计积分方法及 matlab 编程实现专业班级：材料 43学生姓名：王宏辉学号：2140201060指导教师：李耀武完成时间：2016 年 6 月 8 日-用蒙特卡洛方法估计积分方法及 matlab编程实现实验内容：2x sin xdx ， e- x2ex2 y21 用蒙特卡洛方法估计积分dx 和dxdy 的00x2 y2 1值，并将估计值与真值进行比较。112 用蒙特卡洛方法估计积分ex2dx 和dxdy的值，0x2 y 2 1 1 x4y4并对误差进行估计。要求：（ 1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；（ 2 ）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值
2、；（ 3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第 1 类题）或样本方差（针对第2 类题）以评价估计结果的精度。目的：（1）能通过MATLAB或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计， 从而获取数据的基本信息；（3） 能用MATLAB熟练进行样本的一元回归分析。实验原理：蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。具体操作如下：-一般地，积分Sb g( x) dx 改写成 Sbg(x )
3、f (x)dxb h(x ) f (x )dx 的aaf(x)a形式，（其中为 f(x ) 一随机变量X 的概率密度函数， 且 f(x ) 的支持域 x | f (x ) 0 （ a,b）， h(x )g (x ) ）;令 Y=h(X) ，则积分 S=E)f(x)（Y）；利用 matlab软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由 y h(x )I (x ), I(x)1, x(a,b) ，得到随机变量Y 的随机数，0, x(a,b)求出样本均值，以此估计积分值。积分 Sg (x, y)dxdy的求法与上述方法类似，在此不赘述。A概率密度函数的选取：一重积分，由于要求f(x )的支持域 x |
4、f (x )，为使0（ a, b）方 法 普 遍 适 用 ， 考 虑 到 标 准 正 态 分 布 概 率 密 度 函 数1x21x2f (x )e 2 支持域为 R ，故选用 f (x )e 2 。22x2y2类似的，二重积分选用f (x, y)1 e2，支持域为 R 2 。2估计评价：进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1 类题，积得出）或样本方差（针对第 2 类题，积不出）以评价估计结果的精度。程序设计：依据问题分四类：第一类一重积分； 第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，
5、程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function语句构造，求不同区域二重-积分，只需改变function函数内容。编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。程序代码及运行结果：第一类一重积分程序代码：%构造示性函数function I=I1(x,a,b)if x=a&x=bI=1;elseI=0;end%保存为 I1.m%第一类一重积分,程序主体：%保存为 f11.mfunction outf11=f11()g1=input(输入一元被积函数如x.*sin(x):,s)% 输入被积函数g1=i
6、nline(g1);a=input( 输入积分下界 a:);% 输入积分上下限 b=input( 输入积分上界 b:); Real=input( 积分真值 :);% 输入积分真值 fprintf( 输入样本容量 10V1-10V2:r)-V=zeros(1,2);V(1)=input(V1:);%输入样本容量V(2)=input(V2:);for m=V(1):V(2)%样本容量 10m1-10m2n=10mfor j=1:10x=randn(1,n);for i=1:nt1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量endy1=g1(x)*(pi*2)0.5).*exp(x.2/2);
7、Y1(j)=y1*t1/n; %单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y1*t/10;%十次均值D=abs(EY-Real); %绝对误差RD=D/Real;%绝对误差d=0;for i=1:10d=d+(Y1(i)-Real)2;endd=d/(10-1);EY1(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10m时的样本均值D1(m-V(1)+1)=D;%绝对误差RD1(m-V(1)+1)=RD;%绝对误差-MSE1(m-V(1)+1)=d;%方差endReal,EY1,D1,RD1,MSE1outf11=EY1;D1;RD1;MSE1; %存放样本数字特征%保存为 f11.m运
8、行结果：2%估计积分xsin xdx ，积分真值为10m=f11输入一元被积函数如x.*sin(x):x.*sin(x)g1 =x.*sin(x)输入积分下界a:0输入积分上界b:pi/2积分真值 :1输入样本容量10V1-10V2:V1:1V2:5n =10-n =100n =1000n =10000n =100000Real =1EY1 =1.26351.00881.00661.01091.0018D1 =-0.26350.00880.00660.01090.0018RD1 =0.26350.00880.00660.01090.0018MSE1 =0.64390.02050.00280.0
9、0060.0001m=1.26351.00881.00661.01091.00180.26350.00880.00660.01090.00180.26350.00880.00660.01090.00180.64390.02050.00280.00060.0001%估计积分e-x2 dx 真值为0.88620M=f11输入一元被积函数如x.*sin(x):exp(-x.2)g1 =exp(-x.2)-输入积分下界a:0输入积分上界b:+inf积分真值 :pi0.5/2%0.8862输入样本容量10V1-10V2:V1:1V2:4n =10n =100n =1000n =10000Real =0.
10、8862-EY1 =0.93330.90770.88730.8871D1 =0.04700.02150.00100.0009RD1 =0.05310.02430.00120.0010MSE1 =0.19270.01120.00160.0000M =0.93330.90770.88730.88710.04700.02150.00100.00090.05310.02430.00120.00100.19270.01120.00160.0000-第一类二重积分程序代码：%构造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数function I=I2(x,y)if x2+y2=a&x S=quadl(f,0,
11、1)S =1.4627-第二类二重积分程序代码：%构造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数function I=I2(x,y)if x2+y2=1I=1;elseI=0;end%保存为 I2.m%第二类二重积分函数主体%，程序保存为f22.mfunction outf22=f22()g2=input(输入二元被积函数如1./(1+x.4+y.4).0.5:,s)%输入被积函数g2=inline(g2,x,y);fprintf( 输入样本容量10V1*10V1-10V2*10V2:r)V=zeros(1,2);V(1)=input(V1:);%输入样本容量V(2)=input(V2:);f
12、or m=V(1):V(2)%样本容量10m1-10m2n=10mfor j=1:10x=randn(1,n);y=randn(1,n);for i=1:n-t2(i)=I2(x(i),y(i);%示性及求和向量endy2=g2(x,y)*(2*pi).*exp(x.2+y.2)/2);Y2(j)=y2*t2/n; %单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y2*t/10;%十次均值d=0;for i=1:10d=d+(Y2(i)-EY)2;endd=d/(10-1);EY2(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10m时的样本均值MSE2(m-V(1)+1)=d;%方差endE
13、Y2,MSE2outf22=EY2;MSE2; %存放样本数字特征%第二类二重积分，程序保存为f22.m运行结果：1%估计积分dxdyx2y2 1 1x4y4m=f22输入二元被积函数如1./(1+x.4+y.4).0.5:1./(1+x.4+y.4).0.5-g2 =1./(1+x.4+y.4).0.5输入样本容量10V1*10V1-10V2*10V2:V1:1V2:4n =10n =100n =1000n =-10000EY2 =3.07592.96992.85662.8269MSE2 =1.32670.09000.00600.0014m =3.07592.96992.85662.8269
14、1.32670.09000.00600.0014-实验结果整理：第一类一重积分：2估计积分x sin xdx0积分真值： 1积分估计值： 1.0018样本容量： 10100100010000100000样 本 均 值 ： 1.26351.00881.00661.01091.0018绝 对 误 差 ： 0.26350.00880.00660.01090.0018相 对 误 差 ： 0.26350.00880.00660.01090.0018均 方 误 差 ： 0.64390.02050.00280.00060.0001- x2估计积分 e dx0积分真值： 0.8862积分估计值： 0.8871
15、样本容量： 10100100010000样本均值： 0.93330.90770.88730.8871绝对误差： 0.04700.02150.00100.0009相对误差： 0.05310.02430.00120.0010均方误差： 0.19270.01120.00160.0000-第一类二重积分：估计积分ex2 y2dxdyx2y2 1积分真值： 5.3981积分估计值：5.4041样本容量： 10100100010000样本均值： 4.77025.12505.43175.4041绝对误差：0.62790.27320.03350.0060相对误差： 0.11630.05060.00620.00
16、11均方误差： 3.89650.55640.02470.0017第二类一重积分：1估计积分ex2dx0积分估计值： 1.4590样本容量： 10100100010000样本均值： 2.07821.65831.50291.4590样本方差： 0.43150.08890.00570.0008用 matlab 指令求得积分结果 1.4627第二类二重积分：1估计积分dxdyx2y2 1 1x4 y4-积分估计值： 2.8269样本容量： 10100100010000样本均值： 3.07592.96992.85662.8269样本方差： 1.32670.09000.00600.0014实验结果分析：2
17、从第一类积分看，以估计积分x sin xdx 为例：0积分真值： 1积分估计值： 1.0018样本容量： 10100100010000100000样 本 均 值 ： 1.26351.00881.00661.01091.0018绝 对 误 差 ： 0.26350.00880.00660.01090.0018相 对 误 差 ： 0.26350.00880.00660.01090.0018均 方 误 差 ： 0.64390.02050.00280.00060.0001随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势；随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的
18、趋势，说明估计具有无偏性；绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势，说明增大样本容量能提高估计精度；验证了蒙特卡洛方法估计积分值的可行性，为后续估计第二类积分提供了参考。1从第二类积分看，以估计积分ex2 dx 为例：0积分估计值： 1.4590-样本容量： 10100100010000样本均值： 2.07821.65831.50291.4590样本方差： 0.43150.08890.00570.0008用 matlab 指令求得积分结果 1.4627由于积分真值未知， 无法直接比较估计值与积分值值； 但随样本容量增大，样本方差减小，间接反映了估计精度的提高。蒙特卡洛方法估计值 1.4590 相
19、比用 matlab 指令求得的积分结果 1.4627 ，绝对偏差 0.0038 ，相对偏差 0.0025 。蒙特卡洛方法估计值与用 matlab 指令求得的积分结果相互验证。总结与讨论：蒙特卡洛方法是基于随机数的一种统计方法。蒙特卡洛方法估计积分值， 总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。为使方法具有一般性，概率密度函数一重积分选择了1x21x2y2f (x )e 2 ，二重积分选用 f (x, y)e2。22程序设计方面， 本着使程序具有一般性以及方便以后使用的原则，依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类，并存储为 .m 文件，用蒙特卡洛方法估计积分值，一重积分只需调用相应程序即可；二重积分只需依据积分域修改相应示性函数即可调用相应函数求解。极大方便了同类问题求解。实验运行结果表明本方案可操作性良好。遗留问题： 本次实验未设计选用不同概率密度函数，估计-精度的比较，留有不同条件下选用何种概率密度函数估计效果最佳？如何缩短程序运行时间？如何对程序进行封装？如何更好评价第二类积分估计值无偏性以及精度？等问题。姓名：王宏辉班级：材料43学号：2140201060-