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1、椭圆及其标准方程教学设计课题椭圆及其标准方程一、学情分析学生在必修中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导， 学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。学生基础差，计算分析问题能力低。地处少数民族区竟争意识淡动手能力差。二、教学目标知识技能：1掌握随圆的定义， 掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 2能根据条件确定椭圆的标准方程， 掌握运用定义法， 待定系统法求随圆的标准方程。过程方法：1通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。 2通过对椭圆标准方程的推导， 是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题
2、的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。1三、教学重点，难点分析重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点：椭圆标准方程的建立和推导。关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中， 先要学习的内容， 所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。四、教法建议 1安排学生提前预习， 动手切割圆锥形的
3、事物， 使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。 2对椭圆定义的引入， 要注重于借助直观、 形象的模型或教具，让学生从感性认识入手， 逐步上升到理性认识， 进而形成正确的概念。 3将课本提出的问题分解成若干小问题， 通过学生、 教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。 4注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。 5推导椭圆的标准方程时， 教师要注重化解难点， 实施的补充根式化简方法。 6讲解完焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程后， 教师要启发学生自己研究焦点在 y 轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。 7在学习新知识的基础上要巩固旧知识。2 8要
4、突出教师的指导作用， 又要强调学生的主体作用， 课堂上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神。五、课前准备1、每人准备一根细绳、一卷胶带。2、圆锥曲线模型。六、教学基本流程回忆圆的定义，及画法类比画出椭圆，引出椭圆定义根据条件，建立椭圆的标准方程例题及练习小结与布置作业七、教学过程设计问题设计意图师生活动1、我们在必修中，在数学学习中， 我们可教师在黑板上， 分别用3已学习圆的知识， 请同以用类比方法由学习、圆规画圆；用线绳画学们用集合的观点叙熟悉的知识引入新的圆。让学生观察、 回答述圆的定义。知识。圆的定义。问题设计设计意图师生
5、活动2、同学们，除了大家让学生从感性认识入学生思考、回答。如：所熟悉的圆，还有另一手，逐步上升到理性认地球运行轨道。圆锥、种圆锥曲线 - 椭圆。识，形成正确的概念。圆柱的斜截面。 教师展请大家举例生活中椭示截面是椭圆的模型。圆的形象。3、如何画椭圆的呢？培养学生观察能力， 类学生思考、 试验。教师比圆的画法，解决问可提示采用线绳画。题。1固定在两点 F1、F2，2细绳长用 2a 表示2a F1F2 3套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。4、通过画椭圆观察这培养学生观察能力、 归 分 析 画 图 过 程 中 的条曲线上所有点满足纳总结能力，为形成椭“变” 与“不变” 的条的几何条件是什么？圆奠定基础。件
6、 M F 1， M F 2 都在变化 ， 但 MF 1 + MF 2 的长 度 保 持 不4问题设计设计意图5、如何描述动点M 所整理试验，归纳抽象成满足的几何条件。数学问题。6、如何用集合表示M使学生能将文字语言点所满足的几何条件。转化为数学语言， 为推导椭圆标准方程做铺垫。7、我们怎样建立坐标推导曲线方程时， 建立系，求椭圆的标准方程坐标系要适当。呢？变。师生活动把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常 数 （ 大 于 F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。学生回答：教师板书P= M MF 1 + MF 2=2a师生共同分析椭圆的特
7、征（如：对称性） ，使方程比较简单； 以线 F1F2 的中心为原心， 以 F1F2 垂直平分线为 Y轴，建立直角坐标系。完成“建系” ，设动点M （ x， y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为 2c（ C 0），则 F1（ C， 0）， F2（C， 0），又设 M 与 F1F2 的距离和等于2a（板书）5问题8、请同学们来表示到 F1F2 的距离MF 1， MF 2设计设计意图师生活动M 巩固已学过的两点距MF 1 =( xc) 2y2离公式，为推导标准方MF 2 =( xc) 2y2程做准备。由 P= M MF 1 +MF 2 =2a得 ( x c)2y 2+ (xc) 2y 2 =2a9、
8、如何整理化简上式。学习巩固根式化简， 两找两位同学板演， 其余边平方。同学自己完成，化简到：y2x21a2a2 c210、观察下图， 找出表确定 a、b、c 的几何定通过观察 y 轴是 F1 F2示 a、 c、 a2c 2的线义及其关系的中垂线， P 到 F1 F2段的距离相等， OF1，OF2Y被 y 轴平分，所以：FO F12XPF1 = PF2 =a,OF1 = OF2 =c,P0 = a 2c 2由 P0 = a 2，令 b= a 2x2y21得椭圆c 2c 2 ,b2=a2-c2，即：代入 a2a2 c2形标准方程：x2y21a2b2根据上图知： a b06问题11、对于椭圆形标准方
9、2y2程 ax 21(a b 0)b2的特点是什么？还有什么结论。设计设计意图适时总结归纳， 区分焦点在 X 轴与 Y 轴的不同。师生活动学生讨论，教师板书。 ax2y21 (a b 2b20)的焦点在 X 轴上；a2 -b 2 =c 2（结论）12、 P38 思考推导焦点在Y 轴上的学生已有推导焦点在Y椭圆标准方程x轴上的椭圆标准方F2程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完MXF1成 1设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标， 应在 y轴上 2列出相等关系（定义） 3化简整理，得椭圆的另一标准方程y 2x21a2b213、椭圆的另一个标准对比上一个焦点在x 1交点在 y 轴上y2x2
10、（1 a b c） 轴上的椭圆标准方程2 2 2方程 a 2（结论）b22 a -b =c有什么特点， 有什么结论？问题设计设计意图师生活动7例 1P34会用定义来求椭圆标由学生独立思考， 发表求标准方程准方程，或用待定系数各自的想法，教师适时法来求椭圆标志方程引导，强调要注意的问题，及时总结： 1确定要设的椭圆标准方程 2要求椭圆标准方程，即要求a， b3恰当列出含a，b，c 的方程4相等关系a2-b2=c2例 1 中把焦点改为在 y 区别焦点不同， 选择设 提问学生选择怎样的轴上求它的标准方程不同的方程，并引起对 方程如何计算？注意焦点不同时的关注。指出学生用方程。练习：写出适合下列条以上练习较简单， 其用随机数产生号码件的椭圆方程目的为了巩固求椭圆指定 3 名学生上黑板1 a=4，b=1，焦点标准方程，及区别焦点计算，老师进行点评。在 x 轴上。在 x 轴上和焦点在 y 2 a=4， c=15 ，焦轴上的椭圆标准方程点在 y 轴上。并能让学生熟练掌握。 3 a+b=10， c=2在应用上，计算上出了问题及时纠正。8小结：以提问形式加深学生对所学知识 1椭圆是怎样的点的轨迹？ 2椭圆的标 的印象。准方程是怎样的？ 3椭圆的两个标准方程有什么区别？布置作业：课本习题2.1A 组 P422 题9