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1、河北省冀州市中学2016-2017 学年高二上学期第三次月考理数试题一、选择题（本大题共13 个小题，每小题 5 分，共 65 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . ）1. 设全集 UR ，集合 Ax x10 ， B x 1 2x8 ，则 CU AB 等于（）x2A 1 ，3)B (0 ，2C (1 ，2D（2 ，3）【答案】 B考点：集合的运算2. 已知幂函数 y fx 的图象经过点1， 2，则 log4f2 的值为（）22A 1B 1C 424D 2【答案】 B【解析】试题分析：由题意得，设幂函数的解析式为fxx ，因为函数 yfx 的图象经过点1 ，2 ，22即
2、 ( 1 )21111，即 fxx2 ，所以 log 4 f2log4 2 2，故选 B2224考点：函数的性质及求值3. 已知 P 是 ABC 所在平面内一点，PA PBPC0 ，现将一粒红豆随机撒在 ABC 内，则红豆落在 PBC 内的概率是（）A 1B 1C 1234D 23【答案】 B【解析】试题分析：根据题意，满足PA PBPC 0 ，则点 P 是 ABC 的重心，由重心的性质，可得P 到 AB的距离为 C 到 AB 的距离的1 ，即OAB 的面积为ABC 的面积的1 ，由几何概型公式可得豆子落在33OAB 内的概率为 1 ，故选 B3考点：几何概型2 x y01y，则 z 4 x的
3、最小值为（）4. 正数 x ， y 满足3y5x02A 1B 13 2C.1416D 132【答案】 C考点：指数函数的性质及简单的线性规划5. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）正视图侧视图俯视图A36B35C.26D25【答案】 C考点：几何体的三视图及几何体的侧面积的计算【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及几何体的侧面积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据给定的三视图得出该几何体的高为 1，底面对角线长为 2 的菱
4、形构成的四棱锥是解答的关键6. 我校在模块考试中约有1000 人参加考试，其数学考试成绩 N90 ，a3a 0 ，统计结果显示数学考试成绩在70 分到 110 分之间的人数约为总人数的3 ，则此次数学考试成绩不低于110 分的5学生人数约为（）A 600B 400C.300D 200【答案】 D【解析】试题分析： 因为成绩N 90 ，a3a 0 ，所以其正态曲线关于直线x90对称，又因为成绩在70 分到 110分之间的人数约为总人数的3 ，由对称性可知：成绩在110分以上的人数约为总人数的51 (13)1，所以此次数学考试成绩不低于110 分的学生约有：1 1000200 人，故选 D2555
5、考点：正态分布7. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据， 根据表中提供的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程y 0.7 x0.35 ，那么表中 m 的值为（）x3456y2.5m44.5A 4B 3.15C.4.5D 3【答案】 D考点：回归直线方程的应用8. 已知正四棱锥的各棱棱长都为3 2 ，则正四棱锥的外接球的表面积为（）A 12B 36C.72D 108【答案】B【解析】试题分析：如图所示，这正四棱锥的底面的中心为O ，则在直角ABC 中，AC2AB6 ，所以AOCO3 ，在直角POA 中， POPA2AO23
6、，所以正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都是3 ，所以正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球的半径r3 ，球的表面积S4 r 236，故选B考点：球的组合体及球的表面积公式9. 将标号为1， 2， 3， 4，5， 6 的 6 个小球放入3 个不同的盒子中，若每盒放2 个，则标号为1， 6的小球不在同一个盒子中的概率有（）A 4B 1C.2555D 35【答案】 A考点：古典概型及其概率的求解10. 已知函数 fxln x1，若 fafb ，则 a 2b的取值范围为（）A 4 ，B 3 2 2 ， )C. 6，)D (4，32 2【答案】 B【解析】试 题 分 析 ： 先 画 出 函
7、数 f xlnx 1 的 图 象 ， 如 图 所 示 ， 因 为 f af b ， 所 以l na(1 ) bl n ( ， 即1， 所 以 b 11， 不 妨 设ba ， 则 1b 2 ， 所 以b 1a 1a1a 2ba2(a1)a1(a1)23322 ，所以 a2b的取值范围为 32 2 ，) ，故选 Ba1考点：对数函数的图象与性质及基本不等式求最值3n11.的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且 AB 72 ，则xx展开式中常数项为（）A 6B 9C.12D 18【答案】 B考点：二项式定理的应用12. 按下图所示的程序框图运算：若输出k2 ，则输入 x 的取
8、值范围是（）开始输入 xk=0x=2x+1k=k+1x 115?输出 k结束否A（20 ，25B (30 ，57C.(30 ，32D (28 ，57【答案】 D【解析】试题分析：由程序框图可知，第一次循环x2x1,k1；第二次循环x2(2 x1)1,k2 ，当输出2x1115，得 28 x57 ，故选 Dk 2时，应满足1)12(2x115考点：程序框图【方法点晴】本题主要考查了出现框图的应用，其中解答中涉及到不等式组的求解、循环结构的计算与输出，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中正确理解循环结构的程序框图的模拟运算，以及正确把握循环
9、结构的判断框的终止条件是解答的关键13数列nn中，an 11 an2n 1，则数列n前 12 项和等于（）aaA 76B 78C80D 82【答案】 B考点：数列的求和【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的求和公式、数列的递推关系式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，利用数列的结构特征和等差数列的求和公式是解得问题的关键第卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，满分20 分）614. 1 xx2x1的展开式中的常数项为x【答案】5【解析】6试题分析
10、：由题意得，二项式x1的通项为 Tr 1 C6r (x)6 r ( 1 )r(1)r C6r x62r ，xx16所以 1 xx2x的展开式中的常数项为 ( 1)3 C63(1)4 C642015 5x考点：二项式定理的应用15. 过点 3，1作圆 x2y21 的两条切线，切点分别为A ， B ，则直线 AB 的方程为1【答案】 2 xy30【解析】试题分析：圆x 12y21 的圆心为 C (1,0) ，半径为 1，以 3 ，1 ， C (1,0)为直径的圆的方程为( x 2) 2( y1 )25，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程 2 x y 30 24考点：直线与圆的位置关系的应用16
11、. 若0 ，且 3cos 2sin，则 sin 2的值为417【答案】 1或18考点：三角函数的化简求值【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中涉及到两角和与差的正弦函数公式、余弦的二倍角公式、三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中根据三角函数恒变换的公式，得出 cossin0 或 cossin2 是解得关键617已知 O 为 ABC 的外心， AB16 AC10 2 ，若 AO xAB yAC，且 32 x 25 y 25，则 OA【答案】 10【解析】试题分析：若 AOx
12、ABy AC ，则 AO2yACAO ， O 为外心， D , E 为中心， OD ,OE 分xAB AC别为两中垂线，AB AOAB AO cos DAOAB1168 128 , 同理可得AB2AC AO1AC22128x 100y4(32x25y)100 ，所以 AO 10 100 ，所以 AO2考点：向量的数量积；平面向量的运算【方法点晴】本题主要考查了向量的综合运算问题，其中解答中涉及到平面向量的数量积的运算公式、三角形的外心的性质、向量的模的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能2xAB ACyACAO ，并根据三角形外心的性力，以及推理与运算能力，本题的解答中
13、合理转化AO质化简是解答的关键，属于中档试题三、解答题（本大题共6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）18. （本小题满分 10分）已知函数f x 13 sin 2x2 cos2 x （ 1）求 f x 的最大值及取得最大值时的x 集合；（ 2）设 ABC 的角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a 1， fA 0 ，求 bc 的取值范围【答案】（ 1） x xk, k Z；（2） (1 , 2 6试题解析：（ 1） fx13sin 2x2cos2 xcos2 x3sin 2 x2 2cos2 x2 ，3 1cos2 x31 ， 02c
14、os2x32 4 ， fx的最大值为 4.当 2x32kkZ，即 xkkZ时，函数 f x取得最大值，6则此时 x 的集合为x xk, kZ；6（ 2）由 fA0 得： 2cos2 A320 ，即 cos2 A31 ， 2A32kkZ， Ak3kZ，又0A， A， a1， sin A3 ，32由正弦定理abc得： ba sin B2sin B ， c2sin Asin Bsin Csin A3sin C ，3又 A， B22B ，C3，即 C33 bc2(sin Bsin C)2sin Bsin( 2B)2(sin B3 cosB1 sin B) ，3333223sin B1cos B)2si
15、n( B) ， A， 2(2326 B(0 ,) ，B(,5 ) ， sin( B)( 1, 1，则 b c 的取值范围为 (1 , 2 .366662考点：三角函数的图象与性质；正弦定理19. （本小题满分 12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 a11 Sn 12Snn1 nN*（ 1）求数列an的通项公式；（ 2）若 bnn，求数列bn 的前项和 Tn anan 1【答案】（ 1） an2n1 n N*；（2） n 2nn2 2试题解析：（ 1） Sn 12Snn1 ，当 n2时， Sn2Sn 1 n ， an 12an 1， an 11 2 an1 ，即 an 112 ，a
16、n1又 S22S11 ， a1S11 ， a23 ， a212 ，a11 an1 2n ，即 an2n1 n N* .（ 2） an2n1， bn2n 1n1n2nn .12n2n 12n Tn123n2223+n .221 Tn12n 1n.222232n2n1Tn 2(1111nn223nn 1 )2n.222222考点：数列的求和；数列的递推关系式20. （本小题满分12 分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，DAB90 ， PA平面ABCD， PAABBC3 ，梯形上底AD1（ 1）求证： BC 平面 PAB ；（ 2）求面 PCD 与面 PAB 所成锐二面角的余弦值PBCA
17、D【答案】（ 1）证明见解析； （ 2） 3 14 14试题解析：（）证明：由题意：BC AD 且DAB90 ， BCAB ，又 PA平面 ABCD 得， BCPA ，而 PAPBA ， BC 平面 PAB 4分（）（法一）延长 BA ， CD 交于 Q 点，过 A 作 AHPQ ，垂足为 H ，连 DH ，由（）及 AD BC 知： AD平面 PAQ ， ADPQ 且 AHPQ ，所以 PQ平面 HAD ，即 PQHD .所以AHD 是面 PCD 与面 PBA所成的二面角的平面角 . 6分易知 AQ3， PQ3 5 ，所以 AHAQ PA3 5 ，22PQ5 tanAHDAD5 ，所以面 P
18、CD 与面 PAB 所成二面角的余弦值为3 14 .AH314考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解21. （本小题满分 12 分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查， 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”（）根据已知条件完成下面的22 列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，你是否有理由认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计1055（）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随
19、机抽样方法每次抽取 1名观众， 抽取 3 次，记被抽取的3 名观众中的“体育迷”人数为x 若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望e x 和方差 d x 附： x2n n11 n222n12 n21n1 n2 n 1 n 2P x2k0.050.01k3.8416.635【答案】（ I ）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（II ）分布列见解析， E X3 ， D X9 .416试题解析：（）由频率分布直方图可知，在抽取的100 人中，“体育迷”有25 人，从而 22 列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100由2 2列联表中数据代入公式计算，得：2
20、2100 3.030.x2n n11 n22n12 n211003010 4515n1 n2 n 1n 275 2545 5533因为 3.0303.841 ，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关.（）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25 ，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1 ，由题意，4X B3 ,1 ，从而 X 的分布列为：4X0123P27279164646464E Xnp 3 1 3 ， D Xnp 1 p 31 3 9 .444416考点：独立性检验的应用22. （本小题满分 12分）已知函数fxmlog a xa 0且 a 1 的图象经过点 8 ,
21、 2，点 P 3 ,1关于直线 x2 的对称点 Q 在 fx的图象上（）求函数fx的解析式；（）令 g x2 fxfx 1，求 gx 的最小值及取得最小值时x 的值【答案】（ I ）fx1log 2 x ；（ II ）当x2时，函数 g x 取得最小值1【解析】试题分析：（I ）由点 P 3 ,1关于直线 x2 的对称点 Q 的坐标为 Q 1 ,1，代入列出方程组， m1 ，a2 ，即可求解函数的解析式； （ II）由 g xlog 2x2x21 ，再根据基本不等式，求解x1的最值，x 11得出函数的单调性，即可求解gx的最值试题解析：（）点 P 3 ,1关于直线 x2 的对称点 Q 的坐标为
22、 Q 1 ,1. 2 分f82mlog a 82. 4分由1得f1mlog x 11解得 m1 ， a2，故函数解析式为 f x1 log 2 x . 6分考点：函数的解析式；函数的最值23. （本小题满分12 分）已知圆C : x2y22 x4 y30 （）若圆C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（）从圆 C 外一点 P x1 , y1 向该圆引一条切线，切点为M ， O 为坐标原点，且有PMPO ，求使得 PM取得最小值时点P 的坐标【答案】（ I ） y26 x ，或 y 26 x ，或 xy 1 0 ，或 xy 3 0 ；（ II ）3, 3 .105试题解析：（ I ）将圆 C 配方得 ( x 1)2( y 2)22 ，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx ，由k22 ，解得 k 26 ，得 y (26) x ，1k2当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x y a 0 ，由12a2 ，即 a1 ，或 a3 ，2 ，得 a 12直线方程为 xy10 ，或 xy3 0 ，综上，圆的切线方程为y26x