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1、全国初中数学竞赛预选赛试题( 初二 )( 考试时间： 120 分钟，满分 140 分 )一、选择题： ( 每小题 7 分，共 42 分 )1 、已知实数 a 满足： |2004-a|+ a 2005 a，那么 a-2004 2 ( )A、 2003B、2004C、 2005D、20062、如图，在 ABC中， CRt ， CDAB于 D，在(1) DC ABACBC，(2)AC 2ADBC 2BD(3)111(4)AC+BC CD+ABAC2BC 2CD 2中正确的个数是 ( )A、 4B、 3C、2D、13、实数 a，b， c， d 满足： a b c d 1001， acbd 4，则：(a
2、b)(bc)( cd )( da) = ()A、 1001B、2002C、2003D、20044、在 ABC中， A B C， A90，画直线使它把 ABC 分成两部份，且使其中一部分与ABC 相似，这样的互不平行的直线有()条（）A、 3B、4C、5D、65、已知二次函数 y=ax2+c, 且当 x1 时，4y 1，当 x2 时, 1y5，则当 x 3 时， y 的取值范围是 ()、1y 20B、 4 y15A、y 26D、28 y 35C 7336、n 是一个两位数， 它的十位数字与个位数字之和为 a，当 n 分别乘以 3，5，7，9 后得到四个乘积，如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为
3、a，那么这样的两位数有 ( ) 个。 （ ）A、 3B、5C、 7D、 9二、填空题：（每小题 7 分，共 28 分）7、某电影院的票价是： 个人每张 6 元，每 10 人一张团体票为40 元，学生享受九折优惠，某校1258 名学生看电影 ( 教师免票 ) ，学校应向电影院至少付_元钱。8、利用公式 (a 2 b2)(c 2 d2 )=(ac bd) 2(bc ad) 2或其它方法找出一组正整数填空： (2 2 92 32)(4 29252)=()2+92( )2 。9、如图，梯形2ABCD的面积为 34cm，AE=BF， CE与 DF相交于 O， OCD2的面积为 11cm，则阴影部分的面积
4、为 _cm2 。10、在表达式 S= x1x 2x3x4 中， x 1、x2、x3、x4 是 1、2、3、 4 的一种排列（即： x1、x2、x3、x4 取 1、2、3、4 中的某一个数，且 x1、x2、x3、x4互不相同）。则使S 为实数的不同排列的种数有种。三、 ( 本题满分20 分 )某同学买某种铅笔，当他买了x 支，付了 y 元（ x、 y 都是整数）时，营业员说：“你要再多买 10 支，我就总共收你 2 元钱，这样相当于每买30 支，你可节省 2 元钱”。求 x y。四、 ( 本题满分25 分 )如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得 P、Q、R、S 为 AB、 BC、CD、DA
5、m上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数 为矩形 ABCD的 n周长，求 mn。五、 ( 本题满分25 分 )1、试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成得的正方形大小可以不相同) ；又问如何把正方形按上要求分成8 个正方形 ( 分31 个正方形？2、试设计一种方法， 把一个立方体分割成 55 个立方体 ( 要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同 ) 。全国初中数学竞赛预选赛答案一、 1. C;2.B ; 3. B;4. D;5. A;6. B;二、 7. 4536; 8. 1388， 2;9. 12;10. 16;三、根据营业员的话， y 的
6、值只能是1或 。(3分)2(1) 当 y=1 时，则原来每支价格为1 元，多买 10 支，每支节省1元。现在x15每支价格为 (1-1 ) 元。设多买 10 支后共 m支，则有 (1- 1 )m=2 (4 分) ，x15x15此时 m只能取 15, 30, 45, 60。经讨论只有当 m=15，x=5 时才符合题意。（6 分）(2) 当 y=2 时，则 (2-1)m= 2 无论 m为何整数均不合题意。(5 分)x15所求x、y=1(2分)=5（注： y=2 不讨论适当扣分）四、设 AS=x、 AP=y (2 分 ) ，由菱形性质知 PR SQ，且互相平分，这样得到 8 个直角三角形， 易知 P
7、R与 SQ的交点是矩形 ABCD的中心。由已知可得其中 6 个三角形的边长分别为 15、 20、25。由对称性知 CQ、CR的长为 x、y。则 Rt ASP和 RtCQR的三边长分别为 x、y、25，矩形面积等于 8 个 Rt的面积之和。则有：(20+x)(15+y)=6 1 1xy（8分）22015+22则有 3 x+4y=120(1)又 x2+y2=625(2)(2分)得x1x 244=20=5y1=15y2=117(5分)5当 x=20 时 BC= x+BQ=40 这与 PR=30不合44y= 117(2分)故 x=55矩形周长为2(15+20+x y672分)+ )=(55即： m+n=677(1分)五、1、容易把一个正方形分成42 =16 个正方形，再把其中位于一角的9 个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8 个正方形。(8分 )分成16 个正方形后，把其中任意5 个分成4 个小正方形，共有16-5+54=31 个正方形。(8分)2、把立方体分割成33 =27 个立方体，再把其中4 个各分成 23=8 个立方体，共 27-4+4 23=55 个立方体。（ 9 分）