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1、2.2 三角形中的几何计算教学目标1知识与技能 : 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法 : 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3. 情态与价值： 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；
2、三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程一、创设情景 : 思考：在 ABC中，已知 a 22cm，b 25cm， A 1330 ，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。二、探索研究例 1在 ABC中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况分析：先由bsin A 可进一步求出 B；则 C1800 ( A B) 从而asin Csin BacA（1）当 A 为钝角或直角时，必须 ab 才能有且只有一解；否则无解。（2）当 A 为锐角时，如果 a b
3、 ，那么只有一解；如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 absin A，则有两解；（2）若 absin A，则只有一解；（3）若 absin A，则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 bsin A a b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习 1（1）在 ABC中，已知 a80，b 100， A 450 ，试判断此三角形的解的情况。（2）在 ABC中，若 a1，1 ， C400 ，则符合题意的 b 的值有 _c2个。（3）在 ABC中， axcm ， b 2cm， B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
4、x 的取值范围。（答案：（ 1）有两解；（2）0；（3）2 x 2 2 ）例 2在 ABC中，已知 a7 ， b 5 ， c 3 ，判断 ABC的类型。分析：由余弦定理可知a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形a2b2c 2A是锐角ABC是锐角三角形（注意： 是锐角ABC是锐角三角形 ）A解： Q 725232 ，即 a2b2 c2 ，ABC是钝角三角形。 随堂练习 2B:sinC 1:2:3 ，判断的类型。（1）在中，已知 sin A:sin（2）已知ABCABCABC满足条件 a cosAb cosB ，判断ABC的类型。（答案：（1） ABC是钝角三
5、角形 ；（2） ABC是等腰或直角三角形）例 3在 ABC中， A600 ， b1，面积为 3，求abc的值2sin A sin Bsin C分析：可利用三角形面积定理S 1 absin C1 acsinB1 bc sin以及正弦A222定理abca bcsin AsinBsin CsinA sinBsin C解：由1 bc sin A3得 c2，S22则 a2b2c22bc cos A=3，即 a3 ，从而a bca2 随堂练习 3sin Asin Bsin CsinA（1）在 ABC中，若 a55 ，b 16 ，且此三角形的面积 S2203 ，求角 C（2）在ABC中，其三边分别为 a、b
6、、c，三角形的面积Sa2 b2 c2 ，4求角 C（答案：（1） 600 或 1200 ；（2） 450 ）三、课堂小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。（四）课时作业 :（1）在 ABC中，已知 b 4 ，c 10 ， B 300 ，试判断此三角形的解的情况。（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。（3）在ABC中， A 600 ， a 1， b c2 ，判断ABC的形状。（ 4）三角形的两边分别为3cm， 5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x 2 7x 6 0 的根，求这个三角形的面积。