11年北大网络教育季高等代数习题解答.doc

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1、2 0 1 1年 秋 季 学 期 高 等 代 数 作 业 解 答 第 一 章 行 列 式 教材习题 1.3 第 5 （2） 题 计算 阶行列式 教材习题 1.4(1) 第1 (5) 题 计算下列行列式： 解： (第1列减第2列,第3列减第4列) = (第2行减第1行,第4行减第3行) = (第3行减第2行) =习题 1.6 3. 计算 解： ! 6. 计算2n阶行列式 D= 解: D 复 习 题 1 第4题 - D= 解: = = = 第6题 - 计算n阶行列式 D= 解： （第n列分别加到第1列，第2列，至第列） （对第1列展开） 解法 2： 第二章 线 性 方 程 组 习题 2.11、 用

2、 Cramer 法则解下列线性方程组由此求得 =-1, 代入第1个方程, 求得 .再由第2个方程求得 ,由第3个方程求得 ,由第5个方程求得 .习题 2.2(1) 1. 解下列线性方程组 (1) 解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换:= 由这个约化梯阵,可得解: .习题 2.5(2) 第 3 题现证明 由 线性表出的表法唯一： 用反证法。设表法不唯一，则可有两种不同的表达式 及 ， 将两式相减，得 ，但 线性无关，则 ,即 。所以， 由 线性表出的表法唯一。习题 2.5(3) 5 设向量组 可以由向量组 线性表出，求证： 证：设向量组的秩为 ：，取它的一个极大线性无关组 ；设向量组的秩为 ：，

3、取它的一个极大线性无关组。 因向量组与它的极大线性无关组等价，故与等价，与等价。由题设向量组可由 线性表出，根据等价关系的传递性，可由线性表出，因线性无关，所以 ，即 。习题 2.7（1） 第 3 题 习题 2.7(2) 第 1 题: 求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系表出方程组的全部解 （2） 解：对齐次方程组的系数矩阵进行初等行变换： 同解方程组 一般解： （ 为自由未知量 ）取 得 取 得 取 得 是齐次方程组的基础解系 。齐次方程组的全部解为 （ ）习题 2.7(3) 第 3题 假设 是某个线性方程组的解,且常数 的和等于1, 求证 : 也是这个方程组的一个解. 证明:

4、因 是方程组的解, 设 也是这个线性方程组的解,由解的性质知, 是此线性方程组的导出组的解. 那么由解的性质知, 是线性方程组的解. 但 ,于是由上式得 = 故, = 是这个线性方程组的一个解.复习题 2 1. 用基础解系表示出下列方程组的全部解 （1） 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换 于是 ， ，则方程组的导出组的基础解系有两个独立解。 原方程组的同解方程组： 一般解为： （ 为自由未知量） 取 ，得非齐次线性方程组的特解 ： 导出组的一般解为 取 分别为 （1，0） ，（0，1） 得导出组的基础解系 ： 故方程组的全部解 第 10 题证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即 ，且可由

5、线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组 （ I ） 因可由线性表出，那么向量组（ I ）可由线性表出。又因是向量组（ I ）的部分组，则可由向量组（ I ）线性表出。于是向量组（ I ）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而 。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（ I ）的线性无关部分组。但向量组（ I ）的秩也为，那么从向量组（ I ）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。于是向量组（ I ）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（ I ）可由线性表出，从而与向量组（ I ）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。第 三 章 矩 阵 习题 3.

6、1（2） 第5 (3) 题 计算 () 解: 令 ,其中为单位矩阵 因 与 可交换,而且 ,从而 ,于是,对 用牛顿二项式定理,有 = = 习题 3.2 第5题- 设是一个阶矩阵,试证:存在一个阶非零矩阵 ,使得 的充分必要条件是: 证:必要性-已知有一个阶非零矩阵 ,其中 ()是矩阵的非零列向量组.于是 , 即 (). 因不全为零向量,所以齐次方程组有非零解,故 . 充分性- 因,齐次方程组有非零解.取的个非零解向量 为列,构成阶非零矩阵 ,使 . 第6题- 设 A ，B 都是 n 阶矩阵，试证：如果 AB0，那么 。证：设n阶矩阵A,B的秩分别为 ，并记 。设B的列向量组为，则有 ，即 （

7、）故B 的任何一个列向量 （）都是齐次方程组 的解，都可由齐次方程组 的基础解系线性表出，于是 由此得 。习题 3.3 第 2 题 求下列矩阵的逆矩阵: （4） 解：记此矩阵为AA的各元素的代数余子式为由此知，这是由于A为对称矩阵，且A可逆，则A*也对称。现证明如下：因取转置，得，即故有两边右乘，得所以，也是对称矩阵。由对称，则于是3.试证：如果，那么E-A可逆，并且证：因，那么，又因n阶单位矩阵E可与任何n阶方阵A交换，故可用代数公式得即按定义得习题 3.4 第 5(1) 题-求下列矩阵 的逆矩阵 解: 因 ，则 A 可逆 。为求的逆矩阵,考虑 故 习题 3.5 第 9 题 求与向量组(1,

8、0,1,1) ,(1,1,1,-1) ,(1,2,3,1)等价的正交单位向量组.解: 记 , , ,分别取它们的前3个分量,得 ,.由于 ,故 线性无关. 每个向量再加一个分量,它们仍线性无关,故 线性无关.下面用Schmidt正交化方法,求与等价的正交单位向量组.正交化- 令 =() 再把单位化: =() , 是与等价的正交单位向量组.复习题 3 9. 设A是一个n阶方阵，如果对于任一n维列向量X，都有，则。证法1：因为对于任一n维列向量X，都有，于是可取n个线性无关的n维列向量，每个都满足 以为列向量组构成矩阵B，则 因线性无关，故B可逆， 于是由右乘，得证法2：既然对于任一n维列向量X，

9、都有，不妨取n维基本向量组， 则有故由得由 得故A=0 第10题- 设是一个阶矩阵（），试证： 解：当 时，可逆，。因 ，两边取行列式，得 ，则有 ，故 。 当 时， 的非零子式的最高阶数为 ，从而 这表明，的列向量组都是齐次方程组 的解，故的列向量组可由 的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，于是 。 但因 的非零子式的最高阶数为，则矩阵的元素 的代数余子式中至少有一个不为零，故 。 当 时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零，故 。第11题 设是一个阶矩阵(),求证 : 证 因 ，两边取行列式，得，若可逆,则得 .若不可逆,则.由第10题知,此时,但题设,即与均为阶数大于

10、或等于2的方阵,从而至少是2阶方阵,但,于是的非零子式的最高阶数小于或等于1 ,则的2阶及2阶以上的子式全为0.显然是的2阶或2阶以上的子式,所以 .故有 第 四 章 矩 阵 的 对 角 化习题 4.1 3.设AB，CD，试证：因AB，存在可逆矩阵X使B=X-1AX因CD，存在可逆矩阵D使B=Y-1CY。从而有其中，由于X，Y可逆，则，从而故可逆，而且，所以习题 4.21. 求下列复系数矩阵的特征值和特征向量 （3） 特征值为当时，求齐次方程组的基础解系： 一般解为 （X3为自由未知量）基础解系为 是矩阵A的属于特征值的特征向量。 当时，求齐次方程组的基础解系： 一般解为 （X3为自由未知量）

11、基础解系为 是矩阵A的属于特征值的特征向量， 。当时，求齐次方程组的基础解系： 一般解为 （X3为自由未知量）基础解系为 是矩阵A的属于特征值的特征向量， 。习题 4.3第4题- 是一个3阶方阵。已知它的特征值为 ， 的属于特征值的特征向量依次为 ： ， 求 矩阵 。 解：的属于不同特征值的特征向量 线性无关，则可对角化，以 为列向量组构成可逆矩阵：则有 ，于是 。先求 ： ， 故于是 习题 4.41.求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵:（1）解：A的特征多项式A的特征值A是实对称矩阵，下面分别求属于不同特征值的特征向量。时，求的基础解系：由此得一般解： （是自由未知量）基础解系 是属于的特

12、征向量。因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交，故只须将单位化：时，求的基础解系：由此得一般解： （是自由未知量）基础解系 是属于的特征向量，将它单位化：时，求的基础解系：由此得一般解： （是自由未知量）基础解系是属于的特征向量，将它单位化：是正交单位向量组，以它们为列，构成正交矩阵则 复 习 题 4第8题- 如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是一个数量矩阵。证：因任意n维非零向量都是A的特征向量，那么很容易找到A的n个线性无关的特征向量，从而A可以对角化，即存在可逆矩阵X，使其中是A的全部特征值。下面证明全相同。用反证法。设设是A的属于特征值的特征向量，是A的

13、属于特征值的特征向量。它们均为非零向量，且线性无关，从而是n维非零向量，由题设可知，是A的特征向量，于是有，但，故有即然而线性无关，故有，于是所以即 ,A是数量矩阵 .10. 设A，B都是实对称矩阵，试证：存在正交矩阵T，是T-1AT=B的充分必要条件是：A与B的特征多项式相等。证：充分性A，B的特征多项式相等，则A，B有相同的特征值。因A，B都是n阶实对称矩阵，则分别存在正交矩阵T1，T2使于是得两端左乘，右乘得 即 记，因均为正交矩阵，则T也是正交矩阵，从而有必要性因有正交矩阵T，使，那么 （因）所以，A，B的特征多项式相等。第 五 章 二 次 型 习题 5.1 第4题- 试证 ： （1）

14、当 是实数域时，对称矩阵 与 不是合同的。 （2）当 是复数域时，对称矩阵 与 是合同的。 证: （1） 用反证法证明。当 是实数域时，设此二矩阵合同，即 则有可逆矩阵 ,使 ，等式两边取行列式，得 则有 。这在实数域中是不可能的，故 此二矩阵不是合同的。（2） 在复数域中，取可逆矩阵 ，则 于是 习题 5.2 用正交替换把下列实二次型化为平方和，并写出所作的正交替换。 2 . 解： 此二次型的矩阵为 的特征多项式为 。 的特征值为 （2 重根）， 。 时，求 的基础解系： 对特征矩阵进行初等行变换 由此得一般解 （ 为自由未知量） 取 分别为 得基础解系： ， 将它们正交化： 令 单位化：，

15、 时，求 的基础解系： 由此得一般解： （ 为自由未知量） 基础解系： 单位化： 以 为列，构成正交矩阵 则有 于是正交替换 ，即 在此正交替换下，二次型化为平方和： 。 习题 5.3 用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并写出所作的线性替换（分别用配方法及初等变换法）：2. 解： 配方法 令 即 此非退化线性替换的矩阵为 经非退化线性替换 ，二次型化为标准形 初等变换法 二次型的矩阵为 则非退化线性替换的矩阵为 经非退化线性替换 ，二次型化为标准形 习题 5.54 . 试证: 如果是正定矩阵,那么和也都是正定矩阵 .证:因正定与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使. 正定,则可逆,从而有 ,此

16、式两边左乘以,右乘以,得 ,即 , 则与合同. 故正定. 因正定的特征值 () , 那么由 () (是的属于的特征向量) , 可得 , 因 正定, ,用 乘此等式, 得 ( ) , 则 是的特征值,而且都大于零,故正定.第6题- 试证: 实二次型是半正定的充分必要条件是 的正惯性指数等于它的秩，且秩小于 。解：设实二次型 的秩为。由惯性定理知，经非退化线性替换 ，实二次型可化为规范形： ，其中正惯性指数 。 现证：半正定 。必要性 用反证法，设，那么可取 ， 。则由 （其中有 个 1 ）可求得实数 ，使 这与半正定矛盾，故 。充分性已知，则实二次型的规范形为 ，当 取任意一组实数 时，由 即

17、可求得一组唯一解 ， 但这里的矩阵C 正是把实二次型化为规范形的非退化线性替换的矩阵，故以为变元 的二次型是规范形，于是有 ，故实二次型半正定。注：这个半正定二次型的秩 ，必须小于 。否则，若，则实二次型是正定的。复 习 题 5 8 . 是一个实对称矩阵, 证明:是半正定矩阵的充分必要条件是: 有实矩阵 ,使证: 必要性-因 半正定实二次型的正惯性指数, 故存在可逆矩阵使 (主对角元有个1) 将上式左乘以,右乘以,得: ,因,且有 = 故可令 , 从而有 =其中均为实矩阵,故是实矩阵.充分性-因实对称矩阵其中C为实矩阵.那么,对于任意实向量有 , 其中 是一个实向量. 所以,对于任意实向量 ,

18、实二次型 故,A是半正定矩阵. 10 . 设是一个实对称矩阵,且,试证:必有实向量使 .证: 因,则不是半正定的,证明如下:用反证法,设是半正定的,则半正定实二次型的正惯性指数 ,是矩阵的秩.于是存在可逆矩阵,使 规范形矩阵的主对角元有个1,().由上式得 = = , 对此式取行列式得 = ,这与题设矛盾,故 不是半正定的,则按定义,有实维向量使 . 螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅

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22、莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂

23、蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇

24、蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃

25、莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈

26、薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节

27、莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆

28、蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁

29、蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅

30、芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿

31、薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆

32、莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀

33、蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅

34、蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿芈蕿肇莄薇薈螇膇薃薇罿蒃葿薆肁芅莅薅膄肈蚃薄袃芄蕿薄羆肇蒅蚃肈节莁蚂螈肅芇蚁袀芀蚆蚀肂肃薂虿膄荿蒈蚈袄膁莄蚈羆莇芀蚇聿膀薈螆螈莅蒄螅袁膈莀螄羃莃莆螃膅芆蚅螂袅聿薁螂羇芅蒇螁肀肇莃螀蝿芃艿衿袂肆薇袈羄芁蒃袇肆肄葿袆袆荿莅袆羈膂蚄袅肀莈薀袄膃膁蒆袃袂莆莂蕿羅腿

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