等腰三角形练习题及答案汇总.docx

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1、等腰三角形典型例题练习一选择题（共2 小题）1如图， C=90， AD平分 BAC交 BC于 D，若 BC=5cm， BD=3cm，则点 D到 AB的距离为（）A5cmB3cmC2cmD不 能确定2如图，已知 C 是线段 AB上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC为边并且在 AB的同一侧作等边 ACD 和等边 BCE，连接 AE交 CD于 M，连接 BD交 CE于 N给出以下三个结论： AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3二填空题（共1 小题）3如图，在正三角形ABC中， D，E，F 分别是 BC，AC，AB上的点， DEAC，EFAB，FDBC，则 D

2、EF 的面积与 ABC 的面积之比等于_1三解答题（共15 小题）4在 ABC中， AD是 BAC的平分线， E、 F 分别为 AB、 AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF5在 ABC中， ABC、 ACB 的平分线相交于点 O，过点 O作 DEBC，分别交 AB、 AC于点 D、 E请说明 DE=BD+EC6已知：如图，D 是 ABC的 BC边上的中点， DEAB，DFAC，垂足分别为 E， F，且 DE=DF请判断 ABC 是什么三角形？并说明理由27如图，ABC是等边三角形， BD是 AC边上的高，延长 BC至 E，使 CE=CD连接 DE（ 1）E等于多少度？（ 2）

3、DBE是什么三角形？为什么？8如图，在 ABC 中， ACB=90， CD是 AB边上的高， A=30求证：AB=4BD9如图， ABC中， AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE，DE与 BC相交于点 F求证： DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B 的角平分线交AC于 D，过 C作 CE与 BD垂直且交 BD延长线于 E，求证： BD=2CE311（2012?牡丹江）如图， ABC中AB=AC，P 为底边 BC上一点， PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、 F、 H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CH

4、AB，SABP=AB?PE， SACP= AC?PF， SABC= AB?CH又SABP+S ACP=SABC， AB?PE+ AC?PF= AB?CHAB=AC，PE+PF=CH（ 1）如图， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（ 2）填空：若 A=30， ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB边上的高 CH= _ 点 P 到AB边的距离 PE=_12数学课上，李老师出示了如下的题目：4“在等边三角形 ABC中，点 E 在 AB上，点 D 在 CB的

5、延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE与 DB的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB的中点时，如图 1，确定线段 AE与 DB的大小关系，请你直接写出结论： AE _ DB（填“”，“”或“ =”） （ 2）特例启发，解答题目解：题目中， AE与 DB的大小关系是： AE_DB（填“”， “”或“ =”）理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC于点 F（请你完成以下解答过程）（ 3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点 E 在直线 AB上，点 D 在直线 BC上，且 ED=EC若ABC的边长为 1

6、，AE=2，求 CD的长（请你直接写出结果） 13已知：如图， AF 平分 BAC，BCAF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA，点 P 在 CF上，连接 PB交 AF 于点 M若 BAC=2MPC，请你判断F 与 MCD 的数量关系，并说明理由514如图， 已知 ABC是等边三角形， 点 D、E 分别在 BC、AC边上，且 AE=CD，AD与 BE相交于点 F（ 1）线段 AD与 BE有什么关系？试证明你的结论（ 2）求 BFD的度数15如图，在 ABC 中， AB=BC， ABC=90， F 为 AB延长线上一点，点E在 BC上， BE=BF，连接 AE、 EF 和 CF，求证：

7、 AE=CF16已知：如图，在 OAB中，AOB=90， OA=OB，在 EOF中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、 BF问线段 AE与 BF 之间有什么关系？请说明理由617（ 2006?郴州）如图，在 ABC 中， AB=AC， D是 BC上任意一点，过D分别向 AB， AC引垂线，垂足分别为E， F，CG是 AB边上的高（ 1） DE，DF， CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（ 2）若 D 在底边的延长线上， （ 1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由18如图甲所示，在 ABC 中， AB=AC，在底边 BC上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距

8、离之和等于定长（腰上的高） ，即 PD+PE=CF，若 P 点在 BC的延长线上， 那么请你猜想 PD、PE和 CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明7等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题（共2 小题）1如图， C=90， AD平分 BAC交 BC于 D，若 BC=5cm， BD=3cm，则点 D到 AB的距离为（）A5cmB3cmC2cmD不 能确定考点 ：角平分线的性质1418944分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D 到 AB的距离等于D 到 AC的距离即CD的长，问题可解解答：解： C=90， AD平分 BAC交 BC于 DD到 AB的距离即

9、为CD长 CD=5 3=2 故选 C2如图，已知 C 是线段 AB上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC为边并且在 AB的同一侧作等边A CD和等边 BCE，连接 AE交 CD于 M，连接 BD 交 CE于 N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB 其中正确结论的个数是（）A0B1C2D38考点 ：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 1418944分析：由 ACD和 BCE是等边三角形，根据SAS易证得 ACE DCB，即可得正确；由 ACE DCB，可得 EAC=NDC，又由ACD=MCN=60， 利用 ASA，可证得 ACM DCN， 即可得正确；

10、又可证得 CMN是等边三角形，即可证得正确解答：解： ACD和 BCE是等边三角形， ACD=BCE=60， AC=DC，EC=BC， ACD+DCE=DCE+ECB，即 ACE=DCB， ACE DCB（ SAS），AE=BD，故正确； EAC=NDC， ACD=BCE=60， DCE=60， ACD=MCN=60，AC=DC， ACM DCN（ ASA）， CM=CN，故正确；又 MCN=180 MCA NCB=180 6060=60， CMN是等边三角形， NMC=ACD=60， MNAB，故正确故选D二填空题（共1 小题）3如图，在正三角形ABC中， D，E，F 分别是 BC，AC，A

11、B上的点， DEAC，EFAB，FDBC，则 DEF 的面积与 ABC 的面积之比等于1：3 9考点 ：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 1418944分析：首先根据题意求得： DFE=FED=EDF=60，即可证得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF： AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答：解： ABC 是正三角形， B=C=A=60，DEAC，EFAB，FDBC， AFE=CED=BDF=90， BFD=CDE=AEF=30， DFE=FED=EDF=60， DEF是正

12、三角形， BD： DF=1：， BD：AB=1：3，DEF ABC，=， DF： AB=1：， DEF的面积与 ABC 的面积之比等于1： 3故答案为： 1： 3三解答题（共15 小题）104在 ABC中， AD是 BAC的平分线， E、 F 分别为 AB、 AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF考点 ：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义1418944分析：过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED=CFD，根据全等三角形的判定AAS推出 EMD FND 即可解答：证明：过D 作 DMAB，于 M

13、，DNAC 于 N，即 EMD=FND=90，AD平分 BAC，DMAB，DNAC， DM=DN（角平分线性质） ，DME=DNF=90， EAF+EDF=180， MED+AFD=360 180=180， AFD+NFD=180， MED=NFD，在 EMD和 FND中， EMD FND， DE=DF5在 ABC中， ABC、 ACB 的平分线相交于点 O，过点 O作 DEBC，分别交 AB、 AC于点 D、 E请说明 DE=BD+EC11考点 ：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质1418944分析：根据 OB和 OC分别平分 ABC 和 ACB，和 DEBC，利用两直线平行，内错角相等和

14、等量代换，求证出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在 ABC 中， OB和 OC分别平分 ABC 和 ACB， DBO=OBC， ECO=OCB，DEBC， DOB=OBC=DBO， EOC=OCB=ECO，DB=DO， OE=EC， DE=DO+OE， DE=BD+EC6已知：如图， D 是 ABC的 BC边上的中点， DEAB，DFAC，垂足分别为 E， F，且 DE=DF请判断 ABC 是什么三角形？并说明理由考点 ：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质1418944分析：用（ HL）证明 EBD FCD，从而得出 EBD=FCD，即可证明ABC是等腰三角形解答：ABC

15、是等腰三角形12证明：连接AD， DEAB，DFAC， BED=CFD=90，且DE=DF，D是 ABC的 BC边上的中点， BD=DC，RtEBDRtFCD（ HL）， EBD=FCD， ABC 是等腰三角形7如图，ABC是等边三角形， BD是 AC边上的高，延长 BC至 E，使 CE=CD连接 DE（ 1）E等于多少度？（2） DBE是什么三角形？为什么？考点 ：等边三角形的性质；等腰三角形的判定1418944分析：（ 1）由题意可推出 ACB=60， E=CDE，然后根据三角形外角的性质可知： ACB=E+CDE，即可推出E的度数；（ 2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为 AC边上的

16、高，也是ABC的角平分线，即得： DBC=30，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出 DBE 是等腰三角形解答：解：（ 1） ABC是等边三角形， ACB=60，13CD=CE， E=CDE， ACB=E+CDE，（ 2） ABC是等边三角形， BDAC， ABC=60， E=30， DBC=E， DBE 是等腰三角形8如图，在 ABC 中， ACB=90， CD是 AB边上的高， A=30求证：AB=4BD考点 ：含 30 度角的直角三角形1418944分析：由 ABC中， ACB=90， A=30可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明解答：解： ACB=90， A=3

17、0， AB=2BC， B=60又 CDAB， DCB=30， BC=2BD AB=2BC=4BD9如图， ABC中， AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE，DE与 BC相交于点 F求证： DF=EF14考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：过 D 点作 DGAE 交 BC于 G点，由平行线的性质得 1=2，4=3，再根据等腰三角形的性质可得B=2，则 B=1，于是有 DB=DG，根据全等三角形的判定易得DFG EFC，即可得到结论解答：证明：过 D 点作 DGAE 交 BC于 G点，如图， 1=2， 4=3，AB=AC， B=2，

18、B=1， DB=DG，而BD=CE， DG=CE，在 DFG和 EFC中， DFG EFC， DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B 的角平分线交AC于 D，过 C作 CE与 BD垂直且交 BD延长线于 E，求证： BD=2CE考点 ：全等三角形的判定与性质1418944分析：延长 CE，BA交于一点 F，由已知条件可证得 BFE 全 BEC，所15以 FE=EC，即 CF=2CE，再通过证明 ADB FAC 可得 FC=BD，所以 BD=2CE解答：证明：如图，分别延长CE， BA交于一点 FBEEC， FEB=CEB=90， BE平分 ABC， FBE=CBE，又 BE=BE

19、， BFE BCE （ ASA） FE=CE CF=2CEAB=AC， BAC=90， ABD+ADB=90， ADB=EDC， ABD+EDC=90又 DEC=90， EDC+ECD=90， FCA=DBC=ABD ADB AFC FC=DB， BD=2EC11（2012?牡丹江）如图， ABC中AB=AC，P 为底边 BC上一点， PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、 F、 H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，S ABP= AB?PE， SACP= AC?PF， SABC= AB?CH又S ABP+SACP=SABC，AB?PE+ AC

20、?PF= AB?CHAB=AC， PE+PF=CH（ 1）如图， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：16（ 2）填空：若 A=30， ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB边上的高 CH= 7 点 P 到 AB边的距离 PE= 4 或 10 考点 ：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：（ 1）连接 AP先根据三角形的面积公式分别表示出SABP，SACP，SABC，再由 SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（ 2）先根据直

21、角三角形的性质得出AC=2CH，再由 ABC的面积为49，求出 CH=7，由于 CHPF，则可分两种情况进行讨论：P为底边 BC上一点，运用结论PE+PF=CH；P为 BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解答：解：（ 1）如图， PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，S ABP= AB?PE， SACP= AC?PF，SABC= AB?CH，SABP=SACP+SABC，AB?PE= AC?PF+ AB?CH，又 AB=AC，PE=PF+CH；（ 2）在 ACH中， A=30， AC=2CHSABC=AB?CH， AB=AC，2CH?CH=49， CH=7分两种情况：

22、17P为底边 BC上一点，如图PE+PF=CH， PE=CH PF=7 3=4；P为 BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH， PE=3+7=10故答案为7； 4 或 1012数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点 E 在 AB上，点 D 在 CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与 DB的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB的中点时，如图 1，确定线段 AE与 DB的大小关系，请你直接写出结论： AE = DB（填“”，“”或“ =”） （ 2）特例启发，解答题目解：题目中， AE与 DB

23、的大小关系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点 E 作 EFBC，交 AC于点 F（请你完成以下解答过程）（ 3）拓展结论，设计新题18在等边三角形 ABC中，点 E 在直线 AB上，点 D 在直线 BC上，且 ED=EC若ABC的边长为 1，AE=2，求 CD的长（请你直接写出结果）考点 ：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：（ 1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30，求出 DEB=30，求出BD=BE即可；（ 2）过 E 作 EFBC 交 AC于 F，求出等边三角形AEF，证 D

24、EB和 ECF全等，求出BD=EF即可；（ 3）当 D 在 CB的延长线上， E 在 AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当 E 在 BA的延长线上， D 在 BC的延长线上时，求出CD=1解答：解：（ 1）故答案为： =（ 2）过 E 作 EFBC 交 AC于 F，等边三角形 ABC， ABC=ACB=A=60， AB=AC=BC， AEF=ABC=60， AFE=ACB=60，即AEF=AFE=A=60， AEF 是等边三角形， AE=EF=AF， ABC=ACB=AFE=60， DBE=EFC=120，D+BED=FCE+ECD=60，19DE=EC， D=ECD， BED=ECF，

25、在 DEB和 ECF中， DEB ECF， BD=EF=AE，即 AE=BD，故答案为：=（ 3）解： CD=1或 3，理由是：分为两种情况：如图1过 A 作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AMEM， ABC是等边三角形， AB=BC=AC=1，AMBC， BM=CM=BC= ， DE=CE，ENBC， CD=2CN，AMEN， AMB ENB，=，=，BN= ，CN=1+ = ， CD=2CN=3；如图 2，作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AMEM， ABC是等边三角形， AB=BC=AC=1，AMBC， BM=CM=BC= ， DE=CE，EN

26、BC， CD=2CN，20AMEN，=，=， MN=1， CN=1= ， CD=2CN=113已知：如图， AF 平分 BAC，BCAF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA，点 P 在 CF上，连接 PB交 AF 于点 M若 BAC=2MPC，请你判断F 与 MCD 的数量关系，并说明理由考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出 CDA=CAD=CPM，求出 MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在 DCM 和 PMF中根据三角形的内角和定理求出即可解答：解： F=MCD，理由是：

27、AF 平分 BAC，BCAF， CAE=BAE，AEC=AEB=90，在 ACE和 ABE中， ACE ABE（ ASA） AB=AC，21 CAE=CDEAM 是 BC的垂直平分线， CM=BM， CE=BE， CMA=BMA，AE=ED，CEAD， AC=CD， CAD=CDA， BAC=2MPC，又 BAC=2CAD， MPC=CAD， MPC=CDA， MPF=CDM， MPF=CDM（等角的补角相等）， DCM+CMD+CDM=180， F+MPF+PMF=180，又 PMF=BMA=CMD， MCD=F14如图， 已知 ABC是等边三角形， 点 D、E 分别在 BC、AC边上，且

28、AE=CD，AD与 BE相交于点 F（ 1）线段 AD与 BE有什么关系？试证明你的结论（ 2）求 BFD的度数考点 ：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质1418944分析：（ 1）根据等边三角形的性质可知BAC=C=60，AB=CA，结合AE=CD，可证明 ABE CAD，从而证得结论；（ 2）根据 BFD=ABE+BAD， ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60解答：（ 1）证明： ABC 为等边三角形， BAC=C=60，AB=CA在 ABE和 CAD中，22 ABE CADAD=BE（ 2）解： BFD=ABE+BAD，又 ABE CAD， ABE=CAD BF

29、D=CAD+BAD=BAC=6015如图，在 ABC 中， AB=BC， ABC=90， F 为 AB延长线上一点，点E在 BC上， BE=BF，连接 AE、 EF 和 CF，求证： AE=CF考点 ：全等三角形的判定与性质1418944分析：根据已知利用SAS即可判定 ABE CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF解答：证明： ABC=90， ABE=CBF=90，又 AB=BC， BE=BF， ABE CBF（ SAS） AE=CF16已知：如图，在 OAB中，AOB=90， OA=OB，在 EOF中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、 BF问线段 AE与 BF 之间有什

30、么关系？请说明理由23考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1418944分析：可以把要证明相等的线段AE，CF 放到 AEO， BFO 中考虑全等的条件， 由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去 BOE 的结果，当然相等了，由此可以证明 AEO BFO；延长BF 交 AE于 D，交 OA于 C，可证明BDA=AOB=90，则 AEBF解答：解： AE与 BF 相等且垂直，理由：在 AEO 与 BFO中，RtOAB 与 RtOEF等腰直角三角形， AO=OB， OE=OF，AOE=90 BOE=BOF， AEO BFO， AE=BF延长 BF 交 AE于 D，交 OA于 C，则 ACD=BCO，由（ 1）知 OAE=OBF， BDA=AOB=90， AEBF2417（ 2006?郴州）如图，在 ABC 中， AB=AC， D是 BC上任意一点，过D分别向 AB， AC引垂线，垂足分别为E， F，CG是 AB边上的高（ 1） DE，DF， CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（ 2）若 D 在底边的延长线上， （ 1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由考点 ：等腰三角形的性质1418944分析：（ 1）连接