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1、精诚凝聚=_=成就梦想课时作业 ( 三十七 )第 37 讲空间几何体的表面积和体积时间： 45 分钟分值： 100 分 基础热身1 2010 辽宁卷 已知 S， A， B，C 是球 O 表面上的点， SA平面 ABC，AB BC，SAAB 1， BC2，则球 O 的表面积等于 ()A 4 B 3C 2 D 2已知几何体的三视图如图K37 1 所示，则该几何体的表面积为()A 80 7 B967C 96 8 D9693一个空间几何体的三视图及其尺寸如图K37 2 所示，则该空间几何体的体积是()14 7 A. 3 B.3C 14D 74某品牌香水瓶的三视图如图K37 3(单位： cm)，则该几何
2、体的表面积为() 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想图 K37 3cm2cm2A. 952B. 942cm2cm2C. 942D. 952能力提升5已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图K37 4 所示，则这个四棱锥的体积是 ()A 1B 2C3D46一个棱锥的三视图如图K37 5，则该棱锥的全面积为()A 48 122B48242C 36 122D362427 2010 安徽卷 一个几何体的三视图如图K37 6，该几何体的表面积为() 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想图 K37 6A 280B292C360D 3728某三棱锥的左视图和俯视图如图K37 7
3、所示，则该三棱锥的体积为()图 K37 7A 4 3B83C123D 2439如图 K37 8(单位： cm)，将图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为 (单位： cm3)()图 K37 8140160A 40 B. 3C50 D. 310一个底面半径为 1，高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分，如图K37 9，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为 1，则截下部分的体积是 _图 K37 911若某几何体的三视图(单位：cm)如图 K37 10 所示，则此几何体的体积是_cm3.图 K37 1012表面积为定值S 的正四棱柱体积的最大值为_ 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=
4、成就梦想13在三棱柱 ABC A B C中，点 P，Q 分别在棱 BB，CC上，且 BP 2PB，CQ 3QC，若三棱柱的体积为 V，则四棱锥 ABPQC 的体积是 _14 (10 分 )如图 K37 11 所示的 OAB 绕 x 轴和 y 轴各旋转一周，分别求出所得几何体的表面积图 K37 1115 (13 分 )如图 K37 12(1) ，在直角梯形中 (图中数字表示线段的长度 )， CD AF，将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起，使平面 DCEF 平面 ABCD ，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图 K37 12(2)(1) 求证： BE平面 ADF ；(2) 求三棱锥 F BCE
5、 的体积图 K37 12难点突破16 (1)(6 分 )2011 哈尔滨九中二模 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点P，从直线 l 出发的两个半平面， 截球的两截面圆的半径分别为1 和3，二面角 l的平面角为 150，则球 O 的表面积为 ()A 4 B 16C 28 D112 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想(2)(6 分 )已知正方体ABCD A1B1C1D1，则四面体C1 A1BD 在平面 ABCD 上的正投影的面积和该四面体的表面积之比是()A. 3B.333C 23D. 6课时作业 ( 三十七 )【基础热身】1 A解析 S、A、 B、C 四点可以构成一个三棱锥的
6、顶点，且SA平面 ABC， AB BC，于是我们把三棱锥补成一个长方体，从而球O 是这个长方体的外接球，其直径2R12 122 2 2， R 1，球 O 的表面积等于 4，选 A.2C解析 这个空间几何体上半部分是底面半径为1，高为 4 的圆柱，下半部分是棱长为 4 的正方体，故其全面积是2 1 412 6 4 4 12968.故选 C.3 A解析 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的1高是 2，上底面是边长为 1 的正方形，下底面是边长为2 的正方形，故其体积 V 3(1212 22 2214) 2 3 .4 C解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱
7、、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为2 3 3121430 4；中间部分的表面积为1221 ，下面部分的表面积为24 4 162464 4.故其表面积是 942.【能力提升】5 B解析 这个四棱锥的高是134 3，底面积是 22 2，故其体积为13 2 3 2.故选 B.6 A解析 根据给出的三视图，这个三棱锥是一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面的三棱锥，其直观图如图所示，其中PD平面 ABC， D 为 BC 中点， AB AC，过 D 作 ED AB 于 E，连接 PE，由于 AB PD， ABDE ，故 ABPE， PE 即为 PAB 的底边 AB 上的高在 Rt PDE 中，
8、 PE 5，侧面 PAB，PAC 面积相等，故这个三111棱锥的全面积是2 2652 6 626 2 4 48 122.7 C解析 由题中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分别是8,10,2 的长方体，上面竖着的是一个长、宽、高分别为6、 2、8 的长方体，那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S2(8 10 8 2 102) 2(68 2 8) 360.8 A解析 根据三视图可知，在这个三棱锥中其左视图的高就是三棱锥的高、俯视图的面积就是三棱锥的底面积，其中俯视图的宽度和左视图的宽度相等，所以左视图的底边长是 2，由此得左视图的高
9、为2 3，此即为三棱锥的高；俯视图的面积为6，此即为1三棱锥的底面积所以所求的三棱锥的体积是3 6 23 4 3. 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想44116V 圆台 3 22 22 52 52 52，V 半球 3 2323 .16140所以，旋转体的体积为 V 圆台 V 半球 52 3 3 (cm3)3 解析 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可10. 23，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的以把它补成如图所示的圆柱，这个圆柱的高是132 倍，故所求的几何体的体积是 2 12 32 .11144 解析 该空间几何体为一四棱柱和一四棱台组成的，四棱柱的长
10、宽都为4，高为 2，体积为 4 4 232，四棱台的上下底面分别为边长为4 和 8 的正方形，高为3，所以体积为 1 3(42 428282) 112，所以该几何体的体积为32 112 144.3S 6S12. 36解析 设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，则该正四棱柱的表面积为 2a2S 2a2114ahS，即 h 4a，体积为Va2h4a(S 2a2) 4(Sa 2a3 )，1则 V4(S 6a2) SSSS令 V0 得 a6，且当0a0，当 a6时，V0，故当 a6S6S时， V 取极大值，由于这个极值唯一故也是最大值，此时hS 2a2S36S，4a64S66S 6S体积的最大值是 3
11、6 .1713.36V解析 四棱锥 ABPQC 与四棱锥 A BB C C 具有相同的高，故其体积23之比等于其底面积之比，由 BP 2PB， CQ 3QC得 BP 3BB， CQ4CC，设平行四边形 BB C C 的高为 h，则其面积 SCCh，1 23171717则梯形BPQC 的面积等于 2 3BB4CC h24CCh24S，故 VA BPQC 24VABBCC.1217217而 VABB C CV VA A B C V3V3V，故 VA BPQC243V36V.14 解答 绕 x 轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2,3，高为3 的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为 3
12、 的圆锥，如图 (1)，其表面积是圆台的半径为2 的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想圆台的母线长是10，圆锥的母线长是3 2，故其表面积S1 22 (2 3) 10332 (4 5 10 9 2).绕 y 轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥，如图 (2)，此时大圆锥的底面半径为 3，母线长为 3 2，小圆锥的底面半径为 3，母线长为 10，这个空间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，故 S2 332 310(92 310).115 解答 (1) 证法一：取 DF 中点 G，连接 AG(如图 )， DG 2DF ，
13、1 CE2DF ， CE DF ， EGCD 且 EGCD .又 AB CD 且 ABCD ， EG AB 且 EGAB，四边形 ABEG 为平行四边形， BEAG. BE?平面 ADF， AG? 平面 ADF ， BE平面 ADF .证法二：由图 (1) 可知 BCAD ， CEDF ，折叠之后平行关系不变， BC?平面 ADF ， AD? 平面 ADF ， BC平面 ADF ，同理 CE平面 ADF ， BCCE C，BC， CE? 平面 BCE，平面 BCE平面 ADF . BE? 平面 BCE， BE平面 ADF .(2) 方法一： VFBCE VB CEF，由图 (1)可知 BCCD
14、，平面 DCEF 平面 ABCD，平面 DCEF 平面 ABCD CD ，BC? 平面 ABCD， BC平面 DCEF ，由图 (1)可知 DC CE1，S CEF 12CEDC 12.11 VFBCE VB CEF 3BCS CEF 6.方法二：由图 (1) 可知 CDBC， CD CE， BC CEC， CD平面 BCE. DF DC ，点 F 到平面 BCE 的距离等于点D 到平面 BCE 的距离为 1，由图 (1)可知 BC CE 1， S BCE112BCCE2，11 VFBCE 3CDS BCE 6.方法三：过E 作 EH FC，垂足为 H，由图 (1)可知 BC CD，平面 DC
15、EF 平面ABCD，平面 DCEF 平面 ABCD CD， BC? 平面 ABCD， BC平面 DCEF ， 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想 EH? 平面 DCEF ， BCEH ， EH 平面 BCF.由 BCFC ， FC DC2 DF 215，在 CEF 中，由等面积法可得EH 1 ，5， S BCF2BCCF2511 VFBCE VE BCF 3EHS BCF 6.【难点突破】16 (1)D(2)D 解析 (1) 过两截面圆心和球心作球的截面，如图，设OO1h1，OO2222 h ，则 h1h3，根据余弦定理 h h 2h h cos30 1 32 1 3cos150 22121212 7，消掉 h1得方程 2h23h22422222225h 2，两端平方整理得h 26h 250，解得 h 1(舍去 ) ，或 h2225，即 h2 5，所以球的半径r 3 2528，故球的表面积是4r2112.(2) 根据正投影的概念， 结合图形知四面体在底面上的正投影就是正方形ABCD，设该正方体的棱长为 1，则这个投影的面积就是 1，四面体的四个面都是边长为2的正三角形，故其表面积是4 43 (2)2 2 3，故所求的比值为123 63.正确选项 D. 点亮心灯/(v)照亮人生 精诚凝聚=_=成就梦想 点亮心灯/(v)照亮人生