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1、高中数学必修 4 知识点总结第一章：三角函数 1.1.1 、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念 .2、 与角终边相同的角的集合：2k , kZ . 1.1.2 、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 .2、l.r3n RR .、弧长公式 ： l1804、扇形面积公式 ： Sn R 21 lR .3602 1.2.1 、任意角的三角函数1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yP x, y ，那么： siny, cosx, tanx2、 设点 A x , y 为角终边上任意一点，那么： （设 rx2y2 ）siny， cosxyxr， tanx， cotry
2、yPT3、sin ， cos， tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： ATOM A x4、 特殊角 0 ，30 ，45 ，60 ，90 ，180 ，270 等的三角函数值 .023324234263sincostan 1.2.2 、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系 ： sin 2cos21.2、 商数关系 ： tansin.cos- 1 -3、 倒数关系：tancot1 1.3 、三角函数的诱导公式（概括为 “奇变偶不变，符号看象限”kZ ）sin2ksin,1、 诱导公式一 ： cos2kcos, （其中： kZ ）tan2ktan .2
3、、 诱导公式二 ：3、诱导公式三 ：4、诱导公式四 ：5、诱导公式五 ：sinsin,coscos,tantan .sinsin,coscos ,tantan .sinsin,coscos,tantan .sincos,2cossin .2sincos ,6、诱导公式六 ：2cossin .2 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinxy-5-2 12-4 -7-3-2 -3-o22-1y=cosxy-3-5-212-o-4 -7-2 -322-1372225 34 x2233722x254222、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最
4、大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用 五点法作图 .- 2 -y sin x 在 x0, 2 上的五个关键点为：（ ，）（，）（， ，）（，3，）（，）.0 010-1 2022 1.4.3 、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：yy=tanx3-o3-2222x2、记住余切函数的图象：yy=cotx-2o32x223、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义 ：对于函数 f x ，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f xTf x ，那么函数 f x 就叫做周期函数，非零常数T
5、 叫做这个函数的周期 .- 3 -图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysin xycos xytan x图象定义域RR x | xk, k Z2值域-1,1-1,1Rx2k, kZ时， ymax1x2k, k Z时， ymax 1最值2无x2k, kZ时， ymin1x2k, kZ时， ymin12周期性T2T2T奇偶性奇偶奇在 2 k, 2k 上单调递增在 2 k,2 k 上单调递增单调性22在 (k, k) 上单调递增k Z在 2 k,2k3在 2 k,2 k22 上单调递减 上单调递减22对称性对称轴方程：xk对称轴方程： xk无对称轴kk Z2对称中心 (k, 0)对称中心
6、(对称中心 ( k,0), 0)22 1.5 、函数 yA sinx的图象1、对于函数：y Asin xBA 0,0有：振幅A2，初相，相位x，频率f T 2 .，周期 T12、能够讲出函数y sin x 的图象与y AsinxB 的图象之间的平移伸缩变换关系 .先平移后伸缩：ysin x 平移 | 个单位ysin x（左加右减）横坐标不变yAsin x纵坐标变为原来的A 倍4纵坐标不变yAsinx横坐标变为原来的|1|倍平移 | B| 个单位yAsinxB（上加下减）先伸缩后平移：ysin x横坐标不变yAsin x纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变yAsinx横坐标变为原来的|1|倍平移个单
7、位（左加右减）平移 | B| 个单位yAsinxyAsinxB（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 ysin(x) ，x R 及函数 ycos(x) ， xR(A,为常数，且2；A 0) 的周期 T|函数ytan(x)，x k,kZ (A,为常数，且0)的周期T.2A| |对于 yAsin(x) 和 yAcos(x) 来说， 对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数 yA sin(x) 图像的对称轴与对称中心，只需令 xk( kZ ) 与xk(kZ )2解出 x 即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征： Aymax ymin
8、， Bymax ymin .22要根据周期来求 ,要用图像的关键点来求 . 1.6 、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题 .第三章、三角恒等变换 3.1.1 、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：sincostan62622312443.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式51、 sinsincoscossin2、 sinsincoscossin3、 coscoscossinsin4、 coscoscossinsin5、 tantantan.1 tantan6、 tantantan.1 tantan 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、 sin 22sincos，
9、变形 ：1sincos2 sin 2 .2、 cos2cos2sin 22cos2112 sin 2.变形如下：升幂公式：1cos22cos 21cos22sin 2cos21(1cos2)降幂公式：2sin 21(1cos 2)23、 tan22 tan.1tan24、 tansin 21cos21cos 2sin 2 3.2 、简单的三角恒等变换1、 注意 正切化弦、平方降次.2、辅助角公式y a sin xb cosxa 2b 2 sin(x )（其中辅助角所在象限由点 (a, b) 的象限决定 , tanb).a第二章：平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：
10、力、位移、速度、加速度 .2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2、向量的几何表示61、 带有方向的线段叫做有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量 AB 的大小，也就是向量uuurAB 的长度（或称 模），记作 AB ；长度为零的向量叫做零向量 ；长度等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 .3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）. 规定：零向量与任意向量平行 . 2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、 ab ab .
11、2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量 .2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 . 记作：a ，它的长度和方向规定如下：aa ,当0 时 ,a 的方向与 a 的方向相同；当0 时 ,a 的方向与 a 的方向相反 .2、 平面向量共线定理：向量 a a0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba . 2.3.1 、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向
12、量a ，7有且只有一对实数1 ,2 ，使 a 1 e1 2 e2 . 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 axiy jx, y . 2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设 ax1 , y1,bx2 , y2 ，则： a bx1x2 , y1y2 ， a bx1x2 , y1y2 ， ax1 , y1 ， a / bx1 y2x2 y1 .2、 设 A x1 , y1 , B x2 , y2，则：ABx2x1 , y2y1 . 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设 A x1, y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3，则线段 AB中点坐标为x12x2 ,y12y2 ，
13、 ABC的重心坐标为x1 x2 x3,y1 y2y3.332.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义1、a ba b cos.2、a 在 b 方向上的投影为：a cos.3、 a22a .a24、a .5、aba b 0.2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设 ax1 , y1,b x2 , y2 ，则： a b x1 x2y1 y2 ax12y128rrrr a ba b 0x1x2y1 y20rrrr a / /babx1 y2x2 y102、 设 A x1 , y1, B x2 , y2 ，则：ABx2x12y2y12.3、 两向量的夹角公式rrcosa bx1x2y
14、1 y2rrx12y12x22y22a b4、点的平移公式uuur平移前的点为P( x, y) （原坐标），平移后的对应点为P ( x , y ) （新坐标），平移向量为PP( h,k ) ，xxh则yyk.r函数 yf ( x) 的图像按向量a(h, k ) 平移后的图像的解析式为ykf ( xh). 2.5.1 、平面几何中的向量方法 2.5.2 、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 . 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳 .1、 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 A 、B 是直线 l 上的任意两点，则uu
15、uruuurAB 为直线 l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量 .平面的法向量：rrrr若向量 n 所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n，如果 n，那么向量 n叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（ 待定系数法） ： 建立适当的坐标系r( x, y, z) 设平面 的法向量为 nrur求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1, a2 , a3 ), b(b1 , b2 ,b3 ) rr0n a根据法向量定义建立方程组rr.n b0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 .9（如图）2、用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行rrr rrrR
16、)设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a、 ，则要证明l1 l 2，只需证明 a b ，即 akb( k.b即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线 . 线面平行rrrrr r（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是u ，则要证明 l ，只需证明 au ，即 a u 0 .即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 . 面面平行rrrrrr若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证，只需证 u v ，即证 uv .即：两平面平行或重合两平面的法向量
17、共线 .3、 用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直rrr rrr0设直线l1 ,l 2 的方向向量分别是a、 ，则要证明l1 l2，只需证明 ab，即 a b.b即：两直线垂直两直线的方向向量垂直 . 线面垂直rrrrrr（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，则要证明 l，只需证明 a u ，即 au .ruruurrur0（法二）设直线 lam,则 l.的方向向量是 a ，平面内的两个相交向量分别为m 、n，若rr0an即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直 . 面面垂直rrrrrr0若平面的法向量为
18、u ，平面的法向量为 v ，要证，只需证 uv ，即证 u v.即：两平面垂直两平面的法向量垂直 .4、 利用向量求空间角 求异面直线所成的角已知 a, b 为两异面直线，A ， C 与 B ，D 分别是 a, b 上的任意两点，a,b 所成的角为，10uuur uuurAC BD则 cosuuur uuur .AC BD 求直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角rrr r求法： 设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 u ，直线与平面所成的角为，a 与 u 的夹角为，则为的余角或的补角的余角 .即有：r rsincosa
19、ur .a u 求二面角 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二 面 角 的 平 面 角 是 指 在 二 面 角lAOl , BOl ，则AOB 为二面角l如图：的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线的平面角 .l的两个半平面的法向量分别为ur rur r求法： 设二面角m 、n ，再设 m 、n 的夹角为，二面角urr.、的夹角或其补角l的平面角为，则二面角为 mn根据具体图形确定是锐角或是钝角：ur rm n如果是锐角，则 coscosur r ，m nu
20、rrm n即arccos urr；m nurr是钝角，则 coscosm n 如果urr ，m nurrm n即arccosurr .m n5、 利用法向量求空间距离 点 Q到直线 l 距离rr uuur若 Q为直线 l 外的一点 , P在直线 l 上， a 为直线 l 的方向向量， b = PQ ，则点 Q到直线 l 距离为h1rr2rr2r(| a |b |)(ab )| a |点 A 到平面的距离11若点 P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，ruuurr平面的法向量为 n ，则 P 到平面的距离就等于MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.uuurr uuuur即 d MP cos
21、 n, MPr uuur uuur n MP MP r uuur n MPr uuur n MPrn 直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知， 直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.r uuur n MP即 dr.n 两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.r uuur n MP即 dr .n异面直线间的距离ra, b 都垂直， Muuurr设向量 n 与两异面直线a, P b, 则两异面直线 a,b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向上投影的绝对
22、值 .uuurrnMP即 dr .n6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PO,O推理模式：PA IAaPAa, aOAP概括为：垂直于射影就垂直于斜线.OA三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一a条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直12PO,O推理模式：PA IAaAOa, aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线， AD是的一条斜线 AB 在 内的射影，且 BD AD，垂足为 D.设 AB与(AD) 所成的角为1 ， AD 与 AC所成的角为2 ， AB 与 AC所成的角为 则 coscos 1 cos 2 .BA1D8、 面2积射影定理C已知平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面内的射影图形的面积为S S射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cosSS射S=.S原9、一个结论长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、 l2、 l3 ，夹角分别为 1、2、 3, 则有l22222221222l1l2l3cos 1cos 2cos 3sin 1sin2 sin 3 2 .（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.13