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1、简谐运动单元知识总结一、知识归纳1. 机械振动（ 1）机械振动概念：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动。产生条件：回复力（离开平衡位置受到指向平衡位置的力，是效果力，类似于向心力，下滑力）阻力很小。（ 2）描述振动的物理量位移 x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量。振幅 A：振动物体离开平衡位置的最大距离，标量，表示振动的强弱。周期 T 和频率 f ：物体完成一次全振动所需的时间叫周期；单位时间内完成全振动的次数叫频率。它们都可表示振动的快慢。当 T 和 f 是由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有周期和固有频率。2. 简谐运动（ 1）简谐运动的
2、特征：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。受力特征：回复力运动特征：加速度，方向与位移方向相反，总是指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征。振动能量：对于两种典型的简谐运动 单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。（弹簧振子的周期公式为）（ 2）单摆单摆的周期公式：（偏角 5）其中摆长L 指悬点到小球重心的距离，g 为当地重力加速度，从公式可以看出，单摆的简谐运动的周期与振幅无关（等时性），与摆球的质量也
3、无关。单摆的应用：a. 计时器；b. 测重力加速度（ 3）简谐运动的图象如图 1 所示为一弹簧振子的位移随时间变化的规律，其形状为正弦曲线。根据简谐运动的规律，利用该图象可以得出以下判定：a. 振幅 A，周期 T 以及各时刻振子的位置；b. 各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向；c. 某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况；d. 某段时间内振子的路程。3. 受迫振动和共振（ 1）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关。（ 2）共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其
4、振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。二、思维拓展1. 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的形式无任何关系，如果一弹簧振子做简谐运动的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，只要还是该振子，那么它的周期就还是T。2.单摆的周期公式是惠更斯从实验中总结出来的。单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度越大。由于摆球的轨迹是弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在某些振动系统中，L 不一定是绳长，g 也不一定为，因此出现了等效摆长和
5、等效重力加速度的问题。（ 1）等效摆长：在图2 中，三根等长的绳共系住一密度均匀的小球m，球直径为与天花板的夹角。若摆球在纸面内作小角度的左右摆动，周期；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期。（ 2）等效重力加速度：公式中的g 由单摆所在的空间位置决定。a.由知， g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值 g”代入公式，即g 不一定等于。b. g 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值，
6、再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值，所以周期为无穷大，即不摆动。c. g还由单摆所处的物理环境决定。三、综合运用振动问题的往复性要求思维具有多向性。如图 3 所示，光滑圆弧槽半径为 R， A 为最低点， C 到 A 的距离远小于 R，两质点小球 B 和 C 都由静止开始释放，要使 B 和 C 两球在 A 点相遇，问 B 到 A点距离 H 应满足什么条件？分析：由题意知C 做简谐运动，B 做自由落体运动，C、 B 相遇必在A 点，而C 从开始释放至到达A 点，经历的时间，（ n 1、 2、 3）B 到达 A 点经历的时间：B 到达 A 点经历的时间：因为相遇
7、时，所以由 有：（ n 1、2、 3）【本章知识结构】【规律方法总结】( 一 ) 理想化方法在观察、实验材料和经验定律的基础上，运用抽象和想象的方法形成基本概念，建立理想化模型或设计抽象实验的方法理想化模型是对客观世界的近似反映，突出了原来实体中某些主要的功能和性质，把握了主要矛盾，因而具有认识上的抽象性和应用上的广泛性建立理想化模型在物理学上有着特别重要的意义.本章弹簧振子、单摆是理想化模型，弹簧振子的振动和单摆的摆动是理想化的运动过程希望同学们能在学习过程中体会并逐渐掌握理想化的科学思维方法，培养自己的概括抽象能力( 二 ) 图像法物理图像可将抽象的物理规律形象地表述出来，用它既能反映某些
8、物理状态变化的过程，又可将变化过程中的某一暂态“定格”，便于进行分析此外，图像还是一种整理实验数据、探索物理规律的好方法本章简谐运动的图像，探究弹簧弹力与形变量的关系，实验中对实验数据的处理都用了图像法如何建立图像、分析图像是同学们应该逐步学会的【典型例题分析】例 1如图 9 37，小球 C 由细绳 AC和 BC共同悬挂着，已知AC长为 L， BC长为 2L，且两悬线与重垂线方向的夹角均为 30，求小球在垂直于纸面方向上做小幅度振动的周期?思路分析小球以 A、B 连线为转动轴运动， 则重力作用线与这条转轴的交点即为等效摆长的固定点( 想一想为什么 ) 这也是许多同学无法作出分析的难点，根据单摆
9、振动周期公式，其余问题不难解决解答如图 937 所示，取 BC中点 D，连结 AD，不难证明 ACD为等边三角形， 则 ADB=120， ADB为等腰三角形， ABD=30 BAC=90，等效摆长 OC 和振动周 T 分别为OCL2 3 Lcos303T223L6.75L3gg点拨 在学习单摆周期公式时同学们一定要很好的理解摆长的定义，这样在今后处理一些类似单摆问题时才能较好的进行模型转化，准确简捷的解决问题例 2 如图 938 所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过 角，若绳长为 L，摆球质量为 m，且风力恒定，则当摆球在平衡位置附近，在纸面内做小角度振动的周期为A T2LL cosB T
10、2ggC T2L sinL(1 cos )D T2gg解析如图 939 所示，摆球在风力作用下处于平衡状态，受到风力F、重力 mg和悬线拉力 FN 作用，由图示不难证明mgFNcos等效重力加速度FNgg cosmL cos单摆周期 T2g答案B点拨 在单摆运动过程中，若同时受到其他恒力的作用，或系统处于加速运动状态，单摆运动的周期均会发生变化，此时如何计算单摆运动的周期 ?可用建立等效重力场的方法简便解决建立等效重力场的具体步骤如下：分析研究对象不振动时的平衡位置；计算在此位置处悬线的拉力F；F计算等效重力加速度g；m代入单摆周期公式中可求出T .例 3如图 9-40 是一弹簧振子的振动图像
11、，已知弹簧劲度系数为k= 50N m，则A 0.13s 时刻振子的运动方向沿负方向B 02.4s 时间内振子所经过的路程为0.96mC 0 2.4s 时间内振子所经过的位移为0D 0.3s 时刻振子所受弹力大小为4N解析 对 A 选项，先在图中横轴上确定 0.13s 时的大致位置，找到对应的运动阶段，用比较法或斜率法可确定振子朝 x 负向运动， A 正确对 B 选项， 2.4s 相当于 6 个周期，所经历路程s4 A64810 26m1.92 m ， B 错误对 C 选项， 2.4s 时刻振子回到平衡位置，相对于平衡位置的位移为零，C正确对 D 选项， 0.3s 时刻，振子位移最大，Fkx50
12、(810 2 )N4N ， D正确答案ACD【难题巧解点拨】( 一 ) 命题回顾与展望从近三年综合考试和以往“ 3+2”考试物理学科本章考试说明可看出，本章尽管涉及知识点不少，但大多都是了解识记类的，高考题也多以选择题的形式出现，难度系数较小主要考查质点振动过程中位移、回复力、加速度、速度、机械能这些物理量之间的关系以及对简谐运动周期性的理解本章单摆的周期公式及应用，振动图像的建立及应用以及共振这三大知识点与生产、生活实际联系较为紧密，按高考的命题走向，同学们应在这三方面做一定的准备1高考题选讲例 1(1990 高考 ) 一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1 ，在地
13、球上走时准确的摆A h h4钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的实际时间为BC 2h D 4h42解析由题给条件知，行星表面的重力加速度g是地球表面重力加速度的1 ，即 gg ，因此由单摆的周期公式44T 2LT 的 2 倍，即 T =2T，所以在行星表面上此钟分可知，摆钟在行星表面摆动周期T 是在地球表面摆动周期g针走一整圈所经历的时间为2h， C 正确答案C例 2一单摆做简谐运动，对摆球所经过的任何一点来说，相继两次经过该点时，摆球的A 速度相同B加速度必相同 C 动量必相同D 动能必相同解析单摆摆球经同一位置时，相对平衡位置的位移相等，因而加速度相同速度大小相同，但方向不同，故选
14、B、D答案BD例 3细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长L 处有一个能挡住摆线的钉子A，如图9 41 所示，现2将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速释放，对于以后的运动，下列说法正确的是A摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍解析分析可求得此单摆的周期 T (LL ) ，而无钉子时 T 2L ，故 A 正确g2gg当不考虑单摆与 A 钉子碰撞时的能量损失，根据单摆摆动过程中机械能守恒，可判断摆球在左右两侧上升的最大高度一样， B 正确由题可得CE L L c
15、osLL cos22整理得 2cosa-cos =1进一步分析可知 C、D 错误 .2理论与实际应用题例 1 从高十多米的实验楼的天花板上挂一个单摆，静止时摆球离地只有几厘米实验者只有一个满刻度为lm 的刻度尺和一块秒表，用上述器材如何设计实验测出当地重力加速度的值和天花板到地面的距离?思路分析这是一个涉及单摆周期的实验，有秒表可以测量不同摆长时的振动周期，而 lm 长的刻度尺不能直接测出十几米的摆长，此时可采用逆向思维的方法，测量距离差，再推算原摆长解答 实验步骤：如图 9-42 让摆球自然下垂， 用刻度尺测出摆球球心到地面的距离h1 ，用秒表测出单摆振动 n 次的时间 t1 ，算出周期T1
16、t1 n缩短摆线长度后让摆球自然下垂，重复步骤的实验，测出距h2 和周期 T2 .求解：根据测量数据计算如下：T1 24 2 L1T2 24 2 L2gg相减得 T12T224 2 h2h1g所以 g 42 h2h1L1gT12T 22 (h2h1 )22422T1T2T1T2天花板到地面的距离HT12T22 ( h2h1 ) h1T12例 2已知某人心电图记录仪的出纸速度( 纸带移动的速度 ) 是 2.5cm s，如图 9-43所示是用此仪器记录下的某人的心电图 ( 图中每个大格的边长为 0.5cm)(1) 由图知此人的心率是_次分，它的心脏每跳动一次所需的时间是_ _s (2) 如果某人的
17、心率是 75 次分， 他的心脏每跳动一次大约输送 8 105 m3 的血液， 他的血压 ( 可看做他的心脏跳动时压送血液的强度 ) 的平均值是1.5 10 4 Pa ，据此估算此人的心脏跳动时做功的平均功率为_解答(1) 某人心电图记录仪的纸带移动速度是2.5cm s，图上记录两次心跳的间距为4 大格，每个大格的边长0.5cm，4 大格的长度为 2cm他的心脏每跳一次所需的时20.8(s) ，人的心率是60t75 次分2.50.8(2) 心脏每跳一次大约输送血液V 810 5 m 3心脏跳动时压送血液的压强平均值是1.5104 Pa心跳一次做功W=pV，心脏跳动时做功的平均功率为p V741.5 1048 10 5751.5(W )6060