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1、_二项式定理【学习目标】1理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【要点梳理】要点一：二项式定理1. 定义一般地 , 对于任意正整数n , 都有：(ab) nCn0a nCn1a n 1bCnr an r brCnn bn ( nN * ) ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(ab) n 的二项展开式。rn rr做二项展开式的通项，用T 表示，即通项为展开式的第rn rr式中的 Cn abr+1 项： Tr 1 Cn ab ，r+1其中的系数 Cnr （ r=0 ， 1， 2， n）叫做二项式系数，2二项式
2、 (a+b) n 的展开式的特点：(1) 项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大1；(2) 二项式系数：第 r+1 项的二项式系数为 C rn ，最大二项式系数项居中；(3) 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n字母 a 降幂排列，次数由n 到 0；字母 b 升幂排列，次数从 0 到 n，每一项中， a， b 次数和均为n；3. 两个常用的二项展开式： (a b)nCn0 anC n1an 1b L ( 1)r Cnr an r brL ( 1)n C nnbn ( n N * ) (1 x)n1 Cn1 x Cn2 x2L C nr xrLxn要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项
3、：Tr 1 Cnr an-r br （ r0,1,2, n ）公式特点：它表示二项展开式的第 r+1项，该项的二项式系数是Cnr ；字母 b 的次数和组合数的上标相同； a 与 b 的次数之和为 n。要点诠释：（ 1）二项式 (a+b) n 的二项展开式的第r+1项 Cnr an r br 和 (b+a) n 的二项展开式的第r+1 项 Cnr bn r ar 是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和 b 是不能随便交换位置的（ 2 ） 通 项 是 针 对 在 (a+b) n这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 ， 如 (a b) n 的 二 项 展 开 式 的 通 项 是Tr 1( 1)
4、r Cnr an r br （只需把 b 看成 b 代入二项式定理） 。要点三：二项式系数及其性质1. 杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261 年所著的详解九章算法如下表，可直观地看出二项式系数。精品资料_(ab) n 展开式中的二项式系数 , 当 n 依次取1,2,3, 时 , 如下表所示 :(ab)1 11(ab) 2 121(ab) 3 1331(ab) 4 146 4 1(ab)515101051(ab)6 1615 20 15 61上表叫做 二项式系数的表 , 也称杨辉三角 ( 在欧洲 , 这个表叫做帕斯卡三角 ), 反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是 1
5、，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b) n 的展开式中 an r br 的系数 Cnr的意义：为了得到(a+b) n 展开式中 an r br的系数，可以考虑在 (a b)(ab)L( ab) 这 n 个括号中取 r 个 b，则这种取法种数为 Cnr，即为 an r br 的1 4 444 2 44 4 43n系数2. (ab)n 的展开式中各项的二项式系数Cn0 、 C n1 、 Cn2 Cnn 具有如下性质：对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C nrC nn r ；增减性与最大值： 二项式系数在前半部分逐渐增大
6、，在后半部分逐渐减小， 在中间取得最大值 . 其中，n当 n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数Cn2最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项n1n1式系数 Cn2， Cn2相等，且最大 .各二项式系数之和为2n ，即 Cn0Cn1Cn2Cn3Cn4LCnn2n ；二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即 Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n 1 。要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别：二项展开式中，第r+1项 Cnr a nr b r 的二项式系数是组合数C nr ，展开式的系数是单项式Cnr an r br 的系数，二者不一定相等。如 (a
7、 b) n 的二项展开式的通项是Tr1(1)r Cnr anr br ，在这里对应项的二项式系数都是Cnr ，但项的系数是 (1)r C nr，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念3. (a bc)n 展开式中 ap bqcr的系数求法（p, q, r 0 的整数且 pqr n ）(a b c) n( a b) c nC nr (a b) n r c rC nr C nqr a n r qb q cr如： (abc)10 展开式中含 a3 b2 c 5 的系数为 C103C 72 C553!10!5!2!要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。要点四
8、：二项式定理的应用1. 求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2. 利用赋值法进行求有关系数和。精品资料_二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a， b，该等式都成立。利用赋值法（即通过对a、 b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设 f (x) (ax b) na0a1 xa2 x2Lan xn(1)令 x=0，则 a0f (0)bn(2)令 x=1，则 a0a1 a2Lanf (1)(ab)n(3)令 x= 1，则 a0a1a2a3 L( 1)n anf ( 1) ( a b)n(4
9、)a0 a2 a4 Lf (1)f (-1)2f (1)- f (-1)(5) a1a3a5L23. 利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证： 32 n 28n9 能被 64 整除（ nN * ）4. 证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去( 缩小 ) ，或把某些负项删去( 放大 ) ，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。(1 x)n1 nx ； (1x)n1 nxn( n 1) x 2 ；（ x 0）2如：求证： 2(11 ) nn【典型例题】类型一、 求二项展开式的特定项或特定项的系数例 1.求 (
10、11 ) 4 的二项式的展开式x【思路点拨】按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号【解析】1411112313144641解一： (1x)1C4(x )C4 (x)C4(x )(x )1xx2x3x4解二： (11)4( 1)4 ( x 1)4( 1)4 x4C41 x3C41 x2C43 x1xxx14641xx2x3x4【总结升华】记准、记熟二项式 (a+b) n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷举一反三：53【变式】求二项式2x的展开式22x5【答案】（ 1）解法一：32x22x023C50 (2 x)53C51
11、(2 x)43C52 (2 x)33C53 (2 x)232x22x22x22x2精品资料_3435C54 (2 x)C552 x22x232 x5120x2180135405243xx48x732x1035(4 x33)5解法二：2x32x102x21 10 C50 (4 x3 )5C51(4 x3) 4 ( 3) C52 (4 x3 )3 ( 3)2C53 (4 x3) 2 ( 3)3C54 (4 x3)( 3) 4C55 ( 3)5 32 x1 10 (1024x153840 x125760 x94320 x6 1620 x3243)32 x18013540524332 x5120x2。
12、xx48x732x10例 2（ 1）求 (12x)7 的展开式的第四项的系数；（ 2）求 (x1 )9 的展开式中 x3 的系数及二项式系数x【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数 n，然后再求展开式中含 x 的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式【解析】（ 1） (12x) 7 的展开式的第四项是T31C73 (2 x)3280x3 ， (1 2x)7 的展开式的第四项的系数是280（ 2） (x1)9的展开式的通项是 Tr1C9r x9 r (1 )r(1)r C9r x9 2r ，xx 92r3 ， r 3， x3的系数 ( 1)3C9384 ， x3的二项式系数
13、 C9384 【总结升华】1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项, 所求的是第几项 , 相应的 r 是多少；2. 注意系数与二项式系数的区别；3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。举一反三：【变式 1】求 ( 2ab) 5 的展开式的第3 项的二项式系数和系数；【答案】 10， 80；C5210T3C52 (2 a)3 b280 a3 b23255【变式2】求 ( xx2)的展开式中 x 的系数；【答案】（ 1） Tr3)5 r(2)r( 2)rr15 5r C 5(x2C5 xr 1x精品资料_依题意 15 5r 5，解得 r 2故 ( 2) 2 C 5r 40
14、 为所求 x5 的系数例 3. （ 1） (2 x2 1 ) 6 的展开式中的常数项；x（ 2）求 (3 x1 ) 15 的展开式中的有理项 .x【思路点拨】常数项就是项的幂指数为0 的项，有理项，就是通项中x 的指数为正整数的项，可以根据二项式定理的通项公式求。【解析】（ 1） Tr2 6-r1 rr6- rr 12 3r C 6(2 x ) () ( 1) 2C 6 xr 1x依题意 12 3r 0，解得 r 4故4221)6 为所求的常数项(C6021305r（ 2）通项 Tr 1( 1)rr(3x)15r(r(1)rrx 6C15)C15x Tr1 为有理项， 3065rZ ,即 r
15、是 6 的倍数 , 又因为0r15, 所以 r =0,6,12故展开式中的有理项为T1(1) 0C150x5x 5, T75005 , T13 420x 5.【总结升华】使二项展开式的某一项为常数项，就是使这一项不含“变元” ，一般采用令变元的指数为零的方法解答这类问题。求有理项是对x 的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求举一反三：【变式】求二项式x212x10的展开式中的常数项及有理项r5rr2 10 r1rx201设二项式的通项为2Tr 1C10( x )xC1022令 205 r0 ，得 r=8 28 T9C108145 。2256令 205 rZ ，即 r=0
16、， 2，4， 6， 8 时， 205 rZ 。22C100 x20 10 T1x20 ，2r，精品资料_2T3C102x15145 x15 ，244TC 4x101105 x10 ，510286T7C106x51105x5 ，2328T9C108x0145 。22561109 项： 45 ；有理项是第1 项：x20，第 3 项： 45二项式 x2x的展开式中的常数项是第x15 ，22564第 5 项： 105 x10 ，第 7 项： 105 x5 ，第 9 项： 45832256类型二、二项式之积及三项式展开问题例 4求 (1 x)2 (1x)5 的展开式中 x 3 的系数 .【思路点拨】将
17、(1x) 2 变形为 1 2xx2 ，要使两个因式的乘积中出现x 3 ，根据式子的结构可以分类讨论：当前一个因式为1 时，后面的应该为x 3 ；当前一个因式为 x 时，后面的应该为 x 2 ；当前一个因式为 x2时，后面的应该为x ；也可以利用通项公式Tr 1 Cnr a n r b r 化简解答。【解析】解法一：(1x) 2 (1 x)5(12xx2 )(1x)5 ，(1x) 5 的通项公式 Tk 1C5k(x) k(1) k C5k x k （ k0,1,2,3,4,5），分三类讨论：（ 1）当前一个因式为1 时，后面的应该为x 3 ，即 T4(1)3 C52 x310x3 ；（ 2）当前
18、一个因式为2x时，后面的应该为x2 ，即 T3(1)2 C52 x210 x2 ；（ 3）当前一个因式为x2 时，后面的应该为x ，即 T2(1)1 C51x15x ；故展开式中 x3 的系数为1021055 。解法二：(1x) 2 的通项公式 Tr 1C2rxr（ r0,1,2 ），(1x) 5 的通项公式 Tk 1C5k(x) k(1) k C5k x k , （ k0,1,2,3,4,5），精品资料_令 k r3, 则 k1 或 k2 或 k3，r2r1r0从而 x 3 的系数为C51C21C52C535 。【总结升华】当多个不同的二项式相加或相乘时，可以依据题意进行恰当的分类或分步计算
19、，也可以直接利用通项公式化简后求解。举一反三：【变式】求 ( x2) 10( x21) 的展开式中x10 的系数；【答案】( x 2) 10 x10 20x9180x8 ( x 2) 10( x21) 的展开式中x10 的系数是 1 180179例 5 求 ( x23x4) 4 的展开式中 x 的系数【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理， ，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开【解析】（法一） (x 23x4)4( x23x)4 4C40 (x2 3x)4 C41 (x2 3x)3 4C42 (
20、x23x) 242C43 (x23x)43C44 44 ，显然，上式中只有第四项中含x 的项，展开式中含 x 的项的系数是C 43 3 43768（法二）： ( x23x4) 4( x1)( x4) 4( x1) 4 ( x4) 4(C 40 x 4C 41 x 3C 42 x2C 43 x C 44 ) (C40x4C41 x3 4 C42 x2 42C43x 43C44 44 )展开式中含 x 的项的系数是C 43 44C 43 43768 【总结升华】有些题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式举一反三：【变式 1】 ( ab
21、c)8的展开式中含 a2 b3c3项的系数是；【答案】 C82 C63C33560【变式 2】在 (x 2+3x+2) 5 的展开式中，求x 的系数【答案】 (x 23x2)5( x 1) 5 ( x2) 5在 (x+1) 5 展开式中，常数项为1，含 x 的项为 C515x ，在 (2+x) 5 展开式中，常数项为25=32，含 x 的项为 C15 24 x80x精品资料_展开式中含x 的项为 1 (80x ) 5x (32)240x ，此展开式中x 的系数为 240类型三、有关二项式系数的性质及计算的问题例 6 已知 ( x22)10x（ 1）求展开式中二项式系数最大的项；（ 2）求展开式
22、中系数最大的项。【思路点拨】利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。Tr 1 C10r ( x2 )10 r (2 ) rC10r 2r20 2 rrC10r 2r205 r【解析】（ 1）展开式的通项：x2x2 ， (r 0,1,2,.,10)x5520252故展开式中二项式系数最大的项为：T62xC10（ 2）设第 r 1项的系数最大，r2rr12r 121,C10C10，化简得r11r，则C10r 2rC10r 1 2r 11210rr1解得 : 19r22， r 7 ，33C107 (x 2 )3 ( 2 ) 75故所求展开式中系数最大的项为：T815360x2x【总结升
23、华】求展开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组TrTr1 。TrTr1举一反三：【变式】求 (12x)12 展开式中系数最大的项。【答案】原式不是(ab) n 的标准二项式，不一定是中间项系数最大。设 Tk 1 项系数最大，有Tk 1系数Tk系数Tk 1系数Tk。2系数C12k 2kC12k 12k 1k26，解得3 。C12k 2kC12k 12k 1k233 k 是非负整数，k=8。第 8 项系数最大，即T9C128 (2 x)8126720 x8 。类型四、利用赋值法进行求有关系数和。精品资料_例 7. 若 (12 x)2004a0a1 xa2 x2La2004 x 2004 ( xR
24、 ) ，则 (a0a1 ) (a0a2 ) ( a0a3 )L(a0a2004 )_（用数字作答）【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】令f ( x) (12x)2004 ，则 f (0)a0 1， f (1)a0a1 L a2004 1，即 (a0a1 ) (a0a2 )(a0a3 )L(a0a2004 )2003a0 (a0a1 a2a3La2004 )2004 【总结升华】赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的举一反三：【变式 1】若 (1xx2 )(1x)5a0 a1xa2 x2La7 x7 ，则 a0a1a7
25、,【答案】 0；令 x1, 得答案0.【变式 2】 已知 Cn02Cn122 Cn223 Cn3L2n Cnn729 ，则 Cn1Cn2C n3L Cnn 等于（）A 63 B 64 C 31 D 32【答案】 逆用二项式定理得：Cn02Cn122 Cn223Cn3L 2n Cnn(12) n3n729 ，所以 n=6，所以 Cn1Cn2Cn3LCnn26C 6064163。故选 A。类型四、二项式定理的综合运用例 8.求证：对任何非负整数n， 33n 26n 1 可被 676 整除。【思路点拨】注意到 262=676， 33n=27n=(26+1) n，用二项展开式去证明【解析】当 n=0
26、时，原式 =0，可被 676 整除当 n=1 时，原式 =0，也可被 676 整除当 n2 时，原式27n26n1(261)n26n 1(26nCn1 26n 1LCnn2 262Cnn 1 26 1) 26 n 126nCn1 26n 1 L Cnn 2 262 每一项都含262 这个因数，故可被262=676 整除综上所述，对一切非负整数n， 33n 26n 1 可被 676 整除【总结升华】此类整除问题（或余数问题）可以用二项式定理证明，证明的关键在于将被除式进行恰当的变形， 使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数举一反三：92【变式】 9除以 100 的余数是.