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1、高三数学训练卷（一）本试卷共150 分考试时间120 分钟一、选择题（本大题共12 小题；每小题5 分，共 60 分）1.以下可以估计总体稳定性的统计量是()A. 样本平均数B. 样本中位数C. 样本方差D.样本最大值2.函数 yx1 ( x0) y 的反函数是()A.y( x1) 2(x0)B.y( x1) 2( x1)C.y(x1) 2( x0)D.y( x1) 2( x1)3.若向量 n 与直线 l 垂直，则称向量n 为直线 l 的法向量 . 直线 x2y 30的一个法向量为()A.(1,2)B. (1,2)C.(2,1)D.(2,1)4.设等差数列 an 的前 n 项的和是 Sn ，且
2、 a 4 a80 ，则()A.S4S5B. S4S5C.S6S5D.S6S55.已知ABC 的三个顶点在同一球面上，BAC90 , ABAC2. 若球心 O 到平面ABC 的距离为 1，则该球的半径为()A.1B.2C.3D.26.当 x(0,) 时，函数 f ( x)1cos2x 3sin 2x()sin x的最小值为A.22B. 3C. 23D. 47.若函数 f (x )sin axcosax(a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A.(, 0)B. (0,0)C.( 1 ,0)D.( 1 , 0)8888.函数 y2|log 2x|()的图像大致是9.“ ab2 ”是“
3、直线 xy0 与圆 ( x a) 2(yb)22 相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数 f (x ) 满足 f (x )f (x ) ，且当 x(, ) 时， f (x)x sin x . 设af (1), bf (2), cf (3) ，则22()A. a b cB. b c aC. c b aD. c a b11. 若 M 是直线 x cosy sin1 0上到原点的距离最近的点，则当在实数范围内变化时，动点 M 的轨迹是()A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆12. 将三种作物种植在如图 5 块试验田里，每块种植一种作物，且
4、同一种作物在相邻的试验田中， 不同的种植方法有()A. 24 种B. 36种C. 42 种D. 48种二、填空题（本大题共6 小题；每小题4 分，共 24 分）13.设集合 A 5,log 2 (a 3) ， B a,b . 若 AB1 ，则 AB.14.设周期为4 的奇函数 f ( x) 的定义域为 R，且当 x4,6) 时， f ( x)2x 2 ，则 f ( 1)的值为.15. 已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点在 y 轴上，它的虚轴长为 2，且焦距是两准线间距离的 2 倍，则该双曲线的方程为.16.设(x 1)na0a1 xa2 x 2an x n (n3, 且 nZ) . 若 a33
5、a2 0，则的值为.17.在ABC 中，若 sin A2，则 tan(A) 的值为.cos A2418.已知 A ( 1,0) ， B(2,1) ， C(1,1) . 若将坐标平面沿x 轴折成直二面角，则折后BAC 的余弦值为.三、解答题（本大题共5 小题 ,共 66 分）19. (本小题满分 12 分 )一位学生每天骑自行车上学， 从他家到学校有5 个交通岗， 假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p ，其余3 个交通岗遇到红灯的概率均为 1.22(1)若 p;，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率35 ，求 p 的取值范围 .(2)若该学生至多遇到一次红
6、灯的概率不超过1820. (本小题满分 12 分 )如图，在正方形ABCD A 1B1C1 D 1 中， E 为 AB 的中点 .(1) 求 AD 和 B1C 所成的角(2) 证明：平面 EB 1D 平面 B1CD ;(3) 求二面角 E B1C D 的大小 . (用反三角函数表示 )21. (本小题满分 14 分 )已知函数 f (x)1 x 3x 23x4 , 直线 l ： 9x2y c 0 .33(1)求证：直线 l与函数 yf (x) 的图像不相切 ;(2)若当 x 2,2 时，函数 yf ( x ) 的图像在直线l 的下方，求 c 的范围 .22. (本小题满分 14 分 )已知函数
7、 f (x) 21 . 数列 a n 中， a1a, an 1f (a n ) (n N ) . 当 a 取不同的值时 ,x717 , ; 当 a1得到不同的数列 an ，如当 a 1时，得到无穷数列1, 3,时，得到1 , 0 .372有穷数列(1) 求 a 的值，使得 a30 ;21 , b n(2) 设数列 b n 满足 b1f (bn 1 )( n N),2求证：不论 a 取 b n 中的任何数，都可以得到一个有穷数列 an ;(3) 求 a 的取值范围，使得当n2 时，都有73.an323. (本小题满分 14 分 )(1) 已知抛物线 y 2 2px (p 0), 过焦点 F 的动
8、直线 l 交抛物线于 A , B 两点， O 为坐标原点,求证： OA OB 为定值 ;(2) 由 (1) 可知：过抛物线的焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A , B 两点，存在定点 P ，使得PAPB 为定值 . 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明 .高三数学训练卷（一）参考答案一、选择题（每小题5 分，共 60 分）题123456789101112号答CBADCBCCADCB案二、填空题（每小题4 分，共 24 分）13. 1, 1, 5 ;14. 23 ;15.y 2x 21 ;16. 11 ;17. 3 ;18.32 .5三、解答题（共66 分）19.（本小题满分12 分）解：
9、(1) 记该学生在第i 个交通岗遇到红灯A i (i1,2, ,5) ，P(A 1A 2A 3 ) (12) (1 1 )11 .322121 . 6 分答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为12(2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A）或恰好遇到一次红灯（记为B）P(A )C20 (1p) 2 C 30 (11) 31 (1p) 2 , 7 分28P(B)C20 (1p) 2C13 (1 1 ) 2C12 p(1p) C30 (11 )33122(1p) 2p(1p). 9 分841 (1p) 23 (1p) 21 p(1p)51p8 . 11 分8841833又 0p1,
10、 所以 p 的取值范围是 1 , 1. 12 分20.（本小题满分12 分）3解： (1) 正方体中， AD / BC ，AD 与 B1 C 所成的角为B1 CB 或其补角 .B1CB45 ，AD 和 B1C 所成的角为 45 4 分(2) 取 B1 C 的中点 F, B1D 的中点 G , 连结 BF ,EG ,GF.CD平面 BCC 1B1 ，DCBF .又 BFB1C ， DCB1CC, BF平面 B1 CD .6 分GF1 CD , BE1 CD ,BEGF ,22四边形 BFGE 是平行四边形，BF / CE.EG平面 B1 CD. 7 分又 EG平面 EB1 D ，平面 EB1 D
11、平面 B1CD .8 分(3)连结 EF .CDB1C, GF / CD ,GFB1C.又 EG平面 B1CD ，EFB1 C,EFG 为二面角 E B1C D 的平面角 . 10 分设正方形的边长为a，则在EFG 中， GF1 a, EF3 a,23cosEFGGF3EF. 11 分3二面角 E B1 C D 的大小为 arccos 3 . 12 分321.（本小题满分 14 分）解： (1)证明： f ( x)x 22x3. 2 分假设直线 l：9x2yc0与函数 yf (x ) 的图像相切， 则 x 22x 39有实数解，32即 x 22x0 有实数解 . 5 分23因为20 时，方程
12、x 22x0 无实数解，所以直线l与函数 yf ( x) 的图像不相切 . 72分(2)当 x2,2时，函数 yf ( x) 的图像在直线 l的下方，即 1 x3x 23x4(9 xc )0 对于一切 x2, 2 都成立，9 分3322即 c2 x32x 23x80 对于一切 x 2, 2都成立 . 10 分32 x 338 . 因为 g ( x)令 g( x )2x 23x2x 24x 232(x1)210.33所以 g( x) 在 2,2 上单调递减，12 分所以当 x2,2 时， g(x ) ming(2)6. 13 分所以 c6 ，所以 c 的范围是 (,6) 14 分22.（本小题满
13、分14 分）解： (1)因为 a1a, a n 121 ,an所以 a2212a 1, a3215a2 . 2 分a1aa22a1要 a30, 即要 a22时， a30. 4 分. 所以， a55(2) 由题知 b11 , 21b n . 不妨设 a 取 bn ，2bn1所以 a221bn1, a32121b n2 , 6 分b na2bn1 ,an2121b11 , 所以 an 10, 8 分a n1b 22所以不论 a 取 b n 中的任何数，都可以得到一个有穷数列 a n . 9 分7an372131 an 13. 11 分(3)3an 13因为 (7 , 3)(1,3)，所以只要有7a
14、 23 就有7an 3 (n3). 12 分3332a170a3由a3 ，解得：，即1a3.1或2aaa130a所以， a 的取值范围是 (1,3).14 分23.（本小题满分14 分）解： (1)若直线 l垂直于 x 轴，则 A ( p , p) ， B( p ,p) .22OAOB( p )2p23 p2 . 2 分24p) ， A (x 1 , y1 ) B(x 2 ,若直线 l不垂直于轴，设其方程为yk(xy 2 ) .2yk ( xp)22k2 x 2p( 2 k 2 ) xp k 20由y 22px4x1x 2(2 k 2 ) p,x1x 2p2. 4 分k 24p)( x 2p
15、)OA OB x1 x 2y 1 y 2x 1 x 2k 2 (x 1p2 k 222(1 k 2 )x 1 x 2p k 2 (x 1x 2 )242p2p2 (2k 2 )p p2 k 232(1 k )42 kk 244 p.综上， OAOB3 p2 为定值 . 6 分4(2) 关于椭圆有类似的结论：过椭圆x 2y 21 (a0, b0) 的一个焦点F的动直线 l 交a2b2椭圆于 A 、 B 两点，存在定点P ，使 OA OB 为定值 . 7分证明：不妨设直线 l过椭圆 x 2y 21的右焦点 F(c, 0)( 其中 ca2b2 )a2b 2yk(xc) ， A (x 1 ,y1 )
16、B(x 2 , y 2 ) .若直线 l不垂直于轴，则设其方程为：yk ( x c)(a2 k 2b2 ) x 22a2ck 2 x (a2 c2 k 2a 2 b2 ) 0 得：由 x 2y 21a2b 2所以 x 1x 22a2 ck 2,x1x 2a2 c2 k 2a 2 b 2. 9 分a2 k 2b2a 2k 2b2由对称性可知，设点P 在 x 轴上，其坐标为 ( m,0).所以 PA PB( x 1m )( x 2m ) y1 y 2(1 k 2 )x 1 x 2( m ck 2 )( x 1x 2 ) m 2c2 k 2(1 k2)a 2c 2k 2a2 b 2(mck2)2a2
17、ck 2m2c2k2a2 k 2b2a2 k 2b2(a 4a2 b2b 4a 2m 22a 2cm)k 2(m 2a2 ) b2a2 k 2b2要使 PAPB 为定值，只要 a4a 2 b2b4a2 m 22a2 cm a2 ( m 2a2 ),2a4a2 b2b 4( 2a2b 2 )c (3 e2 )c即 m2a 2c2a22此时 PAPBm 2a 2(2a 2b2 ) 2 c 24a6b4 (c 24a 2 ) 12 分4a 4b24a4b2若直线 l垂直于 x 轴，则其方程为xc， A (c,) ， B(c,) .aa2取点 P( (2a2a2b )c , 0)2有 PA PB (2a2b2 )cc 22a2综上，过焦点 F(c,0) 的任意直线b 4b 4 (c24a2 ) . 13 分a24a4l 交椭圆于 A 、 B 两点，存在定点 P( (2a2b2 )c, 0)2a 2使 PA PBb4 (c 24a 2 ) . 为定值 . 14 分4a4