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1、祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！椭圆与双曲线性质- （重要结论）清华附中高三数学备课组椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的 外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.x2y21上，则过x0 xy0 y1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 22P0 的椭圆的切线方程是2b2aba6.x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线
2、切点为P1、P2，则切点弦P1P2 的直线方程若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆b2是 x0 xy0 ya21.a2b27.x2y21 (a b 0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点椭圆2b2a角形的面积为 S F1 PF2b2 tan.x2y 228.1（ a b 0）的焦半径公式：椭圆2b2a| MF1 |aex0 , | MF 2 |a ex0 ( F1 (c,0),F2 (c,0) M (x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的
3、椭圆准线于M 、 N 两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A 1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A 2Q 交于点 M ， A2P和 A 1Q 交于点 N，则 MF NF.11.x2y21的不平行于对称轴的弦， M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOMkABb2AB 是椭圆2b2a2 ，a即K ABb2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0, y0 )在椭圆x2y21内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是x0x y0 yx0 2y0 2a22a2b2a2b2 .b13.若 P0 ( x0, y0 )在椭圆x2y21x2y2x
4、0 x y0 ya22内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是2b2a2b2 .ba双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切：P 在左支）5.若 P0x2y21（ a 0,b 0）上，则过P0x0 xy0 y1.(x0, y0 ) 在双曲线b2的双曲线的切线方程是b2a2a26.若 P0x2y
5、21（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则(x0, y0 ) 在双曲线b2a2x0 xy0 y1.切点弦 P1P2 的直线方程是b2x2y2a27.1（ a 0,b o）的左右焦点分别为F1 ， F 2，点 P 为双曲线上任意一点F1PF2，双曲线b2a2则双曲线的焦点角形的面积为 S F1PF2b2co t.x2y228.1（ a 0,b o）的焦半径公式： ( F1 ( c,0), F2 (c,0)双曲线b2a2当 M (x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0a ,| MF2 |ex0 a .当 M (x0 , y0 ) 在左支上时，
6、 | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、 Q, A 1、 A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点 M ， A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF NF.11.AB是双曲线x2y21 （ a 0,b 0 ）的不平行于对称轴的弦，M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则a2b2K OMK ABb2 x0 ，即 K ABb2 x0
7、。a 2 y0a2 y012.若 P0 (x0 , y0 )在 双 曲 线 x2y21 （ a 0,b 0 ） 内 ， 则 被 Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是a2b2x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .x2y213.若 P0 ( x0 , y0 )在 双 曲 线1 （ a 0,b 0 ） 内 ， 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是a2b2x2y2x0 xy0 ya2b2a2b2 .第1 页总策划：小柏 -武汉中学高三数学组祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1.x2y21（ a
8、 b o）的两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 ( a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于1、2椭圆bPP 时a22x2y2A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是1.b2a22.过椭圆x2y21(a0,b 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，a2b2b2 x0则直线 BC 有定向且kBC（常数） .a2 y03.若 P 为 椭 圆x2y21 （ a b 0 ） 上 异于 长 轴 端 点 的任一 点 ,F1, F 2 是 焦 点 ,PF1F2,a2b2PF2 F1，则actanco t .ac224.设椭圆x2y21（ ab 0）的
9、两个焦点为121 2a2b2F 、 F ,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF FF1PF2,PF1 F2,F1F2Psinc中，记，则有sine.sina5.若椭圆x2y21（ ab 0）的左、右焦点分别为121 时，可在a2b2F 、F，左准线为 L ，则当 0 e 2椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6. P 为 椭 圆x2y21 （ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A 为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则a2b22a | AF2 | PA | PF1 |2a| AF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三
10、点共线时，等号成立 .7.椭 圆( x x0 )2( y y0 )21 与 直 线 Ax By C0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0 C )2 .8.x2y21 （ a b 0 ）， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点，且OPOQ .（ 1）已知椭圆2b2a111122的最大值为4a2b2;（ 3） S OPQ 的最小值是a2b22 .22a2b2 ;（ 2）|OP| +|OQ|a2b2a2b| OP | |OQ |9.x2y21（a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x过椭圆b2a2轴于 P
11、，则 | PF |e .| MN |210.已知椭圆x2y21（ ab 0） ,A 、 B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点a2b2P( x0 ,0) ,a2b2x0a2b2则aa.11.设 P 点是椭圆x2y21（ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记F1PF2，则a2b2(1) | PF1 | PF2 |2b2.(2) S PF1F2b2 tan .1cos212.设 A 、 B是 椭 圆x2y21 （a b 0 ） 的 长 轴两 端 点 ， P是 椭 圆 上 的一 点 ，PAB,a2b2PBABPA分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心
12、率 ， 则 有 (1) | PA |2ab2 |cos|,， c 、 ea2c2co s2.(2)tan tan12.(3)S PAB2a2b2eb2a2 cot .13.已知椭圆x2y21（ ab 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交a2b2于 A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦
13、三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.第2 页总策划：小柏 -武汉中学高三数学组祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.x2y2A1 (a,0) , A2 ( a,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于双曲线b21（ a 0,b 0）的两个顶点为a2x2y 2
14、1、 21 12 2交点的轨迹方程是1.P P 时 AP 与 APa2b2x2y22.过双曲线1 （ a 0,b o）上任一点A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于a2b2b2 x0 （常数） .B,C 两点，则直线BC 有定向且 kBCa2 y03.x2y21（ a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 ,PF1 F2,若 P为双曲线b2a2PF2 F1，则 catanco t（或 catan2co t） .ca22ca24.设双曲线x2y 21（ a 0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，a2b2在
15、PF1F2 中，记F1PF2,PF1F2,F1 F2 Psinc，则有sin )e.(sina5.若双曲线 x2y 21 （a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1 、 F2，左准线为 L ，则当 1 e 2 1a2b2时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6.P 为双曲线x2y21 （ a 0,b 0 ）上任一点,F1,F2为二焦点， A为双曲线内一定点，则a2b2| AF2 |2a| PA | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y轴同侧时，等号成立 .7.双 曲 线x2y21 （ a 0,b
16、0） 与 直 线 AxBy C0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是a2b2A2 a 2B 2b2C 2 .8.已知双曲线x2y21（ b a 0）， O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动点，且 OP OQ .a2b2（ 1）111 122的最小值为4a2b2a2b22 .22a2b2;（2）|OP| +|OQ|b2a2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是2a| OP | |OQ |b9.x2y21（ a 0,b 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂过双曲线b2a2直平分线交 x 轴于 P，则 | PF |e .| MN |210.x2y21（ a
17、0,b 0） ,A 、 B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相已知双曲线b2a2a2b2a2b2交于点 P( x0 ,0),则 x0或 x0a.a11.设 P 点是双曲线x2y21（ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点12为其焦点记F1PF2，a2b2,F 、F则 (1) | PF1 | PF2 |2b2.(2)S PF Fb2 cot .1cos12212.设 A 、 Bx2y21（ a 0,b0）的长轴两端点， P是双曲线上的一点，PAB,是双曲线2b2a2ab2 | cosPBA,BPA， c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|.| PA |c2co s2|
18、 a2(2)tantan122a2b2e .(3)S PAB2a2 cot .b13.x2y21（ a 0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点F 的直线与已知双曲线b2a2双曲线相交于 A 、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).( 注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.第3 页总策划：小柏 -武汉中学高三数学组