《高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一元二次不等式及其解法【知识梳理】1 一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2 bx c 0( 0)或 ax2bx c 0( 0)( 其中 a 0)的不等式叫做一元二次不等式2 一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集 .3 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式 b2 4ac0 00) 的根 x2) b2a二次函数 y ax2bx c (a0) 的图象ax2 bx c0( a0)x|xxax2 bx c0) x|x1x0
2、 ；(2) x27x6.(3)(2 x)( x 3) x(4 x)解： (1)方程 x2 5x 6 0 的两根为x1 1，x2 6.结合二次函数y x2 5x 6 的图象知，原不等式的解集为 x|x6 (2) 原不等式可化为 x2 7x 60.解方程 x2 7x 60 得， x1 1， x26.结合二次函数y x2 7x 6 的图象知，原不等式的解集为 x|1x0.方程 (x 2)(x 3) 0 两根为 2 和 3.结合二次函数y (x 2)( x3) 的图象知，原不等式的解集为 x|x2 (4) 由原不等式得 8x2 8x44x x2.原不等式等价于 9x2 12x40.解方程 9x2 12
3、x 4 0，得 x12 2 x 3.y 9x2 12x 4 x|x2结合二次函数的图象知，原不等式的解集为3.题型二、解含参数的一元二次不等式【例 2】 解关于 x 的不等式 x2 (1 a)x a 0. 解 方程 x2 (1a)xa 0的解为 x122 (1 a)x a 的图象开口 1，x a，函数 y x向上，则当 a 1 时，原不等式解集为 x|ax 1 ；当 a 1 时，原不等式解集为?；当 a 1 时，原不等式解集为 x| 1 x a 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0 与小于 0 进行讨论；(2) 若求对应一元二次方程的根需
4、用公式，则应对判别式进行讨论；(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论【对点训练】2解关于x 的不等式： ax2 (a1)x 1 0(a R)解： 原不等式可化为：(ax 1)(x 1) 0，当 a 0 时， x1，1当 a 0 时 x a (x1) 01ax 1.当 a 1 时， x 1，1当 1 a 0 时， x a (x 1)0，1x a或 x 1.1当 a 1 时， a 1，1x 1 或 x a，综上原不等式的解集是：当 a 0 时， x|x 1 ；1当 a 0 时， x| a x 1 ；当 a 1 时， x|x 1 ；当 1 a 0 时，1x|x1或 x a .1当 a
5、 1 时， x|x a或x 1 ，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例 3】 已知关于 x 的不等式 x2 axb 0 的解集为 x|1 x 2 ，求关于 x 的不等式 bx2 ax 10 的解集 解x2 axb 0 的解集为 x|1 x 2 ，1,2 是 x2 ax b0 的两根 a 1 2，由韦达定理有b 1 2，a 3，得b2，代入所求不等式，得2x2 3x1 0.由 2x2 3x 1 0? (2x1)(x1) 0? x12或 x 1.bx2 ax1 0 的解集为 ，1(1 ， )2【类题通法】1一元二次不等式ax2bx c 0(a 0)的解集的端点值是一元二次方程ax2 b
6、x c0 的根，也是函数y ax2 bx c 与 x 轴交点的横坐标2二次函数 y ax2 bx c 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式ax2 bx c 0 的 x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2 bx c 0 的 x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化【对点训练】3已知方程ax2 bx 2 0 的两根为 1和 2.2(1) 求 a、 b 的值；(2) 解不等式 ax2 bx 10.解： (1)方程 ax2 bx 2 0 的两根为 12和 2，1 b 22 a，由根与系数的关系，得12 2 2 a.解得 a 2， b 3.(2) 由 (1)知， ax2 bx 1
7、0 可变为 2x2 3x 1 0，即 2x2 3x 1 0，解得 12 x1.1不等式 ax2 bx 1 0 的解集为 x|2x 1 【练习反馈】1不等式x(2 x) 0 的解集为 ()A x|x 0 C x|x 2 或解析： 选 Dx 0原不等式化为B x|x 2D x|0 x 2x(x2) 0，故 0x 2.2已知集合M x|x2 3x 280 ，N x|x2 x 6 0 ，则 M N 为 ()A x| 4 x 2 或 3 x 7B x| 4x 2 或 3 x 7C x|x 2 或 x 3D x|x 2 或 x 3解析： 选 AM x|x23x 28 0 x| 4 x 7 ，N x|x2
8、x 60 x|x 2 或 x 3 ，M N x| 4 x 2 或 3 x 7 3二次函数yx2 4x 3 在 y0 时 x 的取值范围是 _解析： 由 y 0 得 x2 4x 3 0，1 x3答案： (1,3)4若不等式 ax2 bx 20 的解集为 x|1 x 2 ，则实数 a_，实数 b _.2解析： 由题意可知 12bx 2 0 的两个根2， 2是方程 ax1b 2 2 a，由根与系数的关系得 1 2 2，2a解得 a 2， b 3.答案： 235解下列不等式：(1) x(7 x)12；(2) x2 2(x1)解： (1)原不等式可化为 x22的两根为12 7x 12 0，因为方程x 7x12 0x 3， x 4，所以原不等式的解集为 x|3 x 4 (2) 原不等式可以化为x22x 2 0，因为判别式 48 4 0，方程 x2 2x 2 0 无实根，而抛物线y x2 2x 2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .