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1、高中数学选修 2-1 知识要点第一章命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则 q ”，它的逆命题为“若q ，则 p ” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另
2、一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ” .5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若q ，则p ”。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；1高中数学选修 2-1 知识要点2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 pq ，则 p 是 q 的充
3、分条件，q 是 p 的必要条件若 pq，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q 当pqp q是真命题；当pqp q、 都是真命题时，、 两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题用联结词“或”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作pq 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q 是真命题；当p 、 q 两个命题都是假命题时， pq 是假命题对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p 若 p 是真命题，则p 必是假命题；若p 是假命题，则p 必是真命题9、短语“对所有的” 、“对任意一个
4、”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x ，有 p x 成立”，记作“x， p x ”短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个 x ，使 p x 成立”，记作“x， px ”10、全称命题p ：x， px ，它的否定p ：x，p x 。全称命题的否定是特称命题。特称命题p ：x， p x ，它的否定p ：x，p x 。特称命题的否定是全称命题。考点： 1、充要条件的判定2 、命题之间的关系典型例题： 1下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是A ab 1
5、B ab 1C a2b2D a3b32高中数学选修 2-1 知识要点 2已知命题P：n N， 2n 1000，则P 为An N， 2n 1000Bn N， 2n 1000Cn N， 2n 1000Dn N， 2n 1000 x1 是 | x | 1 的A 充分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3高中数学选修 2-1 知识要点第二章圆锥曲线知识点：11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点Mx, y 及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。12、平面内与两个定点F1 ， F2
6、 的距离之 和等于常数 （大于F1 F 2 ）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。MF1MF22a 2a2c13、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2y21 ab 0y2x21 ab 0a2b2a2b2范围ax a 且 b y bb x b 且 a y a1a,0、2a,010, a、20,a顶点10, b 、20,b1b,0、2b,0轴长短轴的长 2b长轴的长2a焦点F1c,0、 F2c,0F10, c、 F20,c焦距F1 F22c c2a2b2 ， a 最大对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称离心率
7、ec1b20 e 1a2a4高中数学选修 2-1 知识要点准线方程a2a2xycc14、设是椭圆上任一点，点到 F1 对应 准线的距离为d1 ，点到 F2 对应 准线的距离为 d2 ，则F1F2e 。d1d215、平面内与两个定点F1 ， F 2的距离之 差的绝对值 等于常数（小于F1 F 2 ）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。MF1MF22a 2a2c16、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2y21a0, b0y2x21 a0, b 0a 2b2a2b2范围xa 或 xa ， y Rya 或 ya ， x
8、 R顶点1a,0、2 a,010,a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点F1c,0、 F2 c,0F10,c、 F20,c焦距F1 F22c c2a2b2 ， c 最大对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称ecb2e 1离心率a12a准线方程xa2ya2cc渐近线方程ybyaxxab17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。5高中数学选修 2-1 知识要点18、设是双曲线上任一点，点到 F1 对应准线的距离为d1 ，点到 F2 对应 准线的距离为 dF1F2e 。2 ，则d2d118、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 F称为抛物线的焦点
9、，定直线l 称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2 p 20、焦半径公式：x0 , y0在抛物线 y22 pxp0Fx0p若点上，焦点为 F ，则2 ；2Fx0px0 , y0在抛物线 y2 pxp0 上，焦点为 F ，则2 ；若点x0 , y0在抛物线 x22 pyp0Fy0p2 ；若点上，焦点为 F ，则x0 , y0在抛物线 x22 pyp0Fy0p2 若点上，焦点为 F ，则6高中数学选修 2-1 知识要点21、抛物线的几何性质：y 22 pxy 22 pxx 22 pyx 22 py标准方程p0p0p0p0图形顶点(0,
10、0)对称轴x 轴y 轴焦点Fp , 0Fp , 0F 0, pF 0,p2222准线方程xpxpypyp2222离心率e 1范围x0x0y0y0考点： 1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题： 1设双曲线的左准线与两条渐近线交于A, B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A (0, 2)B (1,2)C ( 2 ,1)D ( 2 ，)2 2 设椭圆 x2y21(ab0) 的左、右焦点分别为F1， F2 。点 P(a, b) 满足a2b27高中数学选修 2-1 知识要点| PF2 | | F1 F2 |. （）求椭圆的离
11、心率 e ；（）设直线 PF2 与椭圆相交于 A ，B 两点，若直线 PF2 与圆 (x 1)2( y3) 216 相交于 M ， N 两点，且 | MN | 5 | AB |，求椭圆的方程。88高中数学选修 2-1 知识要点第三章空间向量知识点：1、空间向量的概念：1 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3uuuruuur向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5rrr与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a 6 方向相同
12、且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已rrC ，则以起知向量 a 、b 为邻边作平行四边形uuurrr点的对角线C 就是 a 与 b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则 即：在空间任取一点uuurr uuurr，作a ，b ，uuurrr则ab 3、实数rr0时，r与空间向量 a 的乘积a 是一个向量，称为向量的数乘运算当a 与r0 时，rr0 时，rrra 方向相同；当a 与 a 方向相反；当a 为零向量，记为0 a
13、 的r倍长度是 a 的长度的4、设，rr为实数， a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：rrrrrrabab ；结合律：aa 9高中数学选修 2-1 知识要点5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量rrrr ra ， bb0 ， a / b 的充要条件是存在实数rr，使 ab 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点位于平面C 内的充要条件是存在有序实数对x ， y ，使uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
14、xyC ；或对空间任一定点，有xyC ；或若四点， C 共面，则uuuruuuruuurzuuuryz 1 xyC x9、已知两个非零向量rruuurruuurra 和 b ，在空间任取一点，作a ，b ，则称为rrrr两个向量夹角的取值范围是：r r0,向量 a ， b 的夹角，记作a, ba, b10、对于两个非零向量rrrrrrrra 和 b ，若 a,b2，则向量 a， b 互相垂直，记作ab 11、已知两个非零向量rrrrrrrrrra和 b，则 a b cos a, b称为 a ， b 的数量积，记作a b 即rrr rrr零向量与任何向量的数量积为0 aba b cos a,br
15、rrrrrrrr的乘积12、 ab 等于 a 的长度 a与 b 在 a 的方向上的投影b cos a, brrr1rrr rrrr13 若 a ， b 为非零向量， e 为单位向量，则有e aa ea cos a, e ；rr rrrrrrrra b a与 b同向r rr2rr r2a ba b 0 ； 3a br rrr， a aa， aa a ；a ba与 b反向r rrrrrrr4ab； 5cos a, brrabab a b14 量数乘积的运算律：1rrrrrrrrrr；a bba ； 2aba bab3rrrrrrrabca cbc 15、空间向量基本定理：若三个向量rrrra， b
16、 ， c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数rrrr组 x, y, z ，使得 pxaybzc 10高中数学选修 2-1 知识要点rrr16、三个向量 a， b ， c 不共面，则所有空间向量组成的集合是rrrrrrrrybR这个集合可看作是由向量p pxazc, x, y, za ， b， c 生成的，rrrrrra,b, c 称为空间的一个基底，a ， b ， c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底uruurur17、设 e ， e ， e 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），123uruurururuurur的方向为 x 轴， y 轴
17、， z 轴的正以 e1 ， e2 ， e3 的公共起点为原点，分别以e1 ， e2 ， e3方向建立空间直角坐标系xyz 则对于空间任意一个向量rp ，一定可以把它平移，使它的起 点 与 原 点uuurrx, y, z， 使 得重 合 ， 得 到 向 量p 存 在 有 序 实 数 组ruruururruruururpxe1 ye2ze3 把 x ，y ， z 称作向量 p 在单位正交基底e1 ， e2 ， e3 下的坐标，记rx, y, z 此时，向量r在空间直角坐标系xyz 中的坐标x, y, z作 pp 的坐标是点rx1, y1, z1rrrx1x2 , y1y2, z1 z2 18、设
18、a， bx2 , y2 , z2 ，则 1 a brrx1x2 , y1y2 , z1z2 2 a brx1 , y1 , z1 3 arry1 y2z1 z2 4 a b x1x2rrrrr0x xy yz z0 5 若 r 、 b 为非零向量，则aba b22a1112rrrrrrx1x2 , y1y2 , z1z2 6 若 b0 ，则 a / bab7rr rx2y2z2aa a111rrr rx xy yz za b28cos a, b1211 2r rx12y12z12x22y22a bz229x1, y1 , z1 ，x2 , y2 , z2，则 duuurx2x12y22z2 z
19、12y1uuur19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表uuur示向量称为点的位置向量20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点以及一个定方向确定点是直线11高中数学选修 2-1 知识要点rl 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点，有uuurrl 上一点，向量 a 表示直线ta ，这样点rl 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点和向量 a 不仅可以确定直线21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为rr为平面上任意一点，存在有序实数对x, y ，使a ， b 得uuurrrrr的位置xay
20、b ，这样点与向量 a ， b 就确定了平面22、直线 l 垂直rr的法向量，取直线 l 的方向向量 a ，则向量a 称为平面23、若空间不重合两条直线a ， b 的方向向量分别为rrrra ， b ，则 a / ba / brrR ， a brrr ra ba ba b 0 rr，则a /r24、若直线 a 的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 aa /rrrrarrrrra na n 0 ，aa / nan 25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为rr/rra， b ，则a / brrrrrr0 ab ，aba b26、设异面直线 a ， b 的夹角为，方向向量为rr，则有a
21、， b ，其夹角为r r a bcoscosrr a b27、设直线 l 的方向向量为rrrrl ，平面的法向量为 n ， l 与 所成的角为， l与 n 的夹角rr为 ，则有 sincoslnrrlnuruurluruur28、设 n1， n2 是二面角的两个面，的法向量，则向量n1， n2 的夹角（或其uruurl，则 cosn1n2补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为uruur n1n2uuuruuur29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算30、在直线 l 上找一点，过定点且垂直于直线lr到直线 l 的距离的向量为 n ，则定点uuuruuur ruuurrrn
22、为 dcos, nn31、点是平面外一点，是平面r的一个法向量，则点到内的一定点， n 为平面12高中数学选修 2-1 知识要点uuuruuurruuurrrn平面的距离为 dcos, nn考点： 1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题典型例题： 1已知正方体ABCD A1B 1C1D1 中， E 为 C1D 1 的中点，则异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为。 2在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， ACB= 90 ，平面， EF， . = .（）若是线段的中点，求证：平面;（）若= ,求二面角 - -的大小 3.如图，在五棱锥 P ABCDE 中， PA 平面 ABCDE ，AB/CD ， AC/ED ， AE/BC ，ABC45 , AB2 2 , BC2 AE4 ，三角形PAB是等腰三角形。（）求证：平面PCD平面 PAC；（）求直线PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥P ACDE 的体积。13