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1、课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 两角和与差的正弦公式,sin( + )=sin cos +cos sin ,sin( - )=sin cos-cos sin .2 两角和与差的余弦公式,cos( + )=cos -sincossin cos( - )=cos cos+sin sin 3 两角和、差的正切公式tan(tantan（ tantantan1 tan tan )=+tan,1tantan(tantantantan1 tan tan- )=tan.（ tan1tan）；）简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sincos 1sin 2sin 2cos22
2、sin cos(sincos ) 2 cos2cos2sin22cos211 2sin 2升幂公式 1cos2 cos2,1cos2sin 22cos2121cos2降幂公式 cos2， sin 2222tan tan21tan2默写上述公式，检查上次的作业课本上的 !1解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形abc2R (R为三角形外接圆半径）sin Asin Bsin C（1） a2R sin A, b2R sin B,c2R sin C (边化角公式）（2）sin Aa,sinBb ,sin Cc(角化边公式）2R2R2R（3）a : b : csin A :sin
3、 B :sin C (4) asin A , asin A , bsin Bbsin B csin C csin C2、正弦定理适用情况：（ 1）已知两角及任一边（ 2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a， b 和 A，求 B 时的解的情况 :如果 sin Asin B ，则 B 有唯一解；如果 sin Asin B1 ，则 B有两解；如果 sin B1，则 B 有唯一解；如果sin B 1，则 B 无解 .3、余弦定理及其推论cos Ab2c2a22222bcabc2bc cos Aa2c2b2b2a2c22ac cos BcosBc2a2b22ab cosC2aca2b
4、2c2cosC2ab4、余弦定理适用情况：（ 1）已知两边及夹角； （ 2）已知三边 .5、常用的三角形面积公式（ 1） S（ 2） SABCABC1底高 ；21 ab sin C1 bcsin A 1 ca sin B （两边夹一角） .2226、三角形中常用结论（1） a b c, bca, acb(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2） 在 ABC中， ABabsin Asin B(即大边对大角，大角对大边） .（3）在 ABC中， ABC，所以 sin( AB) sin C ； cos( A B)cosC ； tan( A B)tan C .sin A Bcos C , c
5、os ABsin C .22222二、典型例题题型 1 边角互化 例 1 在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 5 : 7 ，则角 C 的度数为【解析】由正弦定理可得 a : b : c3 : 5: 7 ， , 令 a、b、c 依次为 3、5、7 ，则 cosC = a2b2c2= 325272=12ab2 352因为 0C，所以 C23 例 2 若 a 、 b 、 c 是ABC 的三边， f ( x)b 2 x 2(b2c 2a2 ) x c 2，则函数 f ( x) 的图象与 x 轴 ( )A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D 、至少有一个交点【解析
6、】由余弦定理得b2c2a22bc cos A ，所以f (x)b2 x22bc cos Agxc2=(bxc cos A)2c2c2 cos2A ，因为 cos2 A1, 所以 c2c2 cos2 A 0，因此f ( x)0 恒成立，所以其图像与x 轴没有交点。题型 2三角形解的个数 例 3在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A、 a7 ， b14 ， A30 ；B、 b25 ， c30 ， C 150C、 b4 ， c5 ， B30 ；D、 a6 ， b3 ， B 60；。题型 3面积问题 例 4ABC 的一个内角为 1200 ，并且三边构成公差为4 的等差数列，则A
7、BC 的面积为【解析】设 ABC的三边分别： x4, x, x 4 ，C=120，由余弦定理得：( x4) 2(x4)2x22x(x4) cos1200 ，解得： x 10 ， ABC 三边分别为 6、 10、 14，SVABC1 ab sin C1 6103153 .222题型 4判断三角形形状 例 5在ABC 中，已知 (a2b2 ) sin( AB) (a2b2 ) sin( A B) , 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一： a2 sin( AB)sin( AB)b2 sin( AB)sin( AB)2a2 cos Asin B2b2 cos
8、B sin A由正弦定理，即知sin 2 A cos Asin B sin 2 B cos B sin Asin Asin B(sin A cos A sin B cos B)0sin 2Asin2B由 02A,2B 2，得2 A2B或 2 A2B ,即ABC 为等腰三角形或直角三角形.3方法二： 同上可得 2a2 cos Asin B2b2 cos B sin A由正、余弦定理，即得： a2b b2c2a2b2a a2c2b22bc2aca2 (b2c2a2 ) b2 (a2c2b2 )即 (a2b2 )(c2a2b2 )0ab 或 c2a2b2 ,即ABC 为等腰三角形或直角三角形.【点拨
9、】 判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 例 6 在ABC 中， a,b, c 分别为角 A.B, C 的对边，且 sin Asin Cpsin B( pR) 且 ac1 b25 , b4（1）当 p1时，求 a,c 的值；4（2）若角 B 为锐角，求p 的取值范围。【解析】（1）由题
10、设并由正弦定理，得51，解得， a11, c1a c, ac1,c或 a444411（ 2）由余弦定理， b2a2c22ac cos B = (ac)22ac 2ac cos Bp2b2b2b2 cos B即 p2 31 cos B ，因为 0( 3 ,2) ，由题设知 p22cosB 1，所以 p20，222所以6p2 .2三、课堂练习：1、满足 A45 ， c6 ， a2的ABC 的个数为 m ，则 am 为 .25,b5 3，A30，解三角形。、已知 a43、在ABC 中，已知 a4 cm ， bx cm ， A 60，如果利用正弦定理解三角形有两解，则 x 的取值范围是 ( )A、 x
11、4B、 0 x 4C、 4 x83833D、 4 x34、在ABC 中，若 S1 ( a2b2c2 ), 则角 C.45、设 R 是ABC 外接圆的半径，且2R(sin 2 Asin 2 C )(2ab) sin B ，试求ABC 面积的最大值。6、 在ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD335， cos ADC3， sin B，求 AD .1357、在ABC 中，已知 a,b,c 分别为角 A, B, C 的对边，若 acosB ，试确定ABC 形状。bcos A58、在ABC 中， a,b, c 分别为角 A, B, C 的对边，已知 cos A 2cos C2c acos Bb（
12、 1）求 sin C ； sin A（2）若 cos B1 ,b 2, 求ABC 的面积。4四、课后作业1、在 ABC 中，若 ( abc)( bc a)3bc ，且 sin A 2 sin B cosC ，则 ABC 是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、 ABC 中若面积 S= 1 (a2b2c2 ) 则角 C43、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB ，在塔顶 A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为，在塔底 B 处测得点 C 的俯角为，若铁塔的高为 h m ，则清源山的高度为m 。A、 h sincosB、 h cossinsin()sin()C、 h sinsinD、 h coscossin()sin()4、 ABC 的三个内角为A、B、C ，求当 A 为何值时， cos A2cos B C 取得最大值，并求出这个最大值。25、在ABC 中， a,b, c 分别为角 A、B、C 的对边，且满足c sin A a cosC（1）求角 C 的大小（2）求3 sin A cos(B) 的最大值，并求取得最大值时角A, B 的大小。46