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1、证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过 O 上某一点A，证明 l 是 O 的切线，只需连OA ，证明 OA l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例 1 如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D ，交 AC 于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证： EF 与 O 相切 .证明： 连结 OE， AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又 AB=BC ， 3= 4.BD=DE ， 1= 2.又 OB=OE ， OF=OF ， BOF EOF（ SAS） . OBF= OEF.BF 与 O 相切，OB
2、 BF. OEF=90 0. EF 与 O 相切 .说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的1例 2如图， AD 是 BAC 的平分线， P 为 BC 延长线上一点，且PA=PD.求证： PA 与 O 相切 .证明一： 作直径 AE ，连结 EC. AD 是 BAC 的平分线， DAB= DAC. PA=PD， 2=1+ DAC. 2=B+ DAB ， 1=B.又 B= E， 1=E AE 是 O 的直径， AC EC， E+ EAC=90 0. 1+EAC=90 0.即 OA PA. PA 与 O 相切 .证明二： 延长 AD 交 O 于 E，连结 OA ， OE. AD 是 BAC 的平
3、分线， BE=CE ， OEBC. E+ BDE=90 0. OA=OE ， E= 1. PA=PD， PAD= PDA.又 PDA= BDE,2 1+PAD=90 0即 OA PA. PA 与 O 相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC ， AB 是 O 的直径， O 交 BC 于 D， DM AC 于 M求证： DM 与 O 相切 .证明一： 连结 OD. AB=AC ， B= C. OB=OD ， 1= B. 1= C.D OD AC. DM AC ， DM OD. DM 与 O 相切证明二： 连结 OD， AD. AB 是
4、 O 的直径， AD BC.又 AB=AC, 1= 2.DM AC ， 2+ 4=900 OA=OD ，C 1= 3. 3+ 4=900.3即 OD DM. DM 是 O 的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例 4如图，已知：AB 是 O 的直径，点C 在 O 上，且 CAB=30 0， BD=OB ，D 在 AB 的延长线上 .求证： DC 是 O 的切线证明： 连结 OC、 BC.OA=OC ， A= 1= 300. BOC= A+ 1=600.又 OC=OB ，D OBC 是等边三角形. OB=BC. OB=B
5、D ， OB=BC=BD. OCCD. DC 是 O 的切线 .说明： 此题是根据圆周角定理的推论3 证明垂直的， 此题解法颇多， 但这种方法较好 .例 5 如图， AB 是 O 的直径， CD AB ，且 OA 2=OD OP.求证： PC 是 O 的切线 .证明： 连结 OC OA 2=OD OP，OA=OC ， OC2=OD OP，4OCOP.ODOC又 1= 1， OCP ODC. OCP= ODC. CD AB ， OCP=900 . PC 是 O 的切线 .说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于
6、E，交 CD 于F.求证： CE 与 CFG 的外接圆相切 .分析： 此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CE OC 即可得解 .证明： 取 FG 中点 O，连结 OC. ABCD 是正方形， BC CD， CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 Rt CFG 的外心 .OC=OG ， 3= G，AD BC， G= 4. AD=CD ，DE=DE ， ADE= CDE=45 0 ， ADE CDE （SAS）5 4=1， 1=3. 2+3=900, 1+2=900.即 CE OC.CE 与
7、 CFG 的外接圆相切二、若直线 l 与 O 没有已知的公共点， 又要证明 l 是 O 的切线， 只需作 OA l ， A 为垂足，证明 OA 是 O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”例 7 如图， AB=AC ， D 为 BC 中点， D 与 AB 切于 E 点 .求证： AC 与 D 相切 .证明一： 连结 DE，作 DF AC ，F 是垂足 .AB 是 D 的切线， DE AB. DF AC ， DEB= DFC=90 0. AB=AC ， B= C.又 BD=CD ， BDE CDF（ AAS ） DF=DE. F 在 D 上 .AC 是 D 的切线证明二： 连结 DE， AD
8、 ，作 DF AC ， F 是垂足 . AB 与 D 相切， DE AB. AB=AC ， BD=CD ， 1= 2.6 DE AB ， DF AC ， DE=DF. F 在 D 上 . AC 与 D 相切 .说明： 证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例 8 已知：如图， AC， BD 与 O 切于 A 、B ，且 AC BD ，若 COD=90 0.求证： CD 是 O 的切线 .证明一： 连结 OA ， OB，作 OE CD ，E 为垂足 . AC ， BD 与 O 相切， AC OA ， BD OB.
9、 AC BD ， 1+ 2+3+ 4=1800 . COD=90 0，O 2+3=900， 1+ 4=90 0. 4+5=900. 1=5. Rt AOC RtBDO.ACOC.OBOD OA=OB ，ACOC.OAOD又 CAO= COD=90 0， AOC ODC ， 1=2.又 OA AC ， OE CD,7 OE=OA. E 点在 O 上 . CD 是 O 的切线 .证明二： 连结 OA ， OB，作 OE CD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于F. AC ，BD 与 O 相切， AC OA ， BD OB. AC BD ， F= BDO.又 OA=OB ， AOF BOD （
10、AAS ） OF=OD. COD=90 0， CF=CD ， 1= 2.又 OA AC ， OECD， OE=OA. E 点在 O 上 . CD 是 O 的切线 .证明三： 连结 AO 并延长，作OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF. AC 与 O 相切， AC AO. AC BD ， AO BD. BD 与 O 相切于 B， AO 的延长线必经过点 B. AB 是 O 的直径 . AC BD ， OA=OB ， CF=DF ，8 OF AC ， 1= COF. COD=90 0，CF=DF ， OF1 CD CF .2 2= COF. 1= 2. OA AC ， OE CD， OE=OA. E 点在 O 上 . CD 是 O 的切线说明： 证明一是利用相似三角形证明1= 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明 1= 2.证明三是利用梯形的性质证明1= 2，这种方法必需先证明A 、 O、 B三点共线 .以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.9