高中数学专题系列三角函数讲义.docx

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1、素诚教育高中数学素质、诚实SCE 金牌数学专题系列专题：三角函数 1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念 .2、 与角终边相同的角的集合：2k , kZ . 1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 .2、l.r3、弧长公式 ： ln RR .4、扇形面积公式 ： Sn R21 lR .1803602 1.2.1、任意角的三角函数1，那么：siny, cosx, tany、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x, yx2、 设点 A x , y为角终边上任意一点，那么： （设 rx2y2 ）sinyxyx， cos， tanx， cot

2、rry3、 sin， cos， tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.y正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： ATTPOMA x5、 特殊角 0， 30 45， 60， 90， 180， 270 等的三角函数值 .064322332342sincostan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系 ：sin 2cos212、 商数关系 ：tansin.3、 倒数关系： tan cot1cos1用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实 1.3 、三角函数的诱导公式（概括为 “奇变偶不变，符号看象限”kZ ）1、 诱导公式一 ：2、 诱导公式二 ：si

3、n2ksin,sinsin,cos2kcos, （其中： kZ ）coscos,tan2ktan .tantan .3、诱导公式三：4、诱导公式四 ：sinsin ,sinsin ,coscos,coscos,tantan .tantan .5、诱导公式五：6、诱导公式六 ：sin2cos,sincos,2cos2sin .cossin .2 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质y=sinxyy=cosxy3737-5-2 1-5-2 1222-3 2-23 2-4 -7 -3-2 -3-o2 5 34 x-4 -7-2 -3o2 54x22-1 2222-1 221、记住正弦、余弦函数图

4、象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用 五点法作图 .y sin x 在 x 0, 2 上的五个关键点为：（0，0）（，1）（， ，0）（，3，-1）（，2 ，0）.222用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysin xycosxytan x图象定义域R值域-1,1x2k, kZ时， ymax1最值2x2k, kZ 时， ymin12周期性T2奇偶性奇单调性在 2k, 2k 上单调递增22k Z在 2k,2k3 上单调递减22对称性

5、对称轴方程： x kk Z2对称中心 (k , 0) 1.4.3 、正切函数的图象与性质yy=cotx-o321、记 住 正2222、记 住 余3、能够对照偶性、单调性、周期性.R x | xk , kZ 2-1,1Rx2k , kZ时， ymax1无x2k, kZ时， ymin1T2T偶奇在 2 k,2 k 上单调递增在 (k, k) 上 单 调 递22在 2 k ,2 k 上单调递减 增对称轴方程：x k无对称轴对称中心 ( k, 0)对称中心 ( k,0)22yy=tanxx3- 2o3x- 222图象切 函 数 的切 函 数 的 图象：图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心

6、、奇3用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实 1.5 、函数 yA sinx的图象1、对于函数：y Asin xBA 0,0有：振幅A2，初相，相位x，频率 fT2 .，周期 T12、能够讲出函数y sin x 的图象与yAsinxB 的图象之间的平移伸缩变换关系 .先平移后伸缩： 先伸缩后平移：ysin x 平移 | 个单位（左加右减）横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍ysin xysin x横坐标不变yA sin x纵坐标变为原来的A 倍yAsin x纵坐标不变yAsinx横坐标变为原来的| 1 | 倍纵坐标不变y Asinx横坐标变为原来的 |1| 倍平移 |

7、B | 个单位y Asin xB平移个单位（左加右减）平移 |B| 个单位yAsinxyAsinxB（上加下减）（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数 y sin( x) ，x R 及函数 y cos( x)， x R(A, 为常数，且2；A 0) 的周期 T|函数 ytan(x) ， xk,kZ (A, , 为常数，且 A 0) 的周期 T.2|对于 y A sin(x) 和 yAcos(x) 来说， 对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求 函 数 yAsin(x)图 像 的 对 称 轴 与 对 称 中 心 ， 只 需 令 xk(k Z ) 与xk (kZ )2解出 x

8、即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得 .4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：Aymaxymin， Bymaxymin .22要根据周期来求 ,要用图像的关键点来求 . 1.6 、三角函数模型的简单应用（要求熟悉课本例题 . ）4用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实 3.1.1 、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：sincostan62622312443.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、 sinsincoscossin2、 sinsincoscossin3、 coscoscossinsin4、 coscoscossinsin5、 ta

9、ntantan.1tantan6、 tantantan.1tantan 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、 sin 22 sincos，2、 cos2cos2sin 2变形 ： sincos1 sin 2 .2 cos2121 2 sin 2.升幂公式：1cos22cos 21cos22sin 2cos21(1cos2)降幂公式：2sin 21(1cos 2)23、 tan 22 tan. 4sin 21 cos 21 tan 2、 tan1 cos2sin 2 3.2 、简单的三角恒等变换1、 注意 正切化弦、平方降次.2、辅助角公式y a sin xb cos xa 2b2 s

10、in( x ) （ 其 中 辅 助 角所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决定 , tanb).a5用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实解三角形1、正弦定理：abc2R .sin Asin Bsin C（其中 R 为ABC 外接圆的半径）a2R sin A,b 2R sin B,c2R sin C ;sin Aa,sin Bb ,sin Cc ;2R2R2Ra : b : csin A :sin B :sin C.用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：a2b2c22bc cos A,b

11、2a2c22ac cosB,c2a2b22ab cosC.cos Ab2c2a2,2bccos Ba2c2b2,2accosCa2b2c2.2ab用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B2224、三角形内角和定理：在 ABC中，有 ABCC( AB)CAB2C2 2( A B) .2225、一个常用结论：在ABC 中， absin Asin BAB;若 sin 2Asin 2B, 则 AB或 AB. 特别注意，在三角函数中， sin A sin B

12、A B 不成立。26用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实链接高考一、选择题1.【 2012 高考安徽文 7】要得到函数 ycos(2x 1)的图象，只要将函数y cos2 x 的图象（ A ） 向左平移1 个单位（ B） 向右平移1 个单位（ C） 向左平移1 个单位（D ） 向右平移1 个单位222.【 2012 高考新课标文 9】已知 0， 0，直线 x和 x5是函数 f(x)=sin( x+)图像的两条相邻的对称轴，则 =44（ A ）34（B ）3（ C） 2（ D） 43.【 2012高考山东文8】函数 yx(0x9) 的最大值与最小值之和为2sin6

13、3(A) 23(B)0(C) 1(D)134.【 2012 高考全国文3】若函数 f (x) sin x( 0,2) 是偶函数，则3（ A ）235（B ）（ C）（ D ）23235.【 2012 高考全国文4】已知为第二象限角，3，则 sin 2sin5（ A ）24（ B）12（ C） 12（D ） 24252525256.【 2012 高考重庆文5】sin 47osin17 o cos30 ocos17o（ A）3 （ B）1 （ C） 1（ D）322227. 【 2012 高考浙江文6】把函数y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，7用常识提升

14、知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实然 后 向 左 平 移1个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移1个 单 位 长 度 ， 得 到 的 图 像 是8.【 2012 高考上海文17】在 ABC 中，若 sin2 Asin2 Bsin 2 C ，则 ABC 的形状是（）A 、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定9.【 2012 高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E ，使 AE1 ，连接 EC 、 ED 则sinCED（）DC（ 1） 3 10B、1010. 【 2012 高考辽宁文 6】已知(A) 1(B)1055C、10D

15、、1015EABsincos2 ，(0 ， ) ，则 sin 2 =22(D) 1(C)2211.【2012高考江西文4】若 sincos1 ，则 tan2 =sincos23B.344A. -4C. -D.433f (lg 1) 则12.【 2012 高考江西文9】已知 f ( x) sin2 (x) 若 a=f（lg5 ）， b45A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=113.【 2012 高考湖南文8】在 ABC 中， AC=7， BC=2 ，B =60 ，则 BC 边上的高等于33336339A B.C.D.422214.【 2012 高考湖北文8】设 ABC 的内角

16、A ， B， C 所对的边分别为a， b， c，若三边的长为连续的三个8用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实正整数，且A B C， 3b=20acosA ，则sinA sinB sinC为A.4 3 2B.5 6 7C.54 3D.6 5 415.【 2012 高考广东文6】在 ABC 中，若A 60o ， B45o ， BC3 2 ，则 ACA. 4 3B.2 3C. 33D.216.【 2102高考福建文8】函数 f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是4A.x=B.x=2C.x=-D.x=-44217.【 2012 高考天津文科7】将函数f(x)=si

17、nx（其中0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经4过点（ 3， 0），则的最小值是415（ A ）（ B） 1C）（ D） 233二、填空题18. 【 2012 高考江苏11】（ 5 分）设为锐角，若 cos4 ，则 sin(2a) 的值为651219.【 2102 高考北京文11】在 ABC 中，若 a=3 ， b=3 ， A=，则 C 的大小为 _。320.【 2102 高考福建文13】 在 ABC中，已知 BAC=60 ， ABC=45 ， BC3 ，则AC=_.21.【 2012 高考全国文15】当函数ysin x3 cos x(0x2) 取得最大值时，x_.9用常识提升知识， 以教

18、养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实22【.2012 高考重庆文13】设ABCA、B、Ca、b、 ca=1， b=2，cosC1的内角的对边分别为，且，4则 sin B23.【 2012 高考上海文sin x23】函数 f ( x)的最小正周期是1cosx24【. 2012 高考陕西文13】在三角形ABC 中，角 A,B,C 所对应的长分别为a，b，c，若 a=2 ，B=，c=23 ，6则 b=.25.【 2012 高考江西文15】下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是_。10用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实三、解答题26.【 2012

19、高考浙江文18】（本题满分14 分）在 ABC 中 ，内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c，且bsinA=3 acosB。（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b=3， sinC=2sinA ，求 a， c 的值 .27.【 2012 高考安徽文16】（本小题满分12 分）设ABC 的内角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, ，且有2 sin B cos Asin AcosCcos A sin C。（）求角A 的大小；（ )若 b2 ， c1 ，D 为 BC的中点，求AD 的长。11用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实28. 【 2012 高考山

20、东文 17】 ( 本小题满分 12 分 )在 ABC中，内角A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，已知sin B(tan Atan C )tan A tanC .( ) 求证： a, b, c 成等比数列；( ) 若 a1,c2 ，求 ABC 的面积S.29.【 2012 高考湖南文18】（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) Asin( x)( xR,0,0的部分图像如图5 所示 .2（）求函数f（ x）的解析式；（）求函数g(x) f ( x)f ( x) 的单调递增区间 .121212用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实30【 2012 高考

21、四川文18】 (本小题满分12 分 ) 已知函数 f (x) cos2 xsin x cos x1。2222（）求函数f (x) 的最小正周期和值域；（）若32的值。f ( )，求 sin 21031.【 2012 高考广东文16】（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)Acos x， xR ，且 f2463（ 1）求 A 的值；（ 2）设0,， f 4430 ， f 428 ，求 cos() 的值 .23173513用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实32. 【 2012 高考辽宁文 17】 ( 本小题满分 12 分 )在ABC 中，角 A、 B、 C的对

22、边分别为a， b，c。角( ) 求 cos B 的值；( ) 边 a， b， c 成等比数列，求sin Asin C 的值。A，B， C成等差数列。33. 【 2012 高考重庆文19（】本小题满分12 分，（ ）小问 5 分，（）小问 7 分）设函数 f ( x) Asin(x )（其中 A 0,0,）在 x处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为。62（ I ）求 f ( x) 的解析式；（ II ）求函数 g(x)6cos 4 xsin2 x1 的值域。f (x)614用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实34.【 2012 高考新课标文17】（本小

23、题满分12 分）已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A ， B， C 的对边， c =3asinC ccosA(1) 求 A ；(2) 若 a=2， ABC 的面积为3，求 b,c。35.【 2102 高考北京文15】（本小题共13 分）已知函数(sin xcos x) sin 2xf ( x)。sin x（ 1）求 f ( x) 的定义域及最小正周期；（ 2）求 f ( x) 的单调递减区间。15用常识提升知识， 以教养凸显文化。素诚教育素诚教育高中数学素质、诚实36.【 2012 高考陕西文17】（本小题满分12 分）函数 f ( x)Asin( x)1（ A 0,0 ）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，62（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；（ 2）设(0, ) ，则 f () 2 ，求的值。22uu