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1、高三文科数学统一测试试题数学（文科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150 分，考试时间120 分钟。第卷（选择题共 40 分）一、选择题 ：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。1设全集 U =1 ，3， 5， 7，9 ，集合A=1 ，9， |a 5| ，=5 ，7 ，则 a 的值为（）A 2B 8C 2 或 8D 2 或 82一个年级有 12 个班，每个班有 50名同学，随机编号为150 号，为了了解他们在课外的兴趣爱好， 要求每班的33 号学生留下列参加问卷调查，这里运用
2、的抽样方法是（）A 系统抽样法B 抽签法C随机数表法D分层抽样法3把函数 y sin(2x) 的图象向右平移个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（）48A B 2C 4D24从 4 台 A 型笔记本电脑与5 台 B 型笔记本电脑中任选 3 台，其中至少要有 A 型和 B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（）A 140 种B 84 种C 70 种D 35 种5 以原点为圆心，且截直线3x 4 y15 0 所得弦长为8 的圆的方程是（）A x2+y2=5B x2+y2=16C x2+y2=4D x2+y2=256对于不重合的两条直线 m， n 和平面，下列命题中的真命题是（）A 如果 m
3、, n， m， n 是异面直线，那么n /B 如果 m,n /， m， n 是异面直线，那么m/ nC如果 m, n， m， n 是异面直线，那么n与相交D 如果 m /, n /， m， n 共面，那么 m / nn1a4a2n 为（7已知数列 an 的前 n 项和 S 满足 Sn3 an 1 ，那么 Tna2）A 11B 21 2n2C (1) n1D 1(1 )1 n4n2228 若不等式 (1a) na lg a0 对于任意正整数n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （）A a|a 1B a | 0 a12C a | 0 a1 或a 1D a | 0 a1 或a 123第卷（非选择题共
4、 110 分）二、填空题 ：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9若 (x 2a)8的展开式中含 x6项的系数是448，则正实数 a 的值为。10在 ABC 中，角 A 、 B、 C 的对边分别为a， b， c，已知B, c边长为 4， a 边长3为 6，则 b 边长为， ABC 的面积为。11已知球 O 的一个截面的面积为，球心 O 到这个截面的距离为1，则该球的半径为，该球的体积为。12若函数 f (x) 2x 的反函数为 f1 ( x), 且f1 (a)f 1 (b)4, 则 11 的最小值是.abx1,y1 的取值范围是13实数 x， y 满足不等式组y
5、0,则 W。xy0,x14已知 P 是双曲线x2y 21(a0,b0) 的右支上一点， A 1， A 2 分别为双曲线的左、22ab右顶点， F1， F2 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2ab；a 2b2若 |PF |=e|PF |，则 e 的最大值为2 ；12 PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为a；2k21.若直线 PF 的斜率为 k，则 e1其中正确命题的序号是。三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本小题满分 12 分）已知 A、 B 两点的坐标分别为 A
6、(cos x, sin x), B(cos 3x ,sin 3x )，其中 x ,0.22222（）求 | AB |的表达式；（）若 OA OB1（O 为坐标原点），求 tan x 的值；322 | AB | ，求函数 f ( x) 的最大值和最小值。（）若 f ( x) AB16（本小题满分13 分）有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6 张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字 1，三张标有数字 2；黑色盒中有 7张卡片，其中4 张标有数字 0，一张标有数字 1，两张标有数字 2。现从红色盒中任意取1 张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取 2 张卡片（每张卡片抽出的可能性相等）
7、，共取 3 张卡片。（）求取出的3 张卡片都标有数字0的概率；（）求取出的3 张卡片数字之积是4的概率；（）求取出的3 张卡片数字之积是0的概率 .17（本小题满分14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD ，AD=BC=2 ，对角线 AC BD 于 O， DAO=60 ，且 PO平面 ABCD ，直线 PA 与底面 ABCD 所成的角为 60， M 为 PD 上的一点。（）证明： PD AC ；（）求二面角P AB C 的大小；（）若 DM : MP=k ，则当 k 为何值时直线 PB /平面 ACM ？18（本小题满分 13 分）已知函数 f (x
8、) x32x 2x 4, g( x) ax 2x 8( a 2)（）求函数f ( x) 极值；（）若对任意的x 0,)都有 f (x)g( x) ，求实数 a 的取值范围 .19（本小题满分 14 分）已知点 Pn (an , bn )(nN * ) 都在直线 l： y2x 2 上， P1为直线 l 与 x 轴的交点，数列 an 成等差数列，公差为 1。（）求数列 an ， bn 的通项公式；（）若 f (n)an， n为奇数， 问是否存在 kN * ，使得f ( k5)2 f (k ) 5 成bn，n为偶数，立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由。（）求证：11122, nN).| p
9、1 p3 |2| p1 pn |2( n| p1 p2 |2520（本小题满分14 分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，且准线方程为 y1. 直线 l 过 M（ 1，0）2与抛物线交于A ，B 两点，点 P 在 y 轴的右侧且满足 OP1 OA1 OB（ O 为坐标原点） 。22（）求抛物线的方程及动点P 的轨迹方程；（）记动点P 的轨迹为 C，若曲线 C 的切线斜率为，满足 MBMA ，点 A 到 y轴的距离为 a，求 a 的取值范围。参考答案一、选择题：每小题1D 2A 3 B5 分，满分40 分 .4 C5 D6 B7A8 C二、填空题：每小题5 分，满分30 分。（对有两空的
10、小题，第一空3 分，第二空2 分）9 210 2 7;6 38211 2;3113 1,1)1412280 分 .三、解答题：本大题满分15（本小题满分12 分）解：（ I） AB(cos 3xcos x) 2( sin 3xsin x ) 2 1 分222222cos2 x 2 分=4 sin 2 x 3 分=2 sin x(x 2,0) 4 分（）OA OBcos2x1 5 分3sin 2x1 cos2x1 , cos2 x1cos2x22323又 x 2,0,sin x3, cos x6 .7 分33tan x28 分2（） f (x)22 | AB |4sin 2x 4 sin xAB
11、= 4(sin x1 )21 9 分2x ,0, sin x 1,0 10 分2当 sinx=0 时， f ( x) min0; 11 分当 sinx= 1 时， f ( x)max8 12 分16（本小题满分13 分）解：（ I）记“取出的 3 张卡片都标有数字 0”为事件 A. 1 分C11 C4214 分P( A)C61 C7221（）记“取出的3 张卡片数字之积是4”为事件 B 。 5 分C21 C22C31 C11 C214P( B)C61C729 分63（）记“取出的3 张卡片数字之积是0”为事件 C. 10 分P(C) 1P(C)C51 C321153713 分16 21C61
12、C724217（本小题满分14 分）解：（ I） PO平面 ABCD DO 为 DP 在平面 ABCD 内的射影1 分又 AC BD AC PD3 分（）取AB 中点 N，连结 ON ， PN4 分四边形ABCD 为等腰梯形 ABD BAC ABD= BAC OA=OB ON AB.又 PO平面 ABCD ON 为 PN 在底面 ABCD 内的射影， PN AB PNO 即为二面角P AB C 的平面角在 Rt DOA 中， DAO=60 ， AD=2 AO=1 ，DO=3在 Rt AOB 中， ON28 分2 PO平面 ABCD OA 为 PA 在底面 ABCD 内的射影 PAO 为直线 P
13、A 与底面 ABCD 所成的角， PAO=60 在 Rt POA 中， AO=1 PO= 3 9 分在 RtPON 中， tan PNOPO6NO二面角P AB C的大小为 arctan6方法二：如图，以 O 为坐标原点， OB ， OC， OP 所在直线分别为y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.4 分A （ 0， 1， 0）， B （1， 0， 0）x 轴，P（ 0， 0，3)O（ 0， 0，0）5 分BP( 1,0,3), AB(1,1,0), OP(0,0,3) 6 分 PO平面 ABCDOP 为平面 ABCD 的法向量7 分设 n ( x, y, z) 为平面 PAB 的法向量n AB
14、0xy 0则x3z0n BP0yx令，则39 分3x 1n(1, 1,zx)33cosOP , nOPn17| OP | n |77710 分二面角 P AB C 的大小为 arccos7（）连结MO当 DM ：MP= 3 时，直线 PB/ 平面 ACM 11 分 AO=1 ，BO=AO=1 ， DO=3 DO ： OB= 3又 DM ： MP= 3在 BDP 中， MO/PB又 MO平面 MAC ， PB平面 ACM PB/ 平面 ACM 14 分18（本小题满分13 分）解：（ I） f ( x)3x24x11 分令 f (x)0解得 x11或x213当 x 变化时， f ( x), f
15、( x) 的变化情况如下：x（， 1） 1( 1, 1)133f (x)+00f ( x)极大值极小值2 分1(,)+4 分当 x= 1 时， f（ x）取得极大值为 4当 x=1时， f（ x）取得极小值为11227 6 分3（）设F()f(x)()x3(2)x24xgxaF ( x)0在 0，）恒成立F ( x) min0, x 0,) 8 分F (x) 3x 2(4 2a)x令 F (x)0, 解得 x0, x2a34 a 2，当0x2a 4时， F ()03x当 x2a4 时， F (x)010 分32a4时，0当)x(0,)F ( x) minF (3即 ( 2a4) 3a)( 2a
16、4 ) 2(24033解得 a 5， 2 a 512 分当 x=0 时， F（ x）=4 成立所以实数 a的取值范围是 a (2,5 13 分19（本小题满分14分）解（ I ）由题意知P1（ 1， 0）1 分 a11, b10 2 分 ana1(n 1) 11n 1n2 bn2an22(n2)22n2（）若 k 为奇数，则 f (k)akk2f (k5)bk 52k82k82(k2)5 无解6 分若 k 为偶数，则f ( k)2k2, f (k5)k3k 3 2(2k 2)5,解得 k4 8 分综上，存在 k=4 使 f (k5)2 f (k)5 成立 .9 分（）证明：| p1 pn|2(
17、n 1) 24( n1) 25( n1) 2（ 1）当11112成立。 11 分n2时 | p1 p2|2| p2 p3 |2.| p1 pn |255（ 2）当 n 3， nNx 时，11.1111.1| p1 p2 |2| p1 p3 |2| p1 pn |25 1222(n 1) 21 1211.1 12 分5 11 2 2 3(n 2)( n 1)1 (111)1 (11)2 成立 .13 分5n155综上，当 n2, nN *时 ,11.12成立14 分| p1 p2 |2| p1 p3 |2| p1 pn |2520（本小题满分14 分）解：（）由题意知抛物线的方程为x 22 py
18、( p0)，且 p1 .22 p=1 ，抛物线的方程为x22 y.2 分直线 l 的斜率不存在时，直线l 与抛物线交于一点，不符合题意。 3 分于是设直线l 的方程为yk( x1).联立yk( x1),得2220.x 22 y,xkxk设两交点为 A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 ).则 =4k 2 8k0k2或 k0, 4 分 x1x22k , x1 x22k. 5 分设( , )，则( , ),(,),(, ).P x yOP x y OA x1 y1 OB x2 y211,OPOA2OB2xx1x2k ,2y1y21 k (x1 1) k( x2y21)k 2k.2消去 k 得 yx2x. 7 分又 P 点在 y 轴的右侧 x0，又 xk， k2或 k0x2. 8 分动点 P 的轨迹方程为yx 2x( x2)（）曲线C 的方程为 yx 2x( x2)切线斜率y2x1( x2). 9 分3. 10 分 MB(x21, y2),MA( x1, y) ，11又 MBMAx21( x11)x2x11y2y1x22x12 x122x110.解得 x12411 . 12 分2 ax111(3) 13 分 a 的取值范围是： (13 ,1)(1,13 ). 14 分33