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1、【练 63】（ 2005 高考淅江东）如图, 在三棱锥 PABC 中 , AB BC ,ABBCkPA, 点 O 、 D分别是 AC 、 PC 的中点 ,1 时, 求直线 PA 与OP底面 ABC .(I)求证 OD底面 PAB ;(II)当 k平面 PBC 所成角的大小;(III)当 k 取何值时 ,O 在平面2PBC 的重心 ?PBC内的射影恰好为【答案】方法一：AC 、 PC 的中点 .OD / PAA（） Q 、分别为又 PA平面 PAB .OD / 平面 PAB .(II)Q ABBC , OAOCOA OBOC ,又Q OP平面 ABCPAPBPC .取 BC 中点，连结 PE ,
2、 则 BC平面 POE .作 OFPE 于 F, 连结 DF , 则 OF平面 PBC ,ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角 .ODF .又 OD / PA,PA 与平面 PBC 所成角的大小等于在 RtODF 中， sinODFOF210OD30PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin210.30（III）由 II知， OF平面 PBC ，F 是 O 在平面 PBC 内的射影 .Q D 是 PC 的中点，若点 F 是 VPBC 的重心，则 B 、 F 、 D 三点共线，直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD .Q OB PCPC BDPB BC ，即 K 1.反之，当
3、 K1时，三棱锥 OPBC 为正三棱锥，O 在平面 PBC 内的射影为PBC 的重心 .A方法二 :xPDCoBzPDoCQ OP平面 ABC, OAOC , ABBC ,BOAOB, OAOP,OBOP.y以 O 为原点，射线 OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ( 如图 ) ，设 AB2a,0,0), B(0,2C(2 a,0,0) .设 OPh ,则 P(0,0, h)a, 则 A(a,0) ,Q D22212(I)为 PC的 中 点 ，OD (2(h ) ,OD a,0,h) ， 又 PAa,0,- 1PAOD / PAOD / 平面 PAB . 422217 a ,uu
4、urQK27a),(II), 即 PA 2 ,hPA = (,0,2222可求得平面 PBC 的法向量 n(1,1,1 ),cos PA,nPAgn210 .7PAg| n |30设 PA 与平面 PBC 所成的角为, 则 sin| cosPA, n |210 ,PA 与平面 PBC 所成的角为30arcsin21030(III)PBC的重心 G(2 a, 2 a, 1 h),OG(2 a,2 a, 1 h).663663Q OG平 面 PBC.uuuruuuruuur(0,2 a, h),uuuruuur1 a21 h20.OGPB. 又 PBOGgPB2631h2a. PAOA2h2a,
5、即 k1 反之，当 k1 时，三棱椎 OPBC 为正三棱锥，2O 在平面 PBC 内的射影为PBC 的重心 .【易错点 64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。例 64 、（ 2003 年天津理12）棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（） A、 a3B 、 a3 C 、 a3 D 、 a334612【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而2a21112aa22a3，故选 C。AB2. V八面体3a6a222【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，
6、选择的前提条件是这个面上的高易求。【练 64】（2004 全国 20）如图四棱锥PABCD中，底面 ABCD为矩形， AB=8，AD=43 ，侧面 PAD为 等边三角形，并且与底面成二面角为 600 。求四棱锥 P ABCD的体积。解析：如图，去AD 的中点 E，连结 PE，则 PEAD 。作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连结 OE。根据三垂线定理的逆定理得OEAD ，所以PEO 为侧面 PAD与底面所成二面角的平面角。由已知条件可PEO 600 , PE6 ，所以 PO33 ，四棱锥 P ABCD的体积VP ABCD184 33396。3【易错点65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体
7、积法、换点法。例 65 、（2005 年春季上海19）如图，已知正三棱锥P ABC的体积为 723 ，侧面与底面所成的二面角的大小为600。（ 1）证明 PABC ；（ 2）求底面中心 O到侧面的距离。解析：（ 1）证明：取 BC 边的中点 D，连结 AD、 PD，则AD BC , PDBC ，故 BC平面 APDPABC 。（2）解：如图，由（1）可知平面 PBC平面 APD，则PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角。过点 O做 OEPD ， E 为垂足，则 OE就是点 O到侧面的距离，设OE为 h，由题意可知点O在 AD上，PDO600 , OP2h. Q OD2h ,BC4h,S ABC
8、3 4h43h22342Q 72 314 3h2 2h8 3h2 , h 3 即底面中心 O到侧面的距离为 3。33【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。【练 65】 如图，直三棱柱ABCA1 B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱 AA1 =2，D、 E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD上的射影是 ABD的垂心 G.（）求 A1 B 与平面 ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（）求点
9、A1到平面 AED的距离 .解析：连结 BG，则 BG是 BE在面 ABD的射影，即 EBG是 A1 B 与平面 ABD所成的角 .设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，Q D, E分别是的中点,又DC平面ABC ,CDEF为矩形CC1 , A1B连结是ADB的重心, G在直角三角形EFD中DE, GDF .EF 2FG FD1FD 2 ,Q EF1,FD3.L L3于是 ED2, EG1326 .3Q FCCD2,AB22, A1B2 3, EB3.sinEBGEG612 .EB333A1B与平面 ABD所成的角是2arcsin.3（）连结 A1 D，有 V A1AEDVDAA1EEDA
10、B, EDEF , 又 EFABF ,ED平面 A1 AB ,设 A1到平面 AED的距离为 h，则 S AED hS A1 ABEDA1 K26 .26故 A1 到平面 AED的距离为.33【易错点62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。例 62 、 如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1 C1 中，已知 AA1 A1C1 a，E 为 BB1 的中点，若截面 A1EC侧面 AC1 求截面 A1 EC与底面 A1 B1C1 所成锐二面角度数解法 1 截面A1EC侧面AC1 A1 C连结 AC1，在正三棱ABCA1B1 C1 中，3截面 A1 EC侧面 AC1 ，数就是所求二面
11、角的度数易得A1AC145，故所求二面角的度数是45解法 2 如图 3 所示，延长 CE与 C1 B1 交于点 F，连结 AF，则截面 A1 EC面 A1 B1 CAFEB1面 A1B1 C1 ，过 B1 作 B1GA1 F 交 A1F 于点 G，连接 EG，由三垂线定理知 EGB1 就是所求二面角的平面角即所求二面角的度数为45【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（ 2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角
12、；（ 3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；【练 65】如图，已知直三棱柱ABC A1B1 C1，侧棱长为2，底面 ABC中，B=90， AB=1， BC=3 ，D 是侧棱 CC1 上一点，且 BD与底面所成角为30 .（1）求点 D 到 AB所在直线的距离.（ 2）求二面角A1 BD B1 的度数 .解析： CC1面 ABC， B=90， DBAB， DB的长是点 D 到 AB所在直线的距离， DBC是 BD与底面所成的角，即 DBC=30，BC= 3BC3， BD=2 .cos DBCcos30过 B1 作 B1 EBD于 E，连 A1E， BB1 AB，ABBC，且 BB1
13、 BC=B， AB平面 BCC1B1，A1 B1 AB，A1B1平面 BCC1B1 ，B1 EBD，A1 EBD，即 A1 EB1 是面 A1BD与面 BDC1B1 所成二面角的平面角.连 B 1 D .BC=3 ，BD=2，CD=1 . CC1=2，D 为 CC1 的中点S BDB1= 1 SBCC1B1 1 B1EBD=1 BCCC1 即2224113 在 Rt A1 B1E 中，B 1E2=3 2B1 E=22tan A1EB1=A1B1133B1 E3,A1 EB1arctan336【易错点 66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与双曲
14、线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。例 66 、过点（ 0，3）作直线 l ，如果它与双曲线x2y21 只有一个公共点，则直线l 的条数是（）43A、 1 B 、2C、3D 、 4【易错点分析】在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的。解析：用数形结合的方法：过点（ 0，3）与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的，有两条；一类是与双曲线相切的有两条。如图所示：y (Ox故选（ D）【知识点归类点拨】直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种：一是将
15、直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程ax2bx c 0 。（1）若 a0,0，直线与双曲线相交，有两个交点；若a0 ，直线与渐进线平行，有一个交点。（2）若 a0,0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。（3）若 a0,0，直线与双曲线相离，没有公共点。二是可以利用数形结合的思想。【练 66】（ 2004 年浙江，理 21）如图已知双曲线的中心在原点， y 右顶点为 A（1，0） P、Q在双曲线的右支上，点 M（ m，0）到直线 AP的距离为 1。Ox（1）若直线 AP的斜率为 1，且 k3 , 3 ，求实数 m的取值范围。35解析：（ 1）如图，由条件得直线AP 的方程为yk( x1) ，即 kxyk0Q 点 M到直线 AP 的距离为 1。mkk1， Q 即 m1k211k2121kkQ k3 ,32 3m12 解得23m3或 1 m1231m 的取值3333范围是1,12 3U 123 ,3P33AoMQ6