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1、这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1)（3）1/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)（4）1/( a+b)=1/(a- b)( a- b)（5）nn!=(n+1)!-n!公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。( 关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n2n
2、3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：an+1- an=如 an=-2n2+29n-3 (an0) 如 an= an=f(n) 研究函数 f(n) 的增减性如 an=an2+bn+c(a0)6、在等差数列中 , 有关 Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当 a10,d0 时，满足 an 的项数 m使得 Sm取最大值 .(2) 当 a10 时，满足 an 的项数 m使得 Sm取最小值 .在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。对于较长的复杂算式， 单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。 如果算式中每一项
3、的排列都是有规律的， 那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。 通常的做法是： 把算式中的每一项裂变成两项的差， 而且是每个裂变的后项 （或前项） 恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例 1、计算 12+23+34+45+ +9899+99100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5 98、 99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1，因数个数为 2。12=（123- 012）（ 13）23=（234- 123）（ 13）34=（345- 234）（ 13）45=（456- 345）（ 13）9899=（9899100 - 979899）（ 13）99100=（99100101 - 9899100）（ 13）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（ 99100101 - 012） 3。解： 12+23+34+45+ +9899+99100=（99100101- 012）3=333300计算之裂项习题1计算之裂项习题2