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1、圆周运动的临界问题一 与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最2大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm m v ，静摩r擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。【典例 1】 (多选 )(2014 新课标全国卷， 20)
2、 如图 1，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上， a 与转轴OO的距离为 l ，b 与转轴的距离为 2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A b 一定比 a 先开始滑动B a、 b 所受的摩擦力始终相等C kg 是 b 开始滑动的临界角速度2lD当 2kg时， a 所受摩擦力的大小为kmg3l答案 AC解析 木块 a、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m kmg 相同。它们所需的向心力由F 向
3、m2r知， Fa Fb，所以 b 一定比 a 先开始滑动， A 项正确； a、b 一起1绕转轴缓慢地转动时， F 摩 m2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错； b 开始滑动时有 kmgm22l，其临界角速度为 bkg，选项 C 正确；当 2kg 时， a 所受摩擦力大小为 Ff2l3l m2 r 2 kmg，选项 D 错误3【典例 2】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上 O、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上， OA OBAB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动， 三角形 OAB 始终在竖直平面内， 若转动过程 OB 、 A
4、B 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()A OB 绳的拉力范围为03 mg3B OB 绳的拉力范围为3mg 23mg33C AB 绳的拉力范围为3 mg 23 mg33DAB 绳的拉力范围为0 23 mg3答案 B解析 当转动的角速度为零时， OB 绳的拉力最小， AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则 2F1cos 30mg， F13AB 绳的拉力刚好等于零时， OBmg，增大转动的角速度，当3绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为 F2，则 F2cos 30 mg，F2 2 3 mg，因此 OB 绳的拉力范围为3 mg 23 mg，AB 绳333的拉力范围为 0 3mg，
5、B 项正确。32【典例 3】(多选 )如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K 倍， A 放在距离转轴 L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2 转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是 ()A当 2Kg时， A、B 相对于转盘会滑动3LB当 Kg时，绳子一定有弹力2LKg2KgC在2L3L 范围内增大时， B 所受摩擦力变大D 在 02Kg范围内增大时， A 所受摩擦力一直变大3L答案 ABD解析：当 AB 所受静摩擦力均达到最大值时，A、B 相对
6、转盘将会滑动， KmgKmg m2Lm22L，解得： 2Kg，A3L项正确；当 B 所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力， 即：Kmg m22L ，解得： KgKg2L ， B 项正确；当2L 2KgB 所受静摩擦3L 时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，Kg力一直保持最大静摩擦力不变， C 项错误； 02L 时，A 所受摩擦力提供向心力，即Ff m2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当Kg2Kg时，以 AB 整体为研究对象， FfAKmg2L3Lm2Lm2 2L，可知 A 受静摩擦力随角速度的增大而增大，D项正确【典例 4】如图所示，两绳系一质量为 m0.1kg 的小球，上面绳长 L2m
7、，两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与 45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad /s 时，上、下两绳拉力分别为多大？3A30B45C解析： 当角速度 很小时， AC 和 BC 与轴的夹角都很小， BC并不张紧。当 逐渐增大到 30 时， BC 才被拉直（这是一个临界状态），但 BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1，则有： TACcos30 mgTACsin30 m12Lsin30 将已知条件代入上式解得1 2.4 rad s 当角速度 继续增大时 TAC 减小， TBC 增大。设角速度达到2时， TAC0（这又是一个临界状态），则有：TBCcos45 mg
8、2Lsin30T sin45 mBC2将已知条件代入上式解得23.16 rad s所以当 满足2.4 rad s 3.16 rads，AC 、BC 两绳始终张紧。本题所给条件3 rads，此时两绳拉力 TAC、TBC 都存在。TAC sin30 TBCsin45 m2Lsin30 TAC cos30 TBCcos45 mg将数据代入上面两式解得TAC 0.27N，TBC 1.09N【练习】 1 如图，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度 做匀速圆周运动，紧贴在一起的 M、N 两物体 (可视为质点 )随圆盘做圆周运动，N 恰好不下滑， M 恰好不滑动，两物体与转轴距离为 r ，已知M 与 N 间的动摩
9、擦因数为 ，M 与圆盘面间的动摩擦因数为，12最大静摩擦力等于滑动摩擦力 12)与 应满足的关系式为 (41A1 21B 121 2C12 1D 112答案 C解析：以 M、N 整体作为研究对象，则受力如图1 所示，静2摩擦力提供向心力，有Ff(mN mM ) r，且 Ff2(mNmM)g，以 N 为研究对象，受力分析如图 2 所示， M 对 N 的弹力 FN 提供向心力，有 FN mN2r，且 Ff1FNmNg，联立各式得 121，故 C 正确图 1图 22 (2018 四川资阳一诊 )(多选 )如图所示，水平转台上有一个质量为 m 的物块，用长为 l 的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖
10、直转轴的夹角 30，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间1动摩擦因数为 3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动， 角速度为 ，重力加速度为 g，则()A 当 g时，细绳的拉力为 02lB当 3g时，物块与转台间的摩擦力为 04l54g4C当 3l时，细绳的拉力大小为3mgg1D当 l时，细绳的拉力大小为3mg答案 AC解析：选当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持2，解得 力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时 mgm lsin 30112g 3l ，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要2离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan 30 m2223
11、g13g2lsin 30 ，解得 3l ，由于 4l ，所以当 3g时，物块与转台间的摩擦力不为零，故B 错误；由于g4l2l1g1 w，所以当 2l时，细绳的拉力为零， 故 A 正确；由于 gg22fFsin 30mlsin 30，l ，由牛顿第二定律得l11因为压力小于 mg，所以 f3mg，解得 F 3mg，故 D 错误；当 4g 3l 2 时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力4g23提供向心力，则 mgtan m3llsin ，解得 cos 4，故 Fmg4 mg，故 C 正确cos 33 如图所示，细绳一端系着质量 M0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着
12、质量 m0.3kg 的物体， M 的中与圆孔距离为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N。现使此平面绕中心轴线转动， 问角速度 在什么范围 m 会处于静止状态？（ g10m / s2）解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。 而 M 与平面静止时有两个临界状态：当 为所求范围最小值时， M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。6此时，对 M 运用牛顿第二定律。有T fmM 12r且Tmg解得12.9 rads当 为所求范围最大值时， M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力 2N。再对 M 运用牛顿第二定律。有2rT fmM 2解得 6.5 rads2所以，题中所求 的范围是：2.9 rads6.5 rad sMr o1m78