《高考数学研讨6：2013理科题评分标准.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学研讨6：2013理科题评分标准.docx（31页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2013 理科（ 17）题评分标准在ABC 中，内角 A, B, C的对边分别为 a,b,c且7 .a c 6, c2, cosB9（）求 a,c 的值；（）求 sin( AB) 的值 .（I ）解法一： 由余弦定理b2 a2 c2 2ac cos B ， 2 分得 b2( ac) 22ac(1cosB) ，或：得2(6a)27 ， 1 分 (3 分 )4 a2a(6 a)（所以 288 (a9（所以ac9 ，）3)20 ，）解得 a3，c 3 .3 分 (6 分 )解法二： 在ABC 中，有余弦定理因为2222 3 分所以 a3， c3 。 3 分ac72ac,9ac6,（II ）sin B
2、242 ，1 cosB91 。 3 分sin Aa sin B22 ，cos A1sin2Ab334 2 ） 2 分sin( AB)sin Acos Bcos Asin B （或22712 .39391 分（ 12 分）1027解法三（面积法 ） ac 6 ，半周长(ac) b，p243 分1 ac sin B，S ABCp( pa)( pb)( pc)2故1 ( ac)2 1 ( 7 )2 ，8(4a)(4c)490 ，( ac9)(ac72)解得 a3， c3. 3 分（ 6 分）注 1、得分模块：准备3 分（ sin B,sin A,cos A 各 1 分） +求值 3 分；2 、采点给
3、分时，正弦定理1 分，sin( A102 1分，B)271分 .sin( AB)sin Acos Bcos A sin B（ II ）的其他解法解法一（角B 法）AB( BB) ，22BB)BB10 2 。 3 分sin( A B) cos(coscos B sinsin B解法二（角 A 法）22227B2 A, AB( A 2 A)，sin Acos B1cosB 22 ，223cos A1 sin2A1，sin 2 A 2sin Acos A42 ，39cos2 AcosB7 。3 分9sin( AB)sin( A2A)sin Acos 2A cos A sin 2 A102 。 3 分
4、过 B 做 AC 的垂线，垂足为D.27解法三（几何法）在 RtABD 中， BD2 2 ，sin A22 , cos A1 。33（以下略）解法四（几何法）过C做AB的垂线，垂足为 .在 RtDBCD中，BDBC cos B7 ，3故 CDBC 2BD 24 2 ， sin B42 ；在 Rt中，3，9ACDAD2, AC23故221 .3 分sin A3, cos A3（以下略）2013 理科 18（评分标准）(18)( 本小题满分12 分 )如图所示，在三棱锥 PABQ中， PB平面 ABQ， BA=BP=BQ，D， C， E， F 分别是 AQ， BQ， AP，BP 的中点， AQ=2
5、BD， PD与 EQ 交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连接 GH。 ( ) 求证： AB GH；（ 4 分）( ) 求二面角 D GH E 的余弦值。（ 8 分）( )证法一：（线面平行）证明：因为E 、 C、 D、 F 分别是 AQ、 BQ、 AP、 BP的中点，所以 EF AB, DC AB ， 1 分（ 1 分）所以EFDC , 又EF 平面 PCD， DC 平面 PCD ，（或 DC平面 QEF，GH平面 QEF ）所以， EF平面 PDC ，（或 DC平面 QEF ） 1 分（ 2 分）EF平面 EFQ,平面 EFQ I 平面 PDC GH， 1 分（ 3 分）（或DC 平面 P
6、DC, 又 平面 EFQ I 平面 PDCGH ）所以 EF GH, （或DC GH, ）又 EF AB, （或 DC AB, ）即 ABGH 4 分（ 4 分）( ) 证法二：（线线平行）证明：因为 G、 F 分别是 PAQ和 PBQ的重心，（所以1 FQ , EG，） 所以 EFGH （ DCGH ） 2 分（ 2 分）FH1 EQ33又 E 、 F（ D、 C）分别是 PA、 PB（ QA、 QB）的中点，所以 EF AB （ DC AB ）， 1 分（ 3 分）所以 AB GH 4 分（ 4 分）( ) 证法三：（向量法）证明：因为 G、 F 分别是 PAQ和 PBQ的重心，所以 uu
7、ur1 uuuruur1 uur ，GEQE,FHFQ因为 E 、 F 分别为 PA、PB 的中点， uur1 uuur33 2 分（ 2 分）FEBA,2所以 uuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuruuur1uuruuuruuur1uurGHGEEFFHQEEFFQEF(FQQE)EFFE2 uur21 uuur3uuur3 uuur331 uuur ，即 GHAB， 1 分（ 3 分）3EF3(AB)AB23因为直线 GH和 AB 不共线，所以ABGH 。 1 分（ 4 分）( ) 证法四：（坐标法）在 ABQ 中， AQ=2BD， AD=DQ，所以ABQ 900 ，又
8、 PB 平面 ABQ ，所以 BA、 BQ、BP两两垂直。如图建立空间直角坐标系B-xyz ， 2 分（ 6 分）（ * ）设 BQ=BA=BP=2，则 A(2,0,0), D (1,1,0) C (0,1,0), P(0,0, 2) 。因为 G、 H分别是 PAQ和 PBQ的重心，所以22222，G ( ,), H (0,3)3333即 uuur(2uur， 2 分（ 2 分）GH3, 0, 0), BA( 2, 0,0)因为 uuur1uur ，且直线 GH、 AB 不共线，GHBA3所以ABGH 。 2 分（ 4 分）说明：10在 ( ) 全作对的情况下 ，建系的 2分只有在做了 ( )
9、 的情况下给分； 如果 ( ) 没做则只能给下面的4 分( ) 证法五：（平几法）取 PQ的中点 R，连接 AR、BR，易知 AR过 G点， BR过在三角形 APQ中， AG2在三角形 PBQ中， BHGR，HR在三角形 RAB中，1AGBH所以 AB GH ，GRHRH，2，1( )证法一：（坐标法1）在中，所以，ABQAQ=2BD， AD=DQ0ABQ 90又 PB 平面 ABQ ，所以 BA、BQ、BP两两垂直。 1 分（ 1 分）如图建立空间直角坐标系B-xyz ， 1 分（ 2 分）设 BQ=BA=BP=2， 则 E(1,0,1), F (0,0,1), Q (0, 2,0) 。D
10、(1,1,0), C (0,1,0), P(0,0, 2) ，uuuruuurEQ( 1,2, 1), FQ(0,2,1),uuuruur1,2) ，DP( 1, 1,2),CP (0,设平面 EFQ的一个法向量为ur，m ( x1 , y1, z1 )则 ur uuurm EQ 0,x12 y1z10,uruuur2 y1z10,x1 0, zmFQ 0.令y 1, 则 ur，m (0, 1, 2)r设平面 PDC的一个法向量为，n(x2 , y2 , z2 ) 2 分（ 8 分），2 y 1 分（ 9 分）则 ruuur0,x2y22z20,，n DP2z2ruur0.y22z20,x2
11、0, y2n CP令z21,则 r， 1 分（ 10 分）n(0, 2, 1)所以urrurr4， 1 分（ 11 分）cosm nm, nurr5| m | n |因为二面角 DGHE 为钝角，所以 二面角 F BDC 的余弦值为4 . 2 分（ 12 分）5证法二：（几何法）在 ABQ 中， AQ=2BD， AD=DQ，所以ABQ900 ，即 AB BQ， 1 分（ 5 分）因为 PB平面 ABQ， 所以 PB AB，由 BP I BQB ，所以 AB平面 PBQ。 1 分（ 6 分）由 ( ) 知 ABGH ，所以 GH 平面 PBQ， 1 分（ 7 分） FH 平面 PBQ ，所以 G
12、H FH，同理可得 GH CH，所以FHG 为二面角 DGHE 的平面角 1 分（ 8 分）设 BQ=BA=BP=2，连接 FC，在 Rt FBC中，由勾股定理得在 Rt PBF中，由勾股定理得FC2 ， 1 分（ 9 分）PC5 。又 H 为 PBQ的重心，所以15 ，同理5 ， 1 分（ 10 分）HCPC3FH在 FHC中，由余弦定理得33552，4cosFHC995259 2 分（ 12 分）即 二面角 D GH E 的余弦值为4 。52013 理科 19（评分标准）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是1 外，其余每局比赛甲队
13、获胜的概率都是2 ，假设各局比赛的结果相互独立23（）分别求甲队以3:0,3:1， 3:2胜利的概率 ;（）若比赛结果为3:0或 3:1 ，则胜利方得3 分、对方得 0 分；若比赛结果为利方得 2 分，对方得 1分. 求乙队得分 X 的分布列及数学期望。解法一：省答案标准-二项概率法（）记“甲队以3:0胜利”为事件A ，“甲队以 3:1胜利”为事件A ，“甲队以 3:212胜利”为事件A ，3由题意，各局比赛结果相互独立，故( 2)382 分P( A )13274 分P( A2)222228C3( 3)(1 3)3 276 分P(A3 ) C2 (2)2 (12)2 1 4433227所以，甲
14、队以 3:0,3:1胜利的概率都为8，以 3:2胜利的概率为4 .3:22727（）设“乙队以胜利”为事件A，由题意，各局比赛结果相互独立，44 .所以P( A4 ) C42 (12)2 (2)2(1 1)33227由题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P( X 0) P( A1A2 ) P( A1) P( A2 )162748 分P( X1)P( A3 )279 分P( X2)P( A4)4273:2 ，则胜7 分P( X 3)1P( X0)P( X1)P( X2)310 分27故 X 的分布列为0123X16443P2727272711 分所以0161424
15、33712 分EX272727279解法二：事件法解：设事件 A = 甲队 3:0胜 ， A = 甲队 3:1 胜 ， A= 甲队 3:2 胜 ，123Bi = 甲队第局胜 ， i 1,2,3,4,5（）由事件的的独立与互斥性得：P(A )P(B1B 2 B3 )P(B 1) P(B2 )P( B3 ) ( 2)382 分1327P(A2 ) P(B1 B 2 B3 B4B1 B 2B3 B4B1 B 2 B3 B4 )P(B1 )P(B2 )P(B3 )P(B4 ) P(B1)P( B 2 )P(B3 )P(B4 ) P( B1) P(B2 )P( B3)P( B4 )2 3284 分3 (
16、 3) (13)27P( A3 )P(B1 B2B3 B4 B5B1 B2 B3 B4 B5B1 B2 B3 B4B5B1 B2 B3B4 B5B1 B2 B3 B4 B5B1 B2 B3 B4 B5 )P(B1)P(B2 )P( B3 )P( B4 ) P(B5 )P( B1)P(B2 )P(B3) P(B4 ) P(B5 )P(B1)P( B2 )P(B3 )P(B4 ) P(B5 )+P(B1)P(B2 )P(B3 )P(B4 )P( B5 )P(B1)P( B2 )P(B3 )P(B4 ) P(B5 )P(B1) P(B2 )P(B3 )P( B4 ) P(B5 )6 (2)2 (2)
17、 214313227所以，甲队以 3:0, 3:1胜利的概率都为8，以 3:2胜利的概率为 4 .27276 分（）随机变量X 的所有可能取值为 0,1,2,3，由事件的的独立与互斥性得：P( X 0) P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)167 分27P( X)P( A )48 分1327P( X2)P(B1 B2 B3 B4 B5 B1B2B3B4 B5B1 B2 B3B4 B5B1B2 B3 B4 B5B1B2 B3 B4 B5B1B2 B3B4 B5 )6(22 (2)2(1)49 分3)131227P( X3) P(B1 B2 B3B1B2 B3 B4B1B2 B3 B4
18、 B1 B2 B3 B4)(12 32(12 3=310 分3333)27)故 X 的分布列为0123X16443P2727272711 分所以016142433712 分EX2727272792013 理科 20（评分标准）设等差数列 an 的前 n 项和为，且，a2n2an1.SnS4 4S2(I) 求数列 an 的通项公式；(II)设数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，且an1（为常数）。令 cnb2n（ n N * ），Tn求数列 cn 的前 n 项和 Rn .2n解：（ I ）解法（一）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d .由 S44S2，所以 4a1 6d4(2a1 d)
19、, 即 d2a1，（2 分）又 a2 n2an 1， a1(2n1)d2a12(n 1)d1，即 d a1 1，（3 分）解得 a11 d2（5 分）所以 an2n1， nN *（6 分）（I ）解法（二）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d .由 S44S2 ，所以 4a16d4(2a1d) , 即 d2a1 ，（2 分）又 a2 n 2an 1，所以 a22a11 ， a1d2a11，即 da11，（ 3 分）解得 a11 d2（5 分）所以 an2n1， nN *（6 分）注： 得分点：两个方程（d2a1或者 da11 ）全对给3 分，对一个给两分；求对首项a1、公差 d 、或者 a
20、n2n1，分别给1 分（此时不管中间过程有无） 。(II)解法（一）由题意知Tnan12n所以 n2 时，bnTnTn1n2 . . . （1 分）2n1. . （ 2 分）故cnb2n2n2(n1)(1n 1， nN * 22n1)4 . . （3 分）所以Rn0(1)01(1)12(1) 23(1)3.(n1)(1) n 144444 . （ 4 分）则 1Rn0(111(1)22(133(14.(n1)(1)n4)4)4444两式相减得 3 Rn( 1 )1( 1 )2( 1) 3( 1 )4.( 1)n 1( n1)( 1 )n44444441( 1)n144( n)n11)(144. . （ 5 分）113n(1)n334整理得13n1Rn(494n1)