《高中数学必修4北师大版2.3从速度的倍数到数乘向量教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修4北师大版2.3从速度的倍数到数乘向量教案.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3 从速度的倍数到数乘向量（2 课时）一、教学目标：1. 知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（ 2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（ 3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（ 4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2. 过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积 （强调： 1“模”与“方向”两点 ) 2 三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得
2、到平面向量基本定理（定理的本身及其实质） 。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 .3. 情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二. 教学重、难点重点 : 1.实数与向量积的定义及几何意义.2. 平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点 : 1. 实数与向量积的几何意义的理解 .2. 平面向量基本定理的理解 . 三. 学法与教
3、学用具学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：(2) 反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 .教学用具 : 电脑、投影机 . 四. 教学设想【探究新知】1思考 :（引入新课）已知非零向量a作出a +a + a 和(a )+(a )+(a )aaaaaOABCaaaOC = OANMQPABBC =a +a +a =3aPN = PQQMMN =( a )+(a )+(a )=3 a讨论： 3a 与 a 方向相同且 |3 a |=3| a |3 a 与 a 方向相反且 | 3 a |=3|a |2从而提出课题：实数与向量的积；实数与向量a 的积，记作：a定义
4、：实数与向量a 的积是一个向量，记作： a| a |=| | a | 0 时 a 与 a 方向相同； 时 两边向量的方向都与a 同向当 0 且1 时在平面内任取一点 O，B1作OA=aAB=bOA = aA B = bB11 1则 OB =a +bOB1 a + bOA 1由作法知： AB A1 B1有 OAB= OA1B1 |AB |= |A A1 B1| | OA1 | A1 B1 | OAB OA1B1| OA | AB | | OB1 |AOB= A1OB1| OB |因此， O，B，B1 在同一直线上， | OB1 |=| OB |OB1 与 OB 方向也相同( a +b )= a
5、+ bB当 0 时 可类似证明： ( a +b )= a + bA 1 式成立OA【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）B1若有向量 a ( a0 ) 、 b ，实数，使 b = a则由实数与向量积的定义知： a 与 b 为共线向量若 a 与 b 共线 ( a0 ) 且 | b | ：| a |= ，则当 a 与 b 同向时 b = a ；当 a 与b 反向时 b = a从而得：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 b = a . 展示投影 例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例 2. （见 P97 例 2）略例 3. （P97 例 3 改编）如图： O
6、A ， OB 不共线， P 点在 AB上，求证：存在实数.且1P使 OPOAOBBOA（证明过程与P97 例 3 完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）【巩固深化，加强基础】1. 见 P98 练习 1、2、3、4 题.2. 如例 3 图，不共线，OAOBAP =tAB(tR)用OA ， OB表示OP.【探究新知、展示投影】1思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？对于平面上两个不共线向量e1 ， e2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2教师引导学生分析设 e1 ， e2是不共线向量， a 是平面内任一向量aMCe1OA =e1e2e1O
7、C =a =OM +ON =1e1+2e2OM = 1N BOB =e2ON =2 e2得平面向量基本定理：如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使 a = 1e1 +2 e2 . 注意几个问题 ：e1 、 e2 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底. 这个定理也叫共面向量定理. 1， 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量 .同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 . 展示投影 例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补充； ）例 41kg 的重物在两根细绳的支持下
8、，处于平衡状态（如图） ，已知两细绳与水平线分别成 30 , 60 角，问两细绳各受到多大的力？解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90| OP | =1 (kg)P1OP=60P2OP=30 | OP1 | =| OP | cos60 =1? 1 =0.5(kg)2| OP2 |=| OP |cos30=1? 3 =0.87(kg)306020.5 kg 和 0.87 kgP1即两根细绳上承受的拉力分别为=，例 5. 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 AB=P2， ADbaP用 a ， b 表示 MA ， MB ， MC 和 MD解：在 ABCD 中DCAC=AB+AD=
9、a +bbMDB = ABAD =abAB MA =11(+b )=11a2 AC =2a2 a2 bMB= 1 DB =1 ( ab )= 1 a1bMC= 1AC =1 a + 1b222222211a1MD = MB =2 DB =2+ 2b例 6. 如图，在 ABC中，AB=a ,BC=b，AD为边 BC的中线， G为ABC的重心，求向量 AG解 法 1 ： AB = a ,BC = b则1 1ABD = 2 BCa = 2 b AD = AB + BDBbDC AG = 2a +1b3A 3=a+1=22 b 而 AG3AD解法 2：过 G作 BC的平行线，交AB、AC于 E、Fa2
10、2EGF AEF ABC=AE=ABaBbC332 D11212EF = 3 BC = 3 bEG = 2 EF = 3 b AG = AE + EG =a+ 3 b3例 7设 e1 , e2 是两个不共线向量，已知AB =2 e1 +k e2 ,CB =e1 +3e2 ,CD =2e1 e2 ,若三点 A, B, D共线，求 k 的值 .解： BD =CDCB =(2 e1 e2 )( e1 +3e2 )= e1 4e2A, B, D 共线 AB , BD 共线存在使 AB = BD即 2 e1 +k e2 =( e14 e2 )2k= 8k4【巩固深化，发展思维】1在 ABCD 中，设对角
11、线 AC =a ， BD =b 试用 a ,b 表示 AB ， BC2. 已知 ABCD 的两条对角线 AC与 BD交于 E，O是任意一点，求证： OA + OB +OC +OD =4 OE .3. 见 P100 练习 1、 2 题. 学习小结 （学生总结，其它学生补充）数乘向量的几何意义理解.向量 b 与非零向量a 共线的条件是：有且只有一个非零实数，使 b = a .平面向量基本定理的理解及注意的问题.五、评价设计1作业：习题2.3 A 组第 4、5、6、 7 题2. （备选题）如图，已知梯形 ABCD中， ABCD且 AB=2CD，M, N分别是 DC, AB 中点，设 AD =a ,AB =b ，试以 a ,b 为基底表示 DC , BC ,MN11解： DC =2 AB= 2b连 ND 则 DC NDNC=a1DMBCNDADANb2O又 DM =112 DC= 4 bAMB MN =DNDM = CBDM =BC DM=(1)11a+ 2 b4 b =4 ba3. 体会向量在平面几何中的应用六、课后反思：