汇总小学阶段奥数知识点.docx

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1、2011 年小学奥数（知识点梳理）前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的小学数学奥林匹克 、中国少年报社主编的华杯赛教材、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系， 重新整合划分， 构建十七块体系 （其第十七为解题方法汇集， 可补充相应杂题） ，原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。概述一、计算1 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运算技巧一般而言：加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中，统一以分数形式。带分

2、数与假分数的互化繁分数的化简2 简便计算凑整思想基准数思想裂项与拆分提取公因数商不变性质改变运算顺序 运算定律的综合运用 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质 增减括号的性质 变式提取公因数形如： a1ba2b.anb(a1a2.an )b3 估算求某式的整数部分：扩缩法4 比较大小 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比 利用倒数性质若 111，则 cba. 。形如：m1m2m3 ，则n1n2n3 。abcn1n2n3m1m2m35 定义新运算6 特殊数列求和运用相关公式： 1 23nn n12n n 1 2n 1 1222n2 ann n1n2n6n 22 1323n31 2n

3、2n 14 abcabcabc1001 abc7 1113 a 2b2ab ab 1+2+3+4（ n-1 ） +n+（n-1 ） +4+3+2+1=n 2二、数论1 奇偶性问题奇奇 =偶奇偶 =奇偶偶 =偶2 位值原则奇奇 =奇奇偶 =偶偶偶 =偶形如： abc =100a+10b+c3 数的整除特征：整除数特征2 末尾是 0、 2、 4、 6、 83 各数位上数字的和是 3 的倍数5 末尾是 0 或 59 各数位上数字的和是 9 的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11 的倍数4 和 25末两位数是4（或 25）的倍数8 和 125末三位数是8（或 125）的倍数7、

4、11、 13末三位数与前几位数的差是7（或 11 或 13）的倍数4 整除性质 如果 c|a 、c|b ，那么 c|(ab) 。 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 如果 b|a ，c|a ，且（ b,c ） =1, 那么 bc|a 。 如果 c|b,b|a, 那么 c|a.a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。5 带余除法一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0） , 那么一定有另外两个整数q 和 r ， 0 r b, 使得 a=b q+r当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r 0 时，我们称 a 不能被 b 整除， r 为 a 除以 b 的余数， q 为

5、 a 除以 b 的不完全商 （亦简称为商） 。用带余数除式又可以表示为 ab=q r, 0 r b a= bq+r6. 唯一分解定理任何一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 a 1 p2 a 2 .pk ak7. 约数个数与约数和定理a 1a 2ak设自然数 n的质因子分解式如n= p1 p2.pk那么：n的所有约数和： （ 1+P1+P12 + p1 a 1 ）（1+P2+P22 + p2 a 2 ）（ 1+Pk+Pk2 + pk ak ）8.同余定理 同余定义：若两个整数a， b 被自然数m除有相同的余数，那么称a， b 对于模示为 a b(mod m)若两个数a，

6、 b 除以同一个数c 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被c 整除。两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。9完全平方数性质m同余，用式子表平方差：A 2 -B 2 =（ A+B）（ A-B），其中我们还得注意A+B，A-B 同奇偶性。约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为 3的是质数的平方。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。平方和。10孙子定理（中国剩余定理）11辗转相除法12数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、几何图形1 平面图形多

7、边形的内角和N 边形的内角和 =(N-2 ) 180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系S1 S2 =a b ；S1S2=S4 S3 或者 S1S3=S2S4相似三角形性质（份数、比例） abch;S1S2=a2 A2ABCH S1 S3 S2 S4= a2 b2 ab ab ;S=（ a+b）2燕尾定理ADGFBECS ABG： S AGC S BGE： S GEC BE：EC；S BGA： S BGC S AGF： S GFC AF：FC；S AGC： S BCG S ADG： S DGB

8、 AD：DB；差不变原理知 5-2=3 ，则圆点比方点多 3。隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系。组合图形的思考方法 化整为零先补后去正反结合2 立体图形规则立体图形的表面积和体积公式不规则立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形水中浸放物体：V 升水 =V 物测啤酒瓶容积：V=V空气 +V 水三视图与展开图最短线路与展开图形状问题染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。四、典型应用题1 植树问题开放型与封闭型间隔与株数的关系2 方阵问题外层边长数 -2= 内层边长数（外层边长数 -1 ）4=外周长数外层边长数2- 中空边长数2=实面积数3 列车过桥问题车长 +桥长 =

9、速度时间车长甲 +车长乙 =速度和相遇时间车长甲 +车长乙 =速度差追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长 =速度和相遇时间车长 =速度差追及时间4 年龄问题差不变原理5 鸡兔同笼假设法的解题思想6 牛吃草问题原有草量 =（牛吃速度 - 草长速度）时间7 平均数问题8 盈亏问题分析差量关系9 和差问题10和倍问题11差倍问题12逆推问题还原法，从结果入手13代换问题列表消元法等价条件代换五、行程问题1 相遇问题路程和 =速度和相遇时间2 追及问题路程差 =速度差追及时间3 流水行船顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速船速 =（顺水速度 +逆水速度）2水速

10、=（顺水速度 - 逆水速度）24 多次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数2 -1环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程共行全程数5 环形跑道6 行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。7 钟面上的追及问题。时针和分针成直线；时针和分针成直角。8 结合分数、工程、和差问题的一些类型。9 行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。六、计数问题1 加法原理：分类枚举2 乘法原理：排列组合3 容斥原理：总数量 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：总数量=A+B-AB4 抽

11、屉原理：至多至少问题5 握手问题在图形计数中应用广泛角、线段、三角形，长方形、梯形、平行四边形正方形七、分数问题1 量率对应2 以不变量为“ 1”3 利润问题4 浓度问题倒三角原理例：5 工程问题合作问题 水池进出水问题6 按比例分配八、方程解题1 等量关系相关联量的表示法例：甲 +乙 =100甲乙 =3x 100-x3x x解方程技巧恒等变形2 二元一次方程组的求解代入法、消元法3 不定方程的分析求解以系数大者为试值角度4 不等方程的分析求解九、找规律周期性问题 年月日、星期几问题 余数的应用数列问题等差数列通项公式an=a1+(n-1)d求项数：n=an a11d求和：S=(a1 an )

12、n2等比数列n求和：S=a1 (q 1)裴波那契数列策略问题抢报 30放硬币最值问题 最短线路a. 一个字符阵组的分线读法b. 在格子路线上的最短走法数 最优化问题a. 统筹方法b. 烙饼问题十、算式谜1 填充型2 替代型3 填运算符号4 横式变竖式5 结合数论知识点十一、数阵问题1 相等和值问题2 数列分组知行列数，求某数知某数，求行列数3 幻方奇阶幻方问题：杨辉法罗伯法偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法单偶阶：同心方阵法十二、二进制1 二进制计数法 二进制位值原则 二进制数与十进制数的互相转化 二进制的运算2 其它进制（十六进制）十三、一笔画1 一笔画定理：一笔画图形中只能有0 个或两个奇点

13、；两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链3 多笔画定理奇点数笔画数 =2十四、逻辑推理1 等价条件的转换2 列表法3 对阵图竞赛问题，涉及体育比赛常识十五、火柴棒问题1 移动火柴棒改变图形个数2 移动火柴棒改变算式，使之成立十六、智力问题1 突破思维定势2 某些特殊情境问题十七、解题方法（结合杂题的处理）1 代换法2 消元法3 倒推法4 假设法5 反证法6 极值法7 设数法8 整体法9 画图法10列表法11排除法12染色法13构造法14配对法15列方程方程不定方程不等方程另外补充说明：在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几

14、何，数论等，属于综合性问题。汇总小学阶段奥数知识点，包括小升初中常考的题目类型等。有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。1. 、小升初奥数知识点（年龄问题的三大特征）两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系( 和差 ) 2=较小数较小数差 =较大数和 ( 倍数 1)= 小差 ( 倍数 -1)= 小数和较小数 =较大数数小数倍数=大小数倍数 =大数公式数( 和差 ) 2=较大数小数差 =大数较大数差 =较小数和小

15、数 =大数和较大数 =较小数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式 ( 和差 ) 2=较小数较小数差 =较大数和较小数 =较大数 ( 和差 ) 2=较大数较大数差 =较小数和较大数 =较小数和 ( 倍数 1)= 小数小数倍数 =大数和小数 =大数差 ( 倍数 -1)= 小数小数倍数 =大数小数差 =大数关键问题 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数2、小升初奥数知识点（植树问题总结）:基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭

16、的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树基本公式棵数 =段数 1棵距段数 =总长棵数 =段数 1棵距段数 =总长棵数 =段数棵距段数 =总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系3、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样） ：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔

17、子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。4、奥数知识点（盈亏问题）盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份

18、数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。5 、小升初奥数知识点（牛吃草问题）牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：1）生长量=（较长时间长时间牛头数- 较短时间短时间牛头数）（长时间- 短时间）；2）总草量=较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量；3 ）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。

19、6、小升初奥数知识点（平均数问题）平均数基本公式：平均数=总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算 . 基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式7 、小升初奥数知识点（周期循环数）周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所

20、经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有366 天；年份能被4 整除；如果年份能被100 整除，则年份必须能被400 整除；平 年：一年有 365 天。年份不能被4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；8、小升初奥数知识点（抽屉原理）抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体。例：把 4 个物体放在3 个抽屉里，也就是把4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+04=3+1+0 4=2+2+04=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2 个或多于2

21、个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体。抽屉原则二：如果把n 个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1个物体：当n 不能被 m整除时。 k=n/m 个物体：当 n 能被 m整除时。理解知识点： X 表示不超过 X 的最大整数。例 4.351=4； 0.321=0； 2.9999=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。9、奥数知识点（定义新运算）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本

22、运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。小升初奥数知识点（数列求和）数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,通项

23、公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an = a1+ （ n 1） d；通项首项（项数一1)公差；数列和公式： sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式： n= (an-a1) d 1；项数 =（末项 - 首项）公差1；公差公式： d = （an a1）（ n1）；公差 =（末项首项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式10、加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n

24、 类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理： 如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行， 做第 1 步有m1种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有： m1m2. m n 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点

25、叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+ +（点数一1）；数角规律 =1+2+3+ +（射线数一1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数 =11+22+33 + +行数列数11 、小升初奥数知识点（质数与合数）质数：一个数除了1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用

26、短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N= ，其中 a1、a2、a3 an 都是合数 N的质因数， 且 a1a2a3 an。求约数个数的公式： P=(r1+1) (r2+1) (r3+1) (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。12 、小升初奥数知识点（约数与倍数）约数和倍数：若整数a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几

27、个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如： 12 的约数有 1、 2、 3、 4、 6、 12；18 的约数有： 1、 2、 3、 6、 9、 18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、 2、 3、 6；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作（ 12， 18） =6；求最大公约数基本方法：1 、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2 、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3 、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个

28、余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12、 24、 36、 48；18 的倍数有： 18、 36、 54、 72；那么 12 和 18 的公倍数有： 36、 72、 108；那么 12 和 18 最小的公倍数是36，记作 12 ，18=36 ；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法13 、小升初奥数知识点（数的整除）一、基本概念和符号：1、整除：

29、如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a 能被 b整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。2、常用符号：整除符号“| ”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1.能被 2、 5 整除：末位上的数字能被2、 5 整除。2.能被 4、 25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、 25 整除。3.能被 8、 125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。4.能被 3、 9 整除：各个数位上数字的和能被3、 9 整除。5.能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。