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1、2.3变量间的相关关系1.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是()A.=-10x+200B.=10x+200C.=-10x-200D.=10x-200解析:由y与x负相关,排除B,D,而C中=-10x-2000不符合题意.答案:A2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断()A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关解析:题图(1)中的数据
2、y随着x的增大而减小,因此变量x与变量y负相关;图(2)中的数据v随着u的增大而增大,因此u与v正相关.答案:C3.某市居民20072011年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示:年份20072008200920102011收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是,家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.解析:由题表可知,该市居民20072011年家庭年平均收入呈递增趋势,其中位数是13,家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系.答案:13正4.下表是某地的年降雨量与年平均气温
3、的一组数据,两者具有线性相关关系吗?求回归直线方程有意义吗?年平均气温/12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量/mm748542507813574701432解:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图如图所示:因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有线性相关关系,没必要用回归直线进行拟合,即使用公式求得回归直线方程也是没有意义的.5.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115
4、122(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求:y关于x的回归直线方程;x关于y的回归直线方程.解:(1)画出散点图如图所示.由图可知y与x具有线性相关关系.(2)列表、计算:i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200=55,=91.7,=38500,=87777,xiyi=55950设所求的回归直线方程为x+,则由上表可得0.668,91.7-0.66855=54.96.故所求的回归直线方程为=
5、0.668x+54.96.设所求回归直线方程为y,则1.495,55-1.49591.7-82.09.故所求回归直线方程为=1.495y-82.09.6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5)
6、解:(1)由题设所给数据,可得散点图如图所示:(2)由对照数据,计算得=86,=4.5,=3.5,已知xiyi=66.5,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为=0.7,=3.5-0.74.5=0.35.因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤).7.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这
7、5天的平均投篮命中率为,用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.解析:这5天的平均投篮命中率为=0.5,=3,(xi-)(yi-)=(1-3)(0.4-0.5)+(2-3)(0.5-0.5)+(3-3)(0.6-0.5)+(4-3)(0.6-0.5)+(5-3)(0.4-0.5)=0.1,(xi-)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,=0.01,=0.5-0.03=0.47.所以回归直线方程为=0.01x+0.47.当x=6时,=0.016+0.47=0.53.答案:0.50.538.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万
8、元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加万元.解析:由题意知0.254(x+1)+0.321-(0.254x+0.321)=0.254.答案:0.2549.高三一班学生每周用于数学学习的时间x(单位:h)与数学成绩y(单位:分)之间有如下数据:x24152319161120161713y92799789644783687159某同学每周用于数学学习的时间为18h,请预测该同学的数学成绩.解:两个有相关关系的变量之间的关系可以用
9、线性回归方程来表示,而对总体的预测可由回归直线方程帮助解决.用科学计算器计算得回归直线方程为=3.53x+13.44.当x=18时,=3.5318+13.4477.故预计该同学数学成绩约为77分.10.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:年份20022004200620082010需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程x+;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回归直线方程,为此对数据预处理如下:年份-2006-4-2024需求
10、量-257-21-1101929对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2.=6.5,=3.2.由上述计算结果,知所求回归直线方程为-257=(x-2006)+=6.5(x-2006)+3.2,即=6.5(x-2006)+260.2.(2)利用直线方程,可预测2012年的粮食需求量为6.5(2012-2006)+260.2=6.56+260.2=299.2(万吨)300(万吨).11.(2012福建高考,文18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568(1)求回归直线方程x+
11、,其中=-20,;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)解:(1)由于(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80,所以=80+208.5=250,从而回归直线方程为=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20+361.25,当且仅当x=8.25时,L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.12.在某种产品表面进行腐蚀线实验,得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据:时间t/s5101520304050607090120深度y/m610101316171923252946(1)画出散点图;(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程.解:(1)(2)经计算可得:46.36,19.45,=36750,tiyi=13910.0.3,19.45-0.346.36=5.542.故所求的回归直线方程为=0.3t+5.542.