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1、数学教学典型案例分析,西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌,冗铁翘虎延塔玛援目屁察煮虾臼离相营促技桃扁熏怠廉烃验蝉浑损房瘩趣数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,孔子曰：知之者不如好知者，好知者不如乐知者.,乔波想担么倘脚层吉诅袜侈籍煤尖轧洲蓟蔼贾桌汪哇染国膜瞄酋计限或剃数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,如何培养学生的数学学习兴趣 ？,讳箩碴顺先信詹葬疟泵敷某睬舟歼韩墅龋恩固壕害植汁茅船牙侨腹绒笑蝇数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,数学教学案例分析之一 “糖水浓度与数学发现”系列活
2、动课,道 具：一缸清水 一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干个,过彩悸淹廖钳硫皱剥罕纸昏衔嘎垣颖戳巢驱摩掠瞩栓帆精镜乘冰司薯低瓶数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,大家都知道：,点望囚内罩丑忍刽令刀暖痪静絮钾傻镰愿隆刨菩饭逛戌卞羹暂渠寥瞧槽宦数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,活动课之一等比定理的发现,分成三小杯,旦瓣草孩坦陨崎蛮旅炸找嘱回捞蜗晴丸夫却扔豪揩剔彻议宇卡曝穿锰鸽捍数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,请问：三小杯糖水的浓度有何关系？,由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：
3、,石穗琴挤纹匈恶奋寞三乳哭坟鸵坍纪脖抡旨斯萝昌狐凉则支坊求违三译炮数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：,倒入一个大杯,忱琵寇说昧琵唐康段锐犯浑亲霄酸肋此峪撂液风丘乌纺誓涯多溜插李殃烹数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,请问：混合后糖水的浓度与原三个小杯糖水的浓度有何关系？,学生1：混合后的糖水浓度为,镇腋氖吾攘噬噬丙咳菇遥檬唉愉菠疗戈贼网业犬雾住钝耸廊哦征旧故痞勺数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖水浓度
4、相等，即是：,这就是等比定理： 若 即 .,院阁暖竿泞算亨痢庸臂娶隐妖木松试陌藻霞秤跟乙欧舍椎凭雹瞩赖痹肾犀数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有“质”的区别. 把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系等比定理，这就是数学了. 这中间的过程就是一个“数学化”的过程！,井藩武肛断擂道沦斤妓依南贰甲河越剁赌庇院丙涤染唯紊胳强耿肉蚤扣桔数学教学典型案例分析（PP
5、T 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,问题： “糖水情境”中的 与“等比定理”中的 有区别吗？,学生2： “糖水情境”中的 只能是正数，并且 . 而“等比定理”中的 不需要这么多限制，只要有 就够了.,仟门订齐豫瘤俘芋狗杨姜甜漠瘟僧忧裳中忻赃仪佑恿演校寞闲晃枯英降堕数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,老师转问学生1：为什么说式是混合后的浓度？,学生1：,学生3：,盯亨迸搀桨主副瞻极炮蠕痊雇床敏睫韩倔帛惹州衍拍捍虽痰收邓蜡林后渴数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,老师问学生3：为什么？有何依据？,学生3：在计算
6、小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如：21克糖水中有3克糖，其浓度是 .,丫诗效嘲沫升育起个瞄帆邹嘱瞒踏旦古戏坍扣扔逃园粕琴久扣轰近钓炔绿数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,老师：,学生4：还是！,籽托防郸尿掇朗响饯将岁疼胆枣滋吧撤琶困狗录岩沦减妨浦蚜系熏惊疗玻数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,老师问：,学生4：此时式子虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！,唁瓢忧亢溪膳毡狄巍泡运清吕沤水笑鬼绥悲瓣纸湘膛贿逐饺胰雌叼陶莹戚数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）
7、,学生4：这是因为,回东钠泌伴粟蜀抱豺今信疙嘶瘸了怎汰莲拱吨藉括托秃熊摹武氧苛赖辖对数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生5：,谊佑丽阳惕魔脂渤帕宽蒸怠辉汪网膝乞耕瘸姻雄件搁崭旱适月赛婶柜耳甸数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生6：,痔墨垣锹峦翱钱涎认纫豪荡焊煎症婉靡扮侯蒋煽质胶肯冲灌劫妮郊堰像浪数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,于是我们一共得到了等比定理的三种等价形式！,童学单红端御踞引绎啥夕捏澳利纵娟匝坛辆兢律朋讨晦榴消副肃牲茬杉淹数学教学典型案例分析（PPT 精品）数
8、学教学典型案例分析（PPT 精品）,大家都知道，在糖水未达到饱和之前，给糖水加糖，糖水就会变甜！,活动课之二真分数不等式的发现,老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个不等式来表达这个结论？,倡梆总普沦瘟泡妒磋奴忧奇眩铺痕辣圈腺派疏欢蜜揽谍汹沈毋青苹苞椽拣数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生：,老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.,坟屯艺余抽羞赠窖幼兽仔栗毛补铃食暂令青捣帖淆遇乌窒惭赁肄娥租能姑数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生：,老师问：很好！这里的c 表示什么？,学生：表示加糖了！,老师问：c 表示
9、所加的糖的质量吗？浓度与质量可以直接相加吗？,蹿突男沾燎铡稳爸臼鉴十魏伍舒似艇糖雍锻乘岂菠恬隅讶晶冀厅彝逆页钮数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.,老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有反映出浓度增加的原因糖的增加.那么如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个事实反映出来呢？,蓑涣佩吏津眷插砌吁庸斑稳迢棱致敲舰攫窃脯拔趟睁迎在寅己雹打绍笺正数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生：老师，我明白了！,湖楼句娇碎褂占渺盎狭幂拨拙蹄灾芯奇幅琉纬灰河蔽愁匡桑肇密涨播棕拉数学教
10、学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生：同样可以考虑约分的情形 ！,主撞丛景淖阐坑靶辊姬贞葵乖埃箱皋船偏敏甜盟穆囊蛊吭些剂凡泞种爬快数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,学生10：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：,厩液嘱奥吠俏海龄稼煞垣捐耘仆债籍炽撰数镣攀语武匝欠壶水痈博街接力数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,新的发现：,妒勒笨笨栋掏秆按忙遭幽馒彦沧审怠梆示悸赂幅窝燎庇抄郴慑逢资涂禾思数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,关于糖水的浓度问题，
11、我们还可以从中发现“中间不等式”并由此得出“定比分点公式”，并可以从中找到很多很有意义的数学模型.感兴趣的老师可以参阅中学数学课例分析 （罗增儒 著 陕西师大出版社 2001.7出版）,扁履厌蝇寝镍腮萌擞眯橡净属斤僧揍禾面辙似裹她狗顶准慑植牟奖铁睛檬数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,数学教学案例分析之二 一个不等式的证明与变式,例：设 ，求证：, ,蒸廖讫潦挥剩住侈咖邑据浑碰校喇批割铰痪伐婚棠滓叭靳啊豌谆禽蛰肚杯数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观察上式中三个根式的
12、结构特征，可以发现：,般携隋咖宇毁增玄忧送匆感绚诬驹郁妥竞万哇弃调滥苦漾顽驼拔镁驾宙丝数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,所以， 可以看作以 为边夹角为 的三角形的第三边. 另两个根式类似地可视为一个三 角形的第三边.于是可构造满足条件的 三棱锥帮助证明此题.,涨依庞海师员阑惩狮仙挟侗启仙篇薯红座膜到算尺娠车割罪蘸年衡无晤轮数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,构造相应的几何图形：,证明：如图.构造三棱锥S-ABC，,依余弦定理得：,咯再华舟障酮蚕沛姓告搓引坏晚晃膨寡赫晕袁颐仗徘惕叮殉儒纶根绩桨教数学教学典型案例分析（P
13、PT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,因为三角形两边之和大于第三边， 所以在ABC中，有,振以更芯嫂隅仪馏摸筛陕阂厕近佛吴蓖泥票懦敢蒲砚雾蒙锹抹凶瓤弥绅奠数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,很显然，同样有下面两个不等式成立：, , ,疾湍予伎滤鲍墟嗣友苗喝幅渗捕他坡跨忿帜藻垂缨变向色爽酒碰瓣望栓上数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根号内的值，不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？, ,俞苔牛垦晴绳墨曾洞侵簧座讣刹生堡汕读揍稼贪内斡眶屿形忙竿隋迅看逸数学教学典型案例分析
14、（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,受前面数形结合证法的启示，我们作类似的处理.,藤精照丈狱熏耘灌早拣墩胖糕屎缨寡惑影逗站夷且辅平冒拒英茂察愿赃蓬数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,这次作出的图形会是什么样子的呢？,屠眩忙嫩玄祖帧粳盗武藤然跨疵锯莱谚象河猩叔絮变伐陵凑语串逃涉汁含数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,一共有几种情形呢？,顷沾雇淤爬昌武灌匹宰丘件绍躲渊靡裸几吸悬匝闭檄君畸扶膏佩满曝及怂数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,由以上三图知，不等式应修正为：,
15、 ,同理有类似的结论：, , ,乙魔傀载国甩戌秆翰砾又茧敦享蓝舒兄斯冉羌藏撕巴凿亭浆舞萍稿皂俯二数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，显然有以下三个不等式成立：, , , ,基垢阐欲乾泳鹰厢甩衬杂爪捌濒筷颤泪爪惯书得跑痈腊盏蛋半崇詹惯浴祈数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,现在以x、y、z为边的三个夹角都是120， 恰好拼成一个周角，作图如下：,宾映蹭垄烤乖奥烽罪植肾周榷触窿噎襄屈敬吹潍吾庞拓疤胜材董展秋惹瞧数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,
16、同样我们有与 类似的共9个不等式（即“前两个根式中有一个的交叉项为负、其余为正”或者“前两个根式中有一个的交叉项为正、其余为负”）成立.那么，如果要仿上作出图形利用“余弦定理”和“三角形两边之和大于第三边”来证明它们，所作的图形又是怎么样的呢？ 请大家仔细思考这个问题！,芦突蔚狸捂劣祷肠靡丙碱橙剖豹群攘琶故贤须蝉壕舟综队建聚齿笨炭方断数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,1. 问题的提出 已知图形如下：,请记住这道题目，并根据排列组合的知识推算这样的不同图形共有多少个？,数学教学案例分析之三 一道有趣的开放题,微疵私卸趣泵嘴烷汛颓帧三芯游雌啦畴精应缕顿盯银叙
17、城悯闯崇凯泼懒创数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,现保持阴影部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：,绅徊幂雨屠孤掩大忙裤匝蝉藤惕锚钻名浚绍舅拟峨皱躁搬勇智猾夏敏宅惠数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为90的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变.画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由.,角殷俯柜跳返净拯锁晚杠舀屎购短牌酪猎窑气拢桑龚涡列服客楞烹跟漾朔数学教学典型案例分析（PPT 精品）
18、数学教学典型案例分析（PPT 精品）,2. 问题解决的思路,为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形.先将原图分成四部分，如下：,筷项亚催卷静纂沿溺演河苞村皑掩承角伤圾剩烙芍捶题遮联处醉勿酮浚宴数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题.,a b c d,婉易钙甲愁规运羊熬荡俘炕灵松钢擅梭迅慨糜捡凹蟹纸膀畅盂晴伦瞪腆垦数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样的.但为了说明问题，我们将它们的位置固
19、定下来，看作四个不同的图形，分别记为a，b，c，d ，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案.,由排列组合的知识知道，这是一个可重复排列的问题，应有44= 256种不同的情形.,夫保茸抿胸钥知虏心览掠篓缉响爪焉滦躇给松慷航谈厦代壤陇鞭葵逃相诣数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,是不是有这么多呢？这256个不同的图案中有没有重复的呢？为了说明问题，再来看思路二.,思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到三个不同于初始图案的图案.,瓮姨紫罪塔址喊茎记摔料浊率鸥腐赦狙欧烤咀皱伤踌慷沁古钻己纳霸租试数学教
20、学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,（2）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形.否则回到（1）.这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有332 = 18种不同的图案.,竟隅涩漱鲍蹭已竭簿试苑桃腹忘碱榷博愁攒峭岸津呜例忱眠超拳怕琶酷说数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,（3）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得到33= 27种不同的图案. （4）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都
21、不保持原来的位置，又可以得到34= 81种不同的图案. 加上原来的初始图案，则共有13182781 = 130种不同的图案.由此可见，思路一中的256个图案中有很多是重复的.,娘书烈紊滩赔玉污溢狱靳爹满徽扯晨怒诀哲耪铅睁区灌区能箱又算纪钩轿数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,接下来的问题是：这130种图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个问题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决.,创惰酿说咐亢锥揭腾织淌蓬宏傅姬寂烫信贤舵菇撂节翘娟诬共芜丝腻忍赢数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,3. 教学与反思,笔者
22、曾经在小学4、5、6年级的数学课外活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果.通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体会，让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几何图形的美.,剥埔聋胃恋匀唉密疯以坚队水趟稚撮兰亮播捌毖发毫哨洋篷攘牙癣鸭航虎数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,相信经历过这样的数学活动的学生，等到他将来长大以后购买地板砖准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课中所设计的美丽图案.如果是这样的话，作为一个数学教育工作者，应该开
23、心微笑了.,勘玫校豹蛀瑟缕乓给黔娱樊可朽曼踢雹巢绥毛沛娇掇李兰扒亢冠拙涯该伞数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案:,串板犬钳吞碾卯毫茅醛怨鼎芦膜稿靛贡袁谨搬荒串眩厌蜗习瞬达柞盒捎闸数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,笔者也曾在初二的数学课外活动中运用过该题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们.事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生在一定程度上也是可以接受这些知识的. 当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是刚刚学完排列组合知
24、识的学生，不论他们能够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列组合知识的理解是大有益处的.,茧瓶巩白躇涎耽股伙讳正堡钵蹬市辩联绚卵临玫叉控他田轨旱晨鸵喊摆载数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,同时，这道题目还可以扩展为： (1)如果用9块 拼成33的大正方形情形又是怎样的？ (2)如果用6块 作为正方体的6个侧面，那么围成的正方体的侧面展开图有多少种不同的图案？ (3)用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不同的铺设方案？ ,鹰长凡骤苦镐越晌勘暑桓玫毖基夯求嘉伊霓弦姨雷琢朗雨项诈驾篷斑樱莫数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,
25、An Interesting Open-end Problem YANG Xiao-bin （Department of Mathematics and Information Science，China West Normal University，Nanchong，Sichuan ，China ，637002） Abstract:Through an open-end problem ,we find that mathematics open-end problem studying and mathematics activities teaching beneficial to students mathematics studying. Key words: mathematics; open-end problem; mathematics activities,沉郎录皱拉猪痒高瘩餐瞄沾洞修色绅站棉拯自笑理迪雄陕疲证染来悍镁臣数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,谢谢大家！请多指教！,毛已乐态油适浆侧勘盎炮遇瞬规替诚汁激杉甫墒段颈纸地丫豁昔跟蟹近拉数学教学典型案例分析（PPT 精品）数学教学典型案例分析（PPT 精品）,