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1、章末复习,知识框架,归纳整合,中考链接,素 养 提 升,知识框架,锐角三角 函数,解直角三角形 的简单应用,定义,定义( 在 RtABC中, C=90,由直角三角形中的已 知元素(直角除外), 求 出其余未知元素的过 程, 叫作解直角三角形,三边之间的关 系式：a2+b2=c2,解直角三角形,边角之间的关 系式：,两锐角之间的 关系式：A+ B=90,三边成比例的两个三角形相似,解与坡度、坡角有关的 实际问题,解与生活有关的其他实际 问题,依据(a, b为直角 边、c为 斜边),已知斜边和一直角边,基本 类型,已知两直角边,已知斜边和一锐角,解与方向角有关的实际 问题,解与仰角、俯角有关的 实
2、际问题,利用计算器,计算,特殊角的三角 函数值,由所给度数求三角 函数,已知一直角边和一 锐角,一般锐角的 三角函数值,由概念求三 角函数值,正弦,余弦,正切,专题一 有关锐角三角函数的计算,【要点指导】 根据锐角三角函数的定义, 在直角三角形中, 已知锐角 的对边、邻边和斜边的长度求出锐角三角函数值；或已知直角三角形两 边的长度, 由勾股定理求出第三条边的长度, 进而求出锐角三角函数值,归纳整合,例1 如图28-Z-1所示, AB是O的直径, 弦CDAB 于点E, 连接OC. 若OC=5, CD=8, 则tanCOE的值为( ) ,D,相关题1,B,已知ABC中, AC=12, BC=5,
3、AB=13, 则sinA的值为( ).,专题二 含特殊角的三角函数值的相关运算,【要点指导】 30 , 45 , 60角的三角函数值是既容易记忆又比较常 用的数值. 在含有以上角度的三角函数的代数式中, 代入相关数值即可求 出算式的值.,例2 计算: =_。,相关题2,计算：3tan30+sin452tan45+2cos60,专题三 利用解直角三角形解决实际问题,【要点指导】利用解直角三角形可以解答测量物体高度、测量两地 距离、航海、堤坝等实际问题, 在解题过程中常涉及勾股定理、锐角三 角函数知识以及方程思想, 解题的关键是构造直角三角形, 再利用直角三 角形的边角关系进行解答.,例3 如图2
4、8-Z-2所示, 小杨在广场上的A处正 面观测一座楼房墙上的广告屏幕, 测得屏幕下端D处 的仰角为30 , 然后他正对大楼方向前进5 m到达B处, 又测得该屏幕上端C处的仰角为45 , 广告屏幕的上端 与楼房的顶端平齐. 若该楼高为26.65 m, 小杨的眼睛离 地面1.65 m. 求广告屏幕上端与下端之间的距离( 1.732, 结果精确到0.1 m).,解 设AB的延长线与CD的延长线交于点E. CBE=45, CEAE, BCE=CBE=45 CE=26.65-1.65=25(m), BE=25 m, AE=AB+BE=30 m. 在RtADE中, DAE=30 答：广告屏幕上端与下端之间
5、的距离约为7.7 m.,相关题3 黔东南州中考如图28-Z-3, 某校教学楼AB后 方有一斜坡, 已知斜坡 CD的长为12米, 坡角为 60. 根据有关部门的规 定, 39时, 才能避免滑坡危险, 学校为了消 除安全隐患, 决定对斜 坡CD进行改造, 在保持坡脚C不动的情况下, 学 校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？( 结果取整数. 参考数据： sin39 0.63, cos39 0.78, tan390.81,例4 如图28-Z-4所示, 在一次数学课 外实践活动中, 要求测教学楼的高度AB. 小 刚在D处用高1.5 m的测角仪CD测得教学 楼顶端A的仰角为30, 然后
6、向教学楼前进 40 m到达点E, 此时测得教学楼顶端A的仰角为60 . 求这栋教学楼的高度AB.,解 设CF的延长线交AB于点G. 在RtAFG中, tanAFG= ,相关题4 为建设“宜居宜业宜游” 山水园林式城市, 内江市 正在对城区沱江河段进行 区域性景观打造, 某施工 单位为测量某河段的宽度, 测量员先在河对岸岸边取 一点A, 再在河岸另一边取 两点B, C, 如图28-Z-5所 示, 在B处测得点A在北偏 东30方向上, 在点C处测 得点A在西北方向上, 量得 BC长为200米. 求该河段 的宽度(结果保留根号).,素 养 提 升,专题一 转化思想应用,【要点指导】转化思想在本章中的
7、应用非常广泛. 当不能直接求一个锐角的三角函数值时, 常转化为求另一个直角三角形中与它相等的角的三角函数值；在一般三角形中, 通过作出三角形的高, 将一般三角形转化为两个直角三角形, 再根据勾股定理、边角之间的关系, 就可以求出未知线段的长度.,例1 如图28-Z-6所示, O是ABC的外接圆, AD是O的直径. 若 O的半径为3, AC=4, 则sinB的值是( ).,C,相关题1 如图28-Z-7所示, A, B, C三 点在正方形网格线的交点 处, 若将ACB绕着点A逆时 针旋转45得到ACB, 则 tanB的值为( ).,B,专题二 建模思想,【要点指导】解直角三角形在生产、生活中有着
8、广泛的应用, 这就 要求我们能从实际问题出发去分析理解题意, 从而构建含直角三角形的 数学模型.,例2 小亮和小明相约周六去登山, 小亮 从东坡山脚C处出发, 以24米/分的速度攀登. 同 时, 小明从西坡山脚B处出发, 如图28-Z-8. 已 知小山东坡的坡度i=1 ，山坡长为2400米, 西 坡的坡角是45 . 小明以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A(将山路AB, AC看成线段, 结果保留根号)？,解 过点A作ADBC于点D,在RtADC中, 在RtABD中, B=45,相关题2 如图28-Z-9所示, 热气球 的探测器显示, 从热气球A 看一栋大楼顶部B的俯角 为30 , 看这栋大楼
9、底部C 的俯角为60 , 热气球A的 高度为240米, 求这栋大楼 的高度.,母题1 (教材P65练习第1题) 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦 值、余弦值和正切值.,中考链接,考点：锐角三角函数的概念. 考情：已知直角三角形的两边长求锐角的三角函数值, 或者根据锐角三角函数值求三角形的边长或求其他角的三角函数值. 策略：一般地, 已知一个锐角的三角函数值, 求同角或其余角的另一种三角函数值, 可根据三角函数的定义和勾股定理, 用含一个字母的代数式 表示直角三角形的三边长, 即可求出所有的三角函数值.,链接1 孝感中考如图 28-Z-11所示, 在RtABC中, C=90, AB=10,
10、 AC=8, 则sinA 等于( ).,A,链接2 陕西中考在ABC中, 若三边BC, CA, AB满足 BCCAAB=51213, 则cosB的值为 ( ).,C,母题2 (教材P69习题28.1第3题) 求下列各式的值：,考点：特殊角的三角函数值. 考情：利用特殊角的三角函数值计算, 常与实数进行混合运算. 策略：(1)在进行实数的混合运算时, 首先要明确 与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律, 弄清运算顺序. 中考中常常将绝对值、锐角三角 函数、二次根式结合在一起考查. (2)要注意零指数幂和负整数指数幂的意义. 负整 数指数幂的运算：a-p= 1/ ap (a0, 且p是正整数),
11、 零指数幂的运算：a0=1(a0),链接3 大庆中考2cos60=( ).,A,链接4 在ABC中, 若锐角A, B满足 则C的度数是( ). A45 B60 C75 D105,D,母题3 (教材P75例4) 热气球的探测器显示, 从热气球看一栋楼顶部 的仰角为30, 看这栋楼底部的俯角为60 , 热气球与楼的水平距离为120 m, 这栋楼有多高(结果取整数)？,考点：解直角三角形仰角与俯角. 考情：利用仰角与俯角测量物体的高度. 策略：通过作垂线将实际问题转化为解直角三 角形的问题, 然后利用解直角三角形的知识来解 决, 这是解此类问题的常规思路.,链接5 长春中考如图28-Z-12, 某地
12、修建高速 公路, 要从A地向B地修一条隧道(点A, B在同一水平 面上). 为了测量A, B两地之 间的距离, 一架直升机从A地出发, 垂直上升800米 到达C处, 在C处观察B地的俯角为, 则A, B两地之间的距离为( ). A800sin米 B800tan米,D,链接6 河南中考如图28-Z-13所示, 小东 在教学楼距地面9米高的窗口C处, 测得正前方旗 杆顶部A点的仰角为37 , 旗杆底部B点的俯角为45 , 升旗时, 国旗上端悬挂在距地面 2.25米处, 若国旗随国歌声冉冉升起, 并在国歌播放45秒结束时到达旗杆 顶端, 则国旗应以多少米/秒的速度匀 速上升？(参考数据：sin370
13、.60, cos370.80, tan370.75),解 如图28-Z-13所示, 在RtBCD中, BD=9米, BCD=45, 则 CD=BD=9米. 在RtACD中, CD=9米, ACD=37, 则 所以AB=AD+BD=15.75米, 所以整个过程中国旗上升的高度 是15.75-2.25=13.5(米), 所以国旗上升的速度v= =0.3(米/秒) 答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升,链接7 达州中考在数学实践活动课上, 老 师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度. 如图28-Z-14, 用测角仪在A处测得雕塑顶端 点C的仰角为30, 再往雕塑方向前进4米至B处, 测
14、得仰角为45. 问：该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计, 结果不取近似值),解 如图28-Z-14所示, 过点C作CDAB交AB 的延长线于点D. 设CD=x米, CBD=45 , BDC=90 , BD=CD=x米. A=30 , AD=AB+BD=(4+x)米,母题4 (教材P77练习第1题) 如图28-Z-15, 海中有一个小岛A, 它周围 8 n mile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行, 在B 点测得小岛A在北偏东60方向上, 航行12 n mile到 达D点, 这时测得小岛A在北偏东30方向上. 如果渔 船不改变航线继续向东航行, 有没有触礁的危险？,考点：解直角三角形的应用方
15、向角. 考情：利用解直角三角形解决航海问题是中考 中重要的考点之一, 主要以解答题的形式出现. 策略：运用锐角三角函数的概念, 得到直角三角形 边角之间的关系, 然后利用锐角三角函数的知识得 到实际问题的答案, 这是解直角三角形的应用问题 中最常见的方法.,链接8 成都中考科技改变 生活, 手机导航极大方便了人们的 出行, 如图28-Z-16, 小明一家自驾 到古镇C游玩, 到达A地后, 导航显 示车辆应沿北偏西60方向行驶4千 米至B地, 再沿北偏东45方向行驶一段距离到达 古镇C, 小明发现古镇C恰好在A地的正北方向, 求 B, C两地之间的距离,解 如图28-Z-16, 过点B作BDAC
16、于点D 在RtABD中, BD=ABsinBAD=4 =2 (千米). 在RtBCD中, CBD=45 , BCD是等腰直角三角形,链接9 襄阳中考为了保证端午龙舟赛在我 市汉江水域顺利举办, 某部门工作人员乘快艇到 汉江水域考察水情, 以每秒10米的速度沿平行于 岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建 筑物P在北偏东30方向上, 继续行驶40秒到达B处时, 测得建筑物P在北偏西60方向上, 如图28Z-17所示, 求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）.,解 过点P作PCAB于点C, 由题意可知：PAC=60 , PBC=30,母题5 (教材P77练习第2题) 如图28-Z-18
17、, 拦水坝的横断面为梯形ABCD, AF=DE=6 m. 斜面坡度i=11.5是指坡面的铅直 高度AF与水平宽度BF的比, 斜面坡度i=13是指 DE与CE的比. 根据图中数据, 求： (1)坡角和的度数； (2)斜坡AB的长(结果保留小数点 后一位).,考点：解直角三角形的应用坡度与坡角. 考情：已知坡度求坡角或其他线段的长度等. 策略：通过作高构造直角三角形, 根据坡度及锐 角三角函数的概念求解.,链接10 徐州中考如图28-Z-19, 一座堤坝 的横截面是梯形, 根据图中给出的数据, 求坝高和 坝底宽(坝底宽精确到0.1 m). (参考数据： 1.414, 1.732),解 如图28-Z
18、-19所示, 分别过点A, D作BC的 垂线AF, DE, 分别交BC于点F, E. 在RtCDE中, 12.12412.12(m). 四边形AFED是矩形, EF=AD=6 m, AF=DE=7 m. 在RtABF中, B=45 , BF=AF=7 m, BC=BF+EF+CE7+6+12.12=25.1225.1(m). 答：该堤坝的坝高和坝底宽分别为7 m和25.1 m.,链接11 贺州中考 图28-Z-20是某市一座 人行天桥的示意图, 天桥离地面的高BC是10米, CAB=45 , 离斜坡AC的底端A10米处有一建筑物 HQ, 为了方便行人推车过天桥, 政府有关部门决定 降低坡度, 使新坡面DC的倾斜角BDC=30 , 若 新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的 人行道, 问该建筑物是否需要拆除？(参考数据： 1.414, 1.732),解 由题意, 得AH=10米, BC=10米, 在RtABC中, CAB=45 , AB=BC=10米. 在RtDBC中, CDB=30 , DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10 + 10=20-10 2.7(米). 2.7米3米, 该建筑物需要拆除.,