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1、2011 届数学一轮复习章节检测届数学一轮复习章节检测 集合、函数与导数（集合、函数与导数（01）参考答案及评分标准）参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 70 分分 1.（2009 江西卷文 2 改）函数 y的定义域为_. 【答案】4,0)(0,1； 【解析】由 得4x0 或 0x1. 2.（2010 重庆理(12)）设 U=0,1,2,3，AxU|x2mx0，若 A1,2，则实数 U m_.【答案】3； 【解析】 A1,2， A0,3,故 m3. U 3.（2010 江苏卷 5）设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x
2、R)是偶函数，则实数 a=_. 【答案】1； 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由 g(0)=0，得 a1. 4.（2010 天津文数(7)改）设集合 Ax|xa|1,xR,Bx|1x5,xR,若 AB， 则实数 a 的取值范围是_. 【答案】a|a0 或 a6； 【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题. 由|xa|1 得1xa1,即 a1xf(a),则实数 a 的取值范围是_. 【答案】(1，0)(1,+)； 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等 题. 由分段函数的表达式知，需要对 a
3、的正负进行分类讨论. f(a)f(a) 或 或 a1 或1a0. 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数 大于 0，同事要注意底数在(0，1)上时，不等号的方向不要写错. 10.（2010 全国卷 I 理(15)）直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a 的取值范围是 . 考查数形结合的思想方法； 【答案】 （1, ） ； 5 4 【解析】考查数形结合的思想方法. 14. （2010 江苏卷 14）将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块， 其中一块是梯形，记 S,则 S 的最小值是_. (梯形的周长)2 梯形的面积 【
4、答案】； 【解析】设小正三角形的边长为 x，则 S(0x 2， x2x2，1 x 2.) 8 分 x1 或 x2 时，f(x)2; 10 分 1x2 时，f(x),0; 12 9 4 分 综上，函数 f(x)的值域是,0(2,). 14 分 9 4 16.（2010 重庆文数(19)改）本小题满分 14 分 已知函数 f(x)=axxbx (其中常数 a,bR),g(x)f(x)f(x)是奇函数. 3 2 (1)求 f(x)的表达式; (2)求 g(x)在区间1,2上的最大值和最小值. 解：（1）由题意得 f (x)3ax2xb,g(x)ax(3a1)x(b2)xb，又g(x)是 2 3 2
5、奇函数，解得 ,f(x)xx . 3a + 10， b0， ) 1 3 3 2 6 分 (2)由（1）可知 g(x)x2x,g (x)x2,令 g (x)0 得 x=, 1 3 3 2 2 列表： x (,) 2 2(,) 2 2 2 (,+) 2 g (x) 00 g(x) 极小值 极大值 10 分 又 g(1) g()，g(2) , 5 3 2 4 3 所以 g(x)在区间1,2上的最大值为 g()，最小值为 g(2) 14 2 4 3 分 17.（2010 全国卷 2 文（21） ）本小题满分 15 分 已知函数 f(x)x3ax3x1. 3 2 （1）设 a2，求 f(x)的单调区间；
6、 （2）设 f(x)在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围. 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、 极值及函数与方程的知识. （1）求出函数的导数，由导数大于 0，可求得增区间，由导数小于 0，可求得减区间. 解：f(x)3x6ax33(x2ax1)， 2 2 （1）a2 时，f(x)3(x4x+1),所以， 2 由 f(x)0 得到 x2或 x2;由 f(x)0 得到 2x2 3 3 3 3 f(x)的单调递增区间为(, 2),(2,+)；递减区间为(2,2) 6 3 3 3 3 分 (2) f(x)在区间（2,3）中至少有一个极值点
7、f(x) =0 在(2,3)内至少有一解，且0, 8 分 x(2,3)时，f(x)=02a=x+ ,设 g(x)=x+ ,则 g(x)0，g(x)在2,3上单调递增， 1 x 1 x x(2,3)时, g(x)( ,),2a( ,),即 a( , ) 12 5 2 10 3 5 2 10 3 5 4 5 3 分 又由0 得到 4a 40，即 a1 或 a1，综上所求 a 的取值范围是( , )15 分 2 5 4 5 3 18.（2010 湖北理 17） 本小题满分 15 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘
8、米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的 能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费 k 3x5 用与 20 年的能源消耗费用之和 （1）求 k 的值及 f(x)的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 【命题意图】本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问 题的能力 解：（1）设隔热层厚度为 xcm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x), k 3x5 再由 C(0)8,得 k40,因此 C(x) 3 分 40
9、3x5 而建造费用为 C1(x)6x 最后得隔热层建造费用与 20 年能源消耗之和为 f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0 x10) 7 分 40 3x5 800 3x5 (2)方法 1f (x)6,f (x)0，即6，解得 x(舍去),x5 2400 (3x5)2 2400 (3x5)2 25 3 11 分 当 0 x5 时，f(x)0，当 5x10 时，f(x)0，f(x)在(0,5上递减，在5,10) 上递增，故 x5 时，f(x)取最小值 f(5)70 答：当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元 15 分 方法 2： f(x)20C(x)C1(x)206x6
10、x2(3x+5)10 11 分 40 3x5 800 3x5 800 3x5 2 1070(当且仅当2(3x5) ,即 x5 时，取“”)(0 x10) 800 3x5 答：当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元 15 分 19.（2010 陕西文 21） （去掉了第三问）本小题满分 16 分 已知函数 f(x)，g(x)alnx，aR. x （1）若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的 方程； （2）设函数 h(x)=f(x)g(x),当 h(x)存在最小值时，求其最小值 (a)的解析式. 解 （1）f(x), g(x)
11、 (x0), a x 2 分 由已知得 解得 4 分 两条曲线交点的坐标为（e2,e） ，切线的斜率为 kf(e2) , 1 2e 切线的方程为 ye (xe ). 即 yx 6 分 1 2e 2 1 2e e 2 （2）由条件知 h(x)alnx(x0),h(x), 8 x a x 分 当 a.0 时，令 h(x)0,解得 x=4a , 2 所以当 0 x4a 时，h(x)0，h(x)在(4a ，)上递增。 2 2 所以 x4a 是 h(x)在(0，+)上的最小值点。 2 所以 (a)h(4a )2aaln4a 2a(1ln2a). 12 分 2 2 当 a 0 时，h(x)=0,h(x)在
12、(0，+)递增，无最小值。 14 分 综上， h(x)的最小值 (a)的解析式为 (a)2a(1ln2a) (a0). 16 分 20. （2010 辽宁文(21)）本小题满分 16 分 已知函数 f(x)(a+1)lnxax1(aR). 2 （1）讨论函数 f(x)的单调性； （2）设 a2，证明：对任意 x ,x (0,)，|f(x1)f(x2)|4|x x |. 1 2 1 2 解：(1) f(x)的定义域为(0,+)， 2 分 f(x)+2ax. 4 分 a+ 1 x 当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0,+)单调递增； 当 a1 时，f (x)0, 故 f(x)在(0,+)单
13、调递减； 当1a0 时，令 f(x)0,解得 x .当 x(0, )时,f(x)0； x( ，+)时，f(x)0, 故 f(x)在（0, ）单调递增，在（ ，+）单调递减. 8 分 (2)不妨假设 x1x2.由于 a2,故 f(x)在(0，+)单调递减. 所以|f(x1)f(x2)|4|xx |f(x1)f(x2)4x4x , 1 2 1 2 即 f(x2)4x2f(x1)4x1. 12 分 令 g(x)=f(x)4x,则 g(x)+2ax+4=0 a+ 1 x 从而 g(x)在(0，)单调递减，故 g(x1) g(x2)， 即 f(x2)4x2f(x1)4x1，故对任意 x1,x2(0,+)
14、 ，|f(x1)f(x2)|4|xx |. 1 2 16 分 说明：此问题讲评时，可考虑（2）的逆命题，即理科题. 附：细目表： 题号知识点方法 1函数的定义域、解一元二次不等式 2集合的运算补 3函数的奇偶性 4集合的运算交 5函数的周期性、奇偶性 6 比较幂的大小，指数函数、幂函数的单 调性 7对数的概念及运算 8 导数的几何意义，倾斜角与斜率的关系， 基本不等式求函数值的取值范围 9函数的奇偶性，单调性 10函数的应用，解一元二次不等式 11函数与方程二分法数形结合 12分段函数，解对数函数不等式分类讨论 13函数的图象数形结合 14 函数的应用，分式函数值的取值范围， 运算能力 等价转化 15 分段函数的概念，分段函数求值、求值 域，解一元二次不等式 分类讨论 16 函数的奇偶性，多项式函数的导数，导 数在研究函数中的应用闭区间上的 最值 17 多项式函数的导数，导数在研究函数中 的应用求单调区间，极值及函数与 方程 等价转化 18 函数、导数或不等式，函数在实际生活 中的应用 19 幂函数，对数函数的导数，导数的几何 意义及导数在研究函数中的应用求 最值 分类讨论 20 对数函数，多项式函数的导数，导数在 研究函数中的应用求单调区间、最 值.二次函数，二次方程. 分类讨论，等价转化