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1、钉子板上的多边形一、 揭示课题，明确问题教师板书课题：钉子板上的多边形。组织教学。1.师：今天，我们要研究的是，（生）因为研究的需要，我们就用点子图来代替钉子板。（PPT）师：你们见过钉子板上的图形吗？（生：见过）师：这里有几个简单的多边形，口答一下，它们的面积各是多少？让学生数出面积，全班交流。（评价：同意吗？行吗？）第3个图形可以交流下过程师：那这个图形的面积呢？（按）师：嗯！有难度吧？看来用以前数、算的方法不能很快解决这个问题，有没有什么方法能解决稍复杂的或者所有钉子板上多边形的面积呢？（指课题）今天这节课，我们就来研究这个问题。师：大胆猜猜，多边形面积的大小可能跟什么有关？ 2.师：哦
2、！看来，大家已经隐隐感觉到了多边形面积大小与钉子数有关，其实，多边形的面积还真和钉子数有关呢？二、 探索多边形内有一枚钉子时，面积与边上钉子数的关系（一）引导尝试，初步感知。1.出示下图，引导学生观察。 师：那么，怎样求钉子板上多边形的面积呢？（按）老师给大家提供一个研究方案，自己先轻声把要求读一读。明白了吗？那就把答案填在研究单1中的表格内，开始！（1）算一算，每个多边形的面积各是多少平方厘米？（2）数一数，每个多边形边上的钉子数各有多少枚？（3）想一想，多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系？师：好了吗？谁来汇报一下？（请一个学生汇报。） （2，4； 3,6； 3.5,7； 4，8）生边说
3、边出示2.观察数据，比较发现。师：观察表中的数据，你们有什么发现？谁听懂了？再说一遍。（PPT：多边形的面积是多边形边上钉子数的一半）师：为了简洁、方便地表示出这个规律，我们可以借助字母，用S表示多边形面积，用n表示边上钉子数，刚才发现的规律可以怎样表示？板书：Sn2。3.观察比较，反思质疑。师：接下来，我们就用这个公式来验证下这几个图形。（指名回答）（PPT）那这一组的图形呢？你能说出它们边上的钉子数和面积吗？和你的同桌说一说吧！（同桌交流）全班交流（按）（PPT）师：你们心里是不是在纳闷，怎么刚刚得到的规律又不能运用了呢？这是什么原因呢？结合上下两组图形，有什么发现吗？生：当多边形的中间只
4、有一枚钉子时，就能符合这个规律，而当多边形的中间有两枚或者两枚以上时，就不符合这个规律了。师：是这样吗？看来，我们之前的发现还要添加一个前提条件，需要什么前提呢？生：这个图形的内部只有一枚钉子。师：很严谨，这个规律的前提就是图形内部的钉子数是1，如果图形内部的钉子数用字母a表示，也就是a=1。（板书）通过研究，我们发现，钉子板上的多边形面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还和多边形内部的钉子数有关。三、 探索多边形内部有2、3、4枚钉子时，面积的规律1.小组合作，探究规律。师：那么多边形内部钉子数为2、3、4时，多边形的面积和它们又有什么关系呢？师：（按）谁来清楚、响亮地把小组合作要求读一读？听
5、明白了吗？开始！研究单2：1.先讨论、确定本组研究内部钉子数为几的多边形；2.每人画一个符合本组研究的多边形，算出它的面积，数出边上钉子数；3.观察、比较组员的数据，讨论：你有什么发现？学生操作、比较、思考，教师巡视。3.交流引导内部有2枚钉子，发现规律。师：（切换展台）差不多了，哪个小组研究内部钉子数为2的？哪组愿意上来交流？（介绍一下画的多边形，以及它的面积和边上的钉子数）学生介绍，教师观察正误。师：也是研究2的小组，你们得到的规律是一样的吗？（一一问过去）师：现在，我们可以确信这个规律是正确的。当多边形内部钉子数a2时，面积Sn21。（板书：Sn21。）4.内部3枚钉子。好，研究内部钉子
6、数为3的小组举个手。哪一组愿意上来交流？你们都同意吗？ 师小结：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n22。（板书）5. 内部4枚钉子。那么，哪些小组研究了内部钉子数为4的？我们请这组上来交流，派个代表吧！带上组员的钉子图，你们组的发现是？这次有没有谁不同意的？真的没有，把你们的发现再说一遍。确认：当多边形内钉子数是4时，面积S就等于n23。6.内部为5、6按这样的规律，如果内部钉子数是5的话，面积S就等于n24。（板书）如果内部钉子数是6的话，面积S就等于n25。（板书）四、 拓展延伸，解释规律。提问：现在，你能把这些公式用一个公式来表示吗？生：Sn2a1师：都同意吗？（生）评价：真是太聪明
7、了!强调：如果用a表示多边形内部的钉子数（板书），n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：Sn2a1。）真厉害！用一个公式就把所有的情况都概括在内了。师：那么当a0也符合这样的规律吗？师：怎么办呢？前面，我们碰到过这种情况（按）。这个相当于（生:内部钉子数为0）的情况，我们来算一下？（算，并板书）师：现在我们可以确信这个结论是正确的。师：还记得一开始的那个“河马”吗？现在，你能够用得出的规律解决这个问题了吗？学生操作，校对答案。师：这个规律怎么样？（生：）师：真是太厉害了！能又快又正确地计算出比较复杂图形的面积。五、 回顾过程，交流体会。1.师：好！这节课你有什么收获？（生：） 谁有补充？2.适当介绍，拓展视野。我们今天发现的这个规律，早在很久以前就由奥地利数学家乔治.皮克发现的，所以也称为“皮克定理”（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解下皮克定理。