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1、2013年理科数学全国卷答案与解析一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合，则 ( )A.AB= B.AB=R C.BAD.AB考点 ：集合的运算解析：A=(-,0)(2,+), AB=R.答案：B2.若复数满足，则的虚部为()A. B. C.4 D.考点 ：复数的运算解析：由题知=，故z的虚部为.答案：D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()
2、A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样考点 ：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C4.已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A. B. C. D.考点 ：双曲线的性质解析：由题知，即=，=，=，的渐近线方程为.答案：C5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于A. B. C. D.考点 ：程序框图解析：有题意知，当时，当时，输出s属于-3,4.答案：A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深
3、为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A.B. C. D. 考点 ：球的体积的求法解析：设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，球的体积为.答案：A7.设等差数列的前项和为，则 ( )A.3 B.4 C.5 D.6考点 ：等差数列解析：有题意知=0，=（-）=2，= -=3，公差=-=1，3=，=5.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D考点 ：三视图解析：由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =.答案：A9.设为正整数，展开
4、式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ( )A.5 B.6C.7D.8考点 ：二项式的展开式解析：由题知=，=，13=7，即=，解得=6.答案：B10.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为 ()A.B.C.D.考点 ：椭圆的概念与性质 解析：设，则=2，=2， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，椭圆方程为.答案：D11.已知函数，若|，则的取值范围是A B C D考点 ：解不等式组，对数函数解析：|=，由|得，且，由可得，则-2，排除，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C.答案：D12.设的三边长分别为，的面积为，若
5、，则()A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n1为递增数列，S2n为递减数列D.S2n1为递减数列，S2n为递增数列考点 ：的求法解析：略答案：B二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc=0，则t=_.考点 ：向量的数量积解析：=0，解得=.答案：=14.若数列的前n项和为Sn，则数列的通项公式是=_.考点 ：等比数列解析：当=1时，=，解得=1，当2时，=()=，即=，是首项为1，公比为2的等比数列，=.答案：=15.设当时，函数取得最大值，则_考点 ：求三角函数的最值解析：=令=，则=，当=，即=时，取最大值，此时=
6、，=.答案：=16.若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是_.考点 ：图像的性质解析：由图像关于直线=2对称，则0=，0=，解得=8，=15，=，=当(,)(2, )时，0，当(,2)(,+)时，0，在（，）单调递增，在（，2）单调递减，在（2，）单调递增，在（，+）单调递减，故当=和=时取极大值，=16.答案：16三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC90，AB=，BC=1，P为ABC内一点，BPC90(1)若PB=，求PA；(2)若APB150，求tanPBA考点 ：余弦定理，正弦定理解析：（）由已知得，PBC=，PBA=3
7、0o，在PBA中，由余弦定理得=，PA=；，（）设PBA=，由已知得，PB=，在PBA中，由正弦定理得，化简得，=，=.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。考点 ：线与线垂直证明，线与面所成角的求法解析：（）取AB中点E，连结CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； （）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，两两相互垂
8、直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批
9、产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。考点 ：求事件发生的概率、期望解析：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)(CD),且AB与CD互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=
10、P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.（）X的可能取值为400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)=，X的分布列为X400500800P EX=400+500+800=506.25 20.(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.（）求C的方程；（）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 考点 ：椭圆的概念，直线与椭圆位置关系 解析：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（）圆与圆外
11、切且与圆内切，|PM|+|PN|=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=2，R2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，|AB|=.当=时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.21.（本小题满分共12分）已知函数，若曲线和曲线都过点P
12、(0，2)，且在点P处有相同的切线（）求，的值；（）若2时，求的取值范围。考点 ：求函数的导数、解不等式解析：（）由已知得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由（）知，设函数=（），=，有题设可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，则20，当时，0，当时，0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而=0，当2时，0，即恒成立，(2)若，则=，当2时，0，在(2,+)单调递增，而=0，当2时，0，即恒成立，(3)若，则=0，当2时，不可能恒成立，综上所述，的取值范围为1,.22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分
13、线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=3 ，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。考点 ：弦切定理，三角形的性质，三角形与外接圆的关系等解析：（）连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，ABF=BCE，ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE，又DBBE，DE是直径，DCE=，由勾股定理可得DB=DC.（）由（）知，CDE=BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，BG=.设DE中点为O，连结BO，则BOG=，ABE=BCE=CBE=，CFBF， RtBCF的外接圆半径等于.23.（本小题10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C
14、1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标（0,02）。考点 ：参数方程与极坐标方程的转化，直角坐标与极坐标的转化解析：将消去参数，化为普通方程，即：，将代入得，的极坐标方程为；（）的普通方程为，由解得或，与的交点的极坐标分别为（），.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数=,=.（）当=2时，求不等式的解集；（）设-1,且当，)时，,求的取值范围.考点 ：含有绝对值不等式的解法解析：当=-2时，不等式化为，设函数=，=，其图像如图所示从图像可知，当且仅当时，0，原不等式解集是.（）当，)时，=，不等式化为，对，)都成立，故，即，的取值范围为（-1，.【此课件下载可自行编辑修改，供参考，感谢你的支持！】实用精品文档