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1、Sharkovskii 定理 摘要 本文的内容整理自函数迭代与一维动力系统 ，张景中，熊金城，四川教育出版社，1992 年 2 月第 1 版. 设区间 I，函数 f : I I，用下面的式子 f0(x) = x,f1(x) = f(x),f2(x) = f f(x),fn+1(x) = f fn(x),n N, 记 f 的 n 次迭代，注意联系上下文来理解，不要与乘方运算混淆. Sharkovskii 定理 将全体正整数作如下排序： 3 5 7 9 2 3 2 5 2 7 2 9 22 3 22 5 22 7 22 9 25 24 23 22 2 1, () 设 f : I I 连续，在上面排
2、序中正整数 m 位于 n 之前，如果 f 有 m 周期点，那么 f 就有 n 周期点. Sharkovskii 定理的结论十分有趣， 其证明过程也不涉及高深的数学知识， 但却很繁琐， 难 以简化. 下面将这个定理的证明过程分解为一些列引理，并将这些引理分为 4 部分. 1周期 3 的特殊性 引理 1 设 f : I I 连续，并且 J = a,b I. 如果 f(J) I，那么 f 在 J 上有一个不动点. 证明 因为 f(J) I，c,d J, f(c) = a 且 f(d) = b. 若 c = a 或 d = b，则 a 或 b 就是 f 的不动点. 否则 c a 且 d b. 令 (x
3、) = f(x) x，则 (c) = f(c) c = a c 0，根据零值定理， 在 c 与 d 之间有一个零点，这个点就是 f 的 不动点. 引理 2 设 f : I I 连续，J1，J2是 I 的两个闭子区间. 如果 f(J1) J2，那么存在子区间 K a,b，使得 f(K) = J2. 引理 3 设 f : I I 连续，J0，J1，Jn1都是 I 的闭子区间，并且 f(Jj) Jj+1， j = 0,1,2, ,n2，还有 f(Jn1) J0. 那么，至少有一点 x0 J0，使得 fn(x0) = x0，并 且 fj(x0) Jj，对 j = 1,2, ,n 1 成立. 1 2周期
4、 2N的蕴含关系2 证明 因为 f(Jn1) J0，按引理 2，有闭子区间 Kn1 Jn1，使得 f(Kn1) = J0. 由 f(Jn2) Jn1 Kn1，又可以找到 Kn2 Jn2，使得 f(Kn2) = Kn1. 按照这个步骤， 可以找到 K0 J0，使得 f(K0) = K1 J1, f2(K0) = K2 J2, f3(K0) = K3 J3, fn1(K0) = Kn1 Jn1, fn(K0) = f(Kn1) = J0 K0, 按引理 1，x0 K0 J0，fn(x0) = x0，fi(x0) Ki Ji，i = 1,2, ,n 1. 引理 4 设 f : I I 连续，若 f
5、有 3 周期点，那么对任意 n N+，f 有 n 周期点. 证明 假设 f 的 3 周期轨是 a,b,c，适当选取 a 的值，可使得周期轨如下排列： a b = f(a) b = x0, 导致矛盾，所以 K x0/ J，x0是 f 的 2 周期点. 当 n 3 时，记 I0= = In2= K,In1= J, 则 f(Ij) Ij+1，j = 0,1,2, ,n 2，f(In1) I0，按引理 3，存在 x0 I0= K，使得 fj(x0) Ij，j = 1, ,n 1，fn(x0) = x0. 再证明 x0的最小周期是 n. 假如 x0的最小周期小于 n，则 fn1(x0) 必属于下述点集
6、U = x0,f(x0), ,fn2(x0), 但 U K，故 fn1(x0) K，所以 K J = b = fn1(x0)，因此 x0= fn(x0) = f(b) = c, a = f(c) = f(x0) I1= K, 导致矛盾，所以 x0的最小周期是 n. 2周期 2n的蕴含关系 引理 5 函数 f : I I 连续，若 f 有 4 周期点，则 f 有 2 周期点. 2周期 2N的蕴含关系3 证明 设 f 的 4 周期轨是 O4= x0,x1= f(x0),x2= f(x1),x3= f(x2)，为了方便，称 x0生 成 x1，x1生成 x2将 O4的元素按从大到小或从小到大的次序排列
7、为 y1,y2,y3,y4. 用下面的图形来表示 O4的元素之间的关系. 圆上的 4 个点表示 O4的元素，按圆周的逆 时针方向表示生成次序；连接点的直线段表示大小次序，在这里从大到小与从小到大的次序 本质上是一样的，所以直线段上的箭头方向并不重要. O4的元素之间的关系只有以下 3 种情 况： (1) 情况一，如下图， y4y1 y3y2 y1y2y3y4 考虑闭区间 y1,y2，y3,y4，显然有 f(y1,y2) y3,y4,f(y3,y4) y1,y2, 按照引理 3，存在 z0，满足 z0 y1,y2,f(z0) y3,y4,f2(z0) = z0, 由于 y3,y4 y1,y2 =
8、 ，所以 z0是 f 的 2 周期点. (2) 情况二，如下图， y3y1 y2y4 y1y2y3y4 考虑闭区间 y1,y2，y2,y4，y3,y4，显然有 f(y1,y2) y2,y4,f(y2,y4) y3,y4,f(y3,y4) y1,y3 y1,y2, 按引理 3，存在 z0，满足 z0 y1,y2,f(z0) y2,y4,f2(z0) y3,y4,f3(z0) = z0, 所以 z0是 f 的 3 周期点，按引理 4，对任意 n N+，f 有 n 周期点，结论成立. (3) 情况三，如下图， y3y1 y2y4 y1y2y3y4 3周期 2N + 1 的优先性4 考虑闭区间 y2,
9、y3，y3,y4，y1,y2，显然有 f(y2,y3) y3,y4,f(y3,y4) y1,y4 y1,y2,f(y1,y2) y2,y3, 按引理 3，存在 z0，满足 z0 y2,y3,f(z0) y3,y4,f2(z0) y1,y2,f3(z0) = z0, 由于 y2 O4，故 z0= y2，所以 z0是 f 的 3 周期点，按引理 4，对任意 n N+，f 有 n 周期点，结论成立. 引理 6 函数 f : I I 连续，n N+，f 有 2n周期点，那么 f 有 2,22, ,2n1周期点. 证明 当 n = 1 时显然结论成立. n = 2 的情况就是前面的引理 5. 下面假设
10、n 2. 设 x0是 f 的 2n周期点. 因为 n 2，所以 2n= 4 2k，k 1，故 x0是 f2 k 的 4 周期 点. 按前一引理，f2 k 有 2 周期点 z0，即 f2 k(z 0) = z0，f2 k2(z 0) = z0. 考虑下面的点列 z0,f(z0), ,f2 k(z 0), ,f 2k21(z0), 显然 z0是 f 的周期点但不是不动点. 若 z0是 f 的 w 周期点且 w 2k+1，那么因为必然有 w|2k+1，故 w = 2u(u k)，从而 fw2 ku(z 0) = f2 k(z 0) = z0，这与 f2 k(z 0) = z0相矛盾，所 以 z0是
11、f 的 2k+1周期点. 若 k = 1，则 x0是 f 的 8 周期点，z0是 f 的 4 周期点，按前面的引理，f 还有 2 周期点. 显然可以对 k 使用归纳法做来证明结论. 3周期 2n + 1 的优先性 引理 7 设 f : I I 连续，n 1，f 有 2n + 1 周期轨 Of= x0,x1, ,x2n. 将 Of中的 元素按大小重排为： y1 y2 y2n+1. 记集合 Uu,v= yi|1 u i v 2n+1，yp= minf(Uu,v)，yq= maxf(Uu,v)，定 义集合映射 f的作用是 f(Uu,v) = yi|p i q = Up,q，那么： m,l，1 m 2
12、n，1 l 2n + 1 且 l = m，使得 ym f(ym+1), minf(yl),f(yl+1) ym ym+1 maxf(yl),f(yl+1), 即f(yl,yl+1) ym,ym+1. 证明 因为 y1 f(yn)，所以满足 ym f(ym+1) 的 m 是存在的. 集合 A = yi|f(yi) ym 有 m 个元素，并且 ym+1 A. 集合 C = yi|ym+1 f(yi) 有 n m 个元素，并且 ym C. A C = ，A C = U1,2n+1. 显然 A = Um+1,2n+1，否则集合 Um+1,2n+1的元素个数等于 m，导出 2n + 1 = 2m， “奇
13、 = 偶” ，矛盾. 同样地 C = U1,m. 所以对于集合 A 与 C 来说只有以下两种情况： 3周期 2N + 1 的优先性5 (a) A 与 U1,m无公共元素， 此时必有 A Um+1,2n+1， CUm+1,2n+1= ， 注意到 ym+1 A， 所 以存在 yl Um+1,2n+1， 使得 yl A， yl+1 C， 满足 l = m， f(yl) ym且 ym+1 f(yl+1)， 结论成立； (b) A 与 U1,m有公共元素，由于 ym C，所以存在 yl U1,m1，使得 yl A，yl+1 C，结 论也成立. 引理 8 假设条件如同引理 7，再假设对 N n，f 没有
14、2N + 1 周期轨，记 i= yi,yi+1， i = 1,2, ,2n，还有以下结论： m,l,1 m,l 2n + 1，l = m，s = 2n 1，存在 m，l满足 f(l) m, m f(m) f2(m) fs1(m) l,fs(m) l. 并且 fi(m) 的元素个数是 2 + i，i = 1,2, ,2n 1，f2n1(m) = U1,2n+1= Of. 证明 根据引理 7，存在 m,l,1 m,l 2n + 1，l = m，成立着 ym f(ym+1), minf(yl),f(yl+1) ym ym+1 maxf(yl),f(yl+1), 所以 f(l) m. 因为 f(ym+
15、1) ym ym+1 f(ym), 所以 m f(m)，进一步推出 f(ym+1) = minf(m) minf2(m) minf3(m) , f(ym) = maxf(m) maxf2(m) maxf3(m) , 这表明 m f(m) f2(m) f3(m) 由于 Of共 2n + 1 个元素，将 f 连续作用于 m，至多作用 2n 1 次即可取遍 Of中 （除去“ym，ym+1”这 2 个元素）的其它 2n 1 个元素，即 m (2n1 i=1 fi(m) ) = f2n1(m) = U1,2n+1= Of, 所以存在某个正整数 s 2n 1，使得 fs1(m) l，但 fs(m) l，此
16、时显然有 fs+1(m) m. 下面证明 s = 2n 1. 记 minfi(m) = ypi， maxfi(m) = yqi， 令集合 fi(m) 对应闭区间 Vi= ypi,yqi， i = 1,2, ,s 1. 令 m对应闭区间 V0= ym,ym+1，于是 V0 V1 V2 Vs1, 令 l对应闭区间 Vs= yl,yl+1，由于 fs1(m) l，即 yi|ps1 i qs1 yl,yl+1，所以 Vs1与 Vs至多有一个公共端点而无公共内点. 按照映射 f的定义有 f(Vi) Vi+1,i = 1,2, ,s 1, f(Vs) V0. 3周期 2N + 1 的优先性6 假设 s 2
17、n 1，令 J0= = J2ns2= V0，J2ns1= V1，J2n3= Vs1， J2n2= Vs，则有 f(Ji) Ji+1,i = 0,1,2, ,2n 3, f(J2n2) J0, 按引理 3，有 x0 J0，满足 fi( x0) Ji，i = 0,1,2, ,2n 2，f2n1( x0) = x0 J0. 这样 就有下述点集 x0,f( x0), ,f2n2( x0), 因为 f2n1( x0) = x0，因此 x0/ Of，所以 x0不是 J0的端点，故 Jn2 f2n2( x0) / J0，所 以上述点集中的点两两不同， 是 f 的一个 2n1 周期轨， 这与已知条件矛盾， 所
18、以 s = 2n1. 因为 fs1(m) l，所以 fs1(m) = fs(m). 如果 fi(m) = fi+1(m)，就有 fi(m) = fi+1(m) = fi+2(m) = fi+3(m) = 所以 m f(m) f2(m) f2n1(m) = U1,2n+1, 是一串两两不同的集合，所以 fi(m) 的元素个数是 2 + i，i = 1,2, ,2n 1. 引理 9 条件如同引理 8，将 Of= x0,x1, ,x2n 中的元素按大小排序，只要适当选取 x0， 排列结果必是以下两种之一： (i) x2n x2n2 x2 x0 x1 x3 x2n1； (ii) x2n1 x2n3 x
19、3 x1 x0 x2 x4 x2n. 证明 继续沿用引理 8 的证明过程. 记 fi(m) = Ui，minUi = pi，maxUi = qi，i = 0,1, ,2n 1. Ui的元素个数是 2 + i，U0 U1 U2n1= Of. 因为 U1比 U0多一个元素，并且 U1 U0，故运算 f(U0) 有以下两种情况： p0 q0 q1p1 q0 p0 p1q1 因为 U2比 U1多一个元素，并且 U2 U1，故运算 f(U1) 有以下两种情况： p0 q0 q1p1 q2p2 q0 p0 p1q1 p2q2 如此继续下去，对于第一种情况，只要令 x0= p0；对于第二种情况，只要令 x0
20、= q0，就 可以得到结论。 引理 10 设 f : I I 连续，n 1，f 有 2n + 1 周期轨 Of= x0,x1, ,x2n；对 N 2n + 1，f 有 k 周期轨. 证明 这个引理的条件与引理 9 相同，可以使用前面的结论. 适当选取 x0，使得引理 9 的结论成立，记 I1= x0,x1,I2= x0,x2,I3= x1,x3,I4= x2,x4, , I2n1= x2n3,x2n1,I2n= x2n2,x2n, 下图是引理 9 的第一种情况 4周期 2SP 的蕴含关系7 I2n x2n I2 x2n I1 x2n I2n1 x2n I2n x2n2 I2 x2n2 I1 x
21、2n2 I2n1 x2n2 I2n x2 I2 x2 I1 x2 I2n1 x2 I2n x0 I2 x0 I1 x0 I2n1 x0 I2n x1 I2 x1 I1 x1 I2n1 x1 I2n x2n3 I2 x2n3 I1 x2n3 I2n1 x2n3 I2n x2n1 I2 x2n1 I1 x2n1 I2n1 x2n1 按引理 9，f(Ii) Ii+1，i = 1,2, ,2n 1，并且 f(I2n) 2n1 j=1 Ij. 对于 k 2n + 1，记 J0= = Jk2n= I1,Jk2n+1= I2, ,Jk1= I2n, 则 f(Jj) Jj+1，j = 0,1,2, ,k 2，
22、且 f(Jk1) J0，按引理 3，存在 x0 J0，满足 fj(x0) Jj,j = 1,2, ,k 1,fk(x0) = x0. 假如 n = 1，即 f 有 3 周期轨，按引理 4，知结论成立. 当 n 1 时，I2n I2n2= x2n2，I2n Ii=2n2= . 假如 x0,f(x0), ,fk1(x0) 不 是 f 的 k 周期轨，则 fk1(x0) x0,f(x0), ,fk2(x0) k2 i=0 Ji= 2n1 i=1 Ii, 必有 fk1(x0) = x2n2，于是 fk(x0) = f(x2n2) = x2n1= x0 J0= I1，但是 I2n1 x2n1/ I1，导
23、致矛盾. 所以 x0,f(x0), ,fk1(x0) 是 f 的 k 周期轨. 引理 11 设 f : I I 连续，n 1，f 有 2n + 1 周期轨，但对 N 2n + 1，按引理 8 结论成立. 以下假设 k n. 令 J0= I2k1,J1= I2k, ,J2(nk)+1= I2n, 则 f(Jj) Jj+1，j = 0,1,2, ,2(n k)，且 f(J2(nk)+1) J0，按引理 3，存在 x0 J0， 满足 fj(x0) Jj,j = 1,2, ,2(n k) + 1,f2(nk)+2(x0) = x0. 通过类似引理 10 的证明，可知 x0,f(x0), ,f2(nk)
24、+1(x0) 是 f 的 2(n k) + 2 周期轨，令 k = 1,2, ,n 就得到结论. 4周期 2sp 的蕴含关系 引理 12 设 x0是 f 的 p 周期点，正整数 p 与 q 互素，记 (x) = fq(x)，则 x0也是 的 p 周期点. 4周期 2SP 的蕴含关系8 证明 p(x0) = fqp(x0) = x0，所以 x0是 的周期点. 若 x0是 的 n 周期点，n p，则 n|p，且 n(x0) = x0= fnq(x0)，所以 p|nq. 因为 p 与 q 互素，故 p|n，从而 p = n. 引理 13 设 x0是 f 的 p 周期点， 正整数 p 与 q 的最大公
25、因子是 d， 记 (x) = fq(x)， m = p d， 则 x0是 的 m 周期点. 证明 设 q = dq，则 m 与 q互素. m(x0) = fqm(x0) = fdq m(x 0) = fpq (x 0) = x0，所以 x0是 的周期点. 若 x0是 的 n 周期点，n m，则 n|m，且 n(x0) = x0= fnq(x0)，所以 p|nq，即 dm|ndq. 因为 m 与 q互素，故 m|n，从而 m = n. 引理 14 设 x0是 f 的 n 周期点，也是 fq的 m 周期点，n 与 q 的最大公因子是 d，那么 n = dm. 证明 设 n = dn，q = dq，
26、则 n与 q互素. fqm(x0) = x0，故 n|qm，即 dn|dqm，因为 n与 q互素，所以 n|m. fqn (x 0) = fq dn(x 0) = fnq (x 0) = x0，故 m|n，所以 m = n，n = dm. 引理 15 设 x0是 f 的 n 周期点，也是 f2 k 的 m 周期点， (i) 若 2k|n，则 n = 2km； (ii) 若 m 是偶数，则 n = 2km； (iii) 若 m = 2l，l = 0，则 n = 2km. 证明 本引理的第 1 个结论是引理 14 的推论，第 3 个结论是第 2 个结论的推论，只需证明第 2 个结论. 对第 2 个
27、结论，设 n = 2tn，n是奇数；m = 2sm，m是奇数. 由条件知 n|2km，即 2tn|2k+sm，所以 t k + s，n|m. 若 t k，则 M = 2tkn是 f2 k 的最小周期. 若 t k，则 M = n是 f2 k 的最小周期. 条件限定 m 为偶数，故应有 t k，故 m = M = 2tkn，所以 n = 2km. 引理 16 设函数 f : I I 连续，m = 2sp，n = 2tq，s,t,p,q N+，p,q 都是奇数，p 1，有 以下结论： (1) 当 q = 1 时，若 f 有 m 周期点，则 f 有 n 周期点； (2) 当 1 s 时，若 f 有
28、m 周期点，则 f 有 n 周期点； (3) 当 p 1 是奇数，按引理 13，可知 x0是 f2 s 的 p 周期点. 此时再分几种情况： (a) 若 p = 3，按引理 4，f2 s 有 2u周期点 z0，这里 u 是充分大的正整数，并且使得 2s+u 2t.显然 z0是 f 的周期点，假设 z0是 f 的 w 周期点，按引理 15，有 w = 2s+u. 再根据引理 6，可知 f 有 2t周期点. (b) 若 p 3 且 f2 s 没有比 p 更小的奇数周期点，根据引理 11，f2 s 有 2u周期点 z0，这 里 u 是充分大的正整数，并且使得 2s+u 2t. 与前一种情况一样，按引
29、理 15 来分析， 结论成立. (c) 若 f2 s 有 p周期点，p是奇数且 3 p s，根据引理 11（若引理 11 的条件不满足则必定能用引理 4） ，f2 s 有 2tsq 周 期点 z0. 假设 z0是 f 的 w 周期点，按引理 15，有 w = 2tq，结论成立. (b) 若 t = s，按引理 13，x0是 f2 s 的 p 周期点. 按引理 10（若引理 10 的条件不满足则 必定能用引理 4） ，f2 s 有 q 周期点 z0，假设 z0是 f 的 w 周期点，则 w|2sq. 由于 z0是 f2 s 的 q 周期点，所以 w = 2v(v s) 且 w = 2sq(q q)，因此或者 w = 2sq，或者 w = 2vq，其中 0 v s，而 q q 且 3 q|q. 前者就是结论，对 于后者使用引理 11 即可证出结论. 总之结论成立. 5总结 综合以上 4 部分引理， 第 1 部分引理和第 3 部分引理证明排序 () 中的第一行， 第 2 部分 证明排序 () 中的最后一行， 第 4 部分引理证明 () 中的其余各行， 这样就完成了 Sharkovskii 定理的证明.