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1、27.2.3 相似三角形的应用 一、教学目标1核心素养通过学习相似三角形的应用举例，初步形成基本的推理能力和应用意识2学习目标进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形知识解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题3学习重点运用相似的判定和性质定理解决实际问题4学习难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能到达顶部的物体的高度？2预习自测1.测量不能到达顶部的物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物高与影长_或利用相似三角形来解决.2.求不能直接到达的两点
2、间的距离，关键是构造_,然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离.3.如图，小明测量某广场旗杆的高度，他从A走1.8m到C处时，他头顶的影子正好与点A重合.已知小明身高1.58m，并测得BC7.2m，则旗杆的高度是()A8m B7.9m C7.5m D7.2m（二）课堂设计1知识回顾1.三角形相似的判定方法：（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； (3)判定定理1(边边边)：三边对应成比例，两三角形相似； (4)判定定理2(边角边)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
3、；（5）判定定理3(角角)：两角对应相等，两三角形相似；（6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例.（2） 相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. 相似三角形对应线段之比等于相似比.（3）相似三角形的周长之比等于相似比.（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方.2问题探究问题探究一 如何测量不能到达顶部的物体的高度？ 重点、难点知识活动1 探究利用三角形相似测量物高据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一
4、根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度. 小组合作：自学课本第39页，例题4-测量金字塔高度问题。例：如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？ 问题：1、本题中是利用什么构造相似三角形的？2、本题的突破点在哪里？3、如何测量旗杆的高度？（设计出你的测量方案，画出图形与同伴交流）4、你发现了什么规律？学习成果展示：解：太阳光是平行线， 因此BAO= EDF. 又AOB=DFE=90，ABODEF.，.答：金字塔的高度BO=134m.你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？（利用平面镜也可测高）ABOAEF .
5、测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.甲物高 ：乙物高 = 甲影长 ：乙影长利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题一般图形:活动2 例题讲解例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长【知识点：相似三角形的应用】解析：先利用BDCFGE得到，可计算出BC6m，然后在RtABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长解：如图，CD3.6m，BDCFGE，即，BC6m.在R
6、tABC中，A30，AB2BC12m，即树长AB是12m.点拨：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解例2.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，又测得地面部分的影长2.7 m，他求得的树高是多少?【知识点：相似三角形的应用】解：如图，过点C作CEAB于点E，因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m， 由 所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m). 答：这棵树的高为4.2
7、m 点拨：解本题的关键是构造出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程解题时要灵活运用所学各学科知识活动3 应用练习1.在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是_m【知识点：相似三角形的应用】解：54 设楼高xm，则有，x=54,故填54.2.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE20m.当她与镜子的距离CE2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC1.6m，则大楼AB的高度为_m(注：入射角反射角)【知识点：相似三角形的应用】解：12
8、.8 如图，根据光的反射定律知BEADEC，BAEDCE90，BAEDCE，.CE2.5m，DC1.6m，AB12.8，大楼AB的高度为12.8m.解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题.3课堂总结【知识梳理】1、相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)2、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.3、测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.4、解决实际问题时（如测高、测距），一般有以下步骤：审题；构建
9、图形；利用相似解决问题.【重难点突破】1.利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高2.利用“在同一时刻物高与影长成正比例”测物高要注意：(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化因此，度量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高3.测量不能直接到达的两点间的距离，关键
10、是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离4.利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，一般要经历以下几个步骤：(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任意一组对应边的长度；(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；(4)检验并得出答案4随堂检测1已知一棵树的影长是27m，同一时刻一根长1.6m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( )A18m B15.4m C14.4m D12m【知识点：相似三角形的应用】2.如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m，长臂长
11、16m当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A8m B8.2m C10m D12m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】3.如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.68m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.8m，则梯子长为( )A3.8m B4m C4.8mD5m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】4.如图所示，太阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE2m，窗户下檐距地面的距离BC1.4m，EC1.75m，那么窗户的高AB为( )A1.6m B1.8m C2m D2.1m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】
12、5.如图是小明设计用手电来测量某保护区围墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到围墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.6米，PD=10米，那么该围墙的高度是（ ）（平面镜的厚度忽略不计）Am B9m C8m D7.5m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】（三）课后作业基础型 自主突破1.小明在测量某建筑物高时，先测出建筑物在地面上的影长BA为21米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则建筑物高为( )A16米 B15米 C14米 D12米【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】2.一斜坡长80m，它的高为6m，将某物从斜坡起点推到坡上30m处停止下，停下地点的高度为( )A B C D【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】自助餐1.如图，刘刚在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网4.8米的位置上，则拍击球的高度h应为（）A、3米 B、2.7米 C、2.4米 D、 1.8米 【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】2.小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A B C D(四)教学反思（五）板书设计 8 / 8