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1、绝对值典型例题及解析例1 计算 分析 利用绝对值的概念可以去掉式子中的绝对值符号，利用在“相反数”一节学到的知识，可以将 化简，这样，就可以利用小学知识完成本题了解 说明 本题出现在读者尚未学习有理数的运算之时，式子又比较长，不知读者刚刚见到这个题目时，心中是否有畏难情绪产生而前面的“分析”是寻找使问题发生转化的途径，经过转化，题目就变容易了这种情形在数学中极为常见，要特别注意学习怎样对题目特点，使问题由复杂变简单，由不熟悉的变为熟悉的例2 求下列各数的绝对值：（1）38；（2）0.15；（3）；（4） ；（5）；（6）分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然
2、后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论解：（1）|-38|38；（2）|+0.15|0.15；（3）0，|；（4）b0，3b0，|3b|3b；（5）2，-20，|-2|-(-2)2-；（6） 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论例3判断下列各式是否正确(正确填入“T”，错误填入“F”)：（1） ； ( )（2） ； ( )（3） ；（）（4）若| |b|，则 b； ( )（5）若 b，则| |b|； ( )分析：判断上述各小题正确与否的依
3、据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可如第(2)小题中取 1，则-| |-|1|-1，而|- |-1|1，所以-| |- |在第(4)小题中取 5，b-5等，都可以充分说明结论是错误的要证明一个结论正确，须写出证明过程如第(3)小题是正确的证明步骤如下：当 时， ，而，成立；当 时，而，也成立这说明 时，总有成立此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可 解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道
4、理和依据，步骤都要较为严格、规范而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便例4若 ，则 等于（）分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数”利用这一特点可得 ； 而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0则 ， ； ， 故 所以答案为A说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离绝对值的这个特性今后会经常用到几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0例5 计算 分析：要计算上式的结果，关键要弄清 和 的符号，再根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值
5、是0可求上式的结果，又 ，故 ，而 解：又 ， ， ， 说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子时，首先应确定代数式的符号另外，要求出负数的相反数画图、观察、思考（1）已知 且 ，则（ ）A B C D 解 由已知，将 表示在数轴上，如下图所示，再根据相反数、绝对值的概念，可将 表示出来，然后观察图形，对照答案，逐个检验选择项，易知应选C（2）若 ，求 的值（株洲市初中数学竞赛题）解 首先考察 ，显然 ，当 时， ，当 时， ，就是说 等于1或1，同理 ，由已知 ，可知 三个数一定两正一负，所以 ，于是 （3）设 且 ，试求 所有值的和（株洲市初中数学竞赛题）解 由 得 ，由 ，得 因为 ，所以 ，于是内能有 或 所以 所有值的和为