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1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O，设，若，则。特别地，当时，即P为线段的中点，则有。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值：例1：已知A（），B（）及直线：，直线AB与相交于P点，求P点分的比。解：设，则由，得，又P点在直线上，。例2：如图所示，在中，D为边BC上的点，且，E为AD上的一点，且，延长BE交AC于F，求F分有向线段所成的比。解：，又，而，B、E、F共线，设，而，解得。二、求直线上点的坐标例3：已知点，点C为直线AB上一点，且，求C点的坐标。分析：先求出C点分的的值，再
2、利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解：，利用定比分点的坐标公式有。C点的坐标为。例4：已知，且，求点C，D的坐标。分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C，D的坐标。解：设，根据定比分点的向量公式有，同理由得，根据定比分点的向量公式有，点C的坐标为，D点的坐标为。三、证明三点共线例5：已知点，求证：A、B、C三点共线。证明：设在上，分的比为，则 ，解得与重合，由题设知C在AB上，A、B、C三点共线。四、求字母系数范围例6：已知点，一次函数的图象与线段AB有公共点，求实数的取值范围。解：设为一次函数图象与线段AB的交点，把P看作的定比分点，其定比为，则有，由定比分点公式有，而P点在
3、函数图象上，解得，即或，而当P点与B重合时，也适合。或。例7：若直线与连接，两点的线段有公共点，求实数的取值范围。解：当直线过P点时，直线过Q点时，当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点分的比为，由定比分点公式有，M点的坐标为， 又直线过点M，又点M在线段PQ上知，解得或，或。五、解决平面几何问题：例8：如图所示，在平行四边形ABCD中，P点在线段AB上，且，Q在线段AD上，且，BQ与CP相交于R，求的值。分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解：设，由题意有，则，又B、R、Q三点共线，存在实数使，且。，即。例9：设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证。分析：以O为原点，为轴正向建立直角坐标系，设，用，表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点O为原点，直角边OA、OB所在直线为轴，轴建立直角坐标系，如图设点，点，则D分的比为，由定比分点的向量公式得点D坐标为同理点E坐标为，由两点间距离公式，得， ，而，。例10：如图，已知，求证：的三条中线AD、BE、CF相交于一点G，且。分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为向量，可以在平面内任取一点O为向量的始点，将、设出。证明：如图，在平面内任取一点O，设，又设为AD上一点，且，则D为BC中点，同样，若设，则可证得,、三点重合。设交点为G，则有。6资料公式c